数学卷·2018届黑龙江省牡丹江一中高二下学期6月月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届黑龙江省牡丹江一中高二下学期6月月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）6月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分）‎ ‎1．若集合A={x||2x﹣1|＜3}，，则A∩∁RB=（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知，则f（3）=（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．4‎ ‎3．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（　　）‎ A．﹣4 B． C．4 D．‎ ‎4．若a≠b，则关于x的不等式的解集是（　　）‎ A．{x|x＜2ab或x≥a2+b2} B．{x|x≤2ab或x≥a2+b2}‎ C．{x|x＜2ab或x＞a2+b2} D．{x|2ab＜x≤a2+b2}‎ ‎5．若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，1）∪（0，1） B．（0，1）∪（0，1] C．（0，1） D．（0，1]‎ ‎6．已知命题：①“任意能被2整除的整数都是偶数”的否定是“任意能被2整除的整数不都是偶数”②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“若a＞b，a，b∈R，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题；⑤若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题．上述命题中真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．已知函数f（x）的定义域为[3，6]，则函数y=的定义域为（　　）‎ A．[，+∞） B．[，2） C．（，+∞） D．[，2）‎ ‎8．已知不等式组，若z=2x﹣y的最大值为﹣1，则a值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎9．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．‎ ‎10．设x，y∈R+且xy﹣（x+y）=1，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（﹣2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分）‎ ‎13．函数的单调递增区间是　 　．‎ ‎14．若函数y=log2（﹣x2+8x﹣7）在区间（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎15．若函数在（﹣∞，2]‎ 上有意义，则实数k的取值范围是 　 　．‎ ‎16．下列说法中：‎ ‎（1）函数f（x）=在其定义域内单调递减 ‎ ‎（2）若a＞b＞0，则a﹣；‎ ‎（3）若a＞0，b＞0且2a+b=1，则的最小值为9‎ ‎（4）函数f（x）=在（﹣2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是；‎ ‎（5）已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的充要条件是a＞0且△≤0；‎ 正确的序号为为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎17．二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2，g（x）=﹣|x+1|+4．‎ ‎（1）若函数f（x）≥g（x），求x得取值范围；‎ ‎（2）若不等式f（x）﹣g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．‎ ‎19．已知函数f（x）=ax2+bx+4lnx的极值点为1和2．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间（0，3]上的最大值．‎ ‎20．（1）已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值；‎ ‎（2）已知|x|＜1，|y|＜1，求证：|1﹣xy|＞|x﹣y|．‎ ‎21．设函数f（x）=|2x﹣a|+2a ‎（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，求实数k的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）6月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分）‎ ‎1．若集合A={x||2x﹣1|＜3}，，则A∩∁RB=（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】1H：交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】解不等式化简集合A、B，根据补集和交集的定义计算即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x||2x﹣1|＜3}={x|﹣3＜2x﹣1＜3}={x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}={x|﹣＜x＜3}，‎ 则∁RB={x|x≤﹣或x≥3}，‎ 所以A∩∁RB={x|﹣1＜x≤﹣}=（﹣1，﹣]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知，则f（3）=（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．4‎ ‎【考点】3T：函数的值．‎ ‎【分析】根据解析式先求出f（3）=f（5），又因5＜6，进而求出f（5）=f（7），由7＞6，代入第一个关系式进行求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得，f（3）=f（5）=f（7）=7﹣4=3，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（　　）‎ A．﹣4 B． C．4 D．‎ ‎【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．‎ ‎【分析】由题意可得 z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，‎ 故z的虚部等于，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．若a≠b，则关于x的不等式的解集是（　　）‎ A．{x|x＜2ab或x≥a2+b2} B．{x|x≤2ab或x≥a2+b2}‎ C．{x|x＜2ab或x＞a2+b2} D．{x|2ab＜x≤a2+b2}‎ ‎【考点】7E：其他不等式的解法．‎ ‎【分析】根据分式不等式的解法进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵a≠b，∴a2+b2＞2ab，‎ 则由得x＜2ab或x≥a2+b2，‎ 即不等式的解集为{x|x＜2ab或x≥a2+b2}，‎ 故选：A ‎　‎ ‎5．若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（0，1）∪（0，1） B．（0，1）∪（0，1] C．（0，1） D．（0，1]‎ ‎【考点】3F：函数单调性的性质．‎ ‎【分析】f（x）的图象是抛物线，开口向下，当区间在对称轴右侧时是减函数，得a的取值范围；又g（x）的图象是双曲线，a＞0时在（﹣1，+∞）上是减函数，得a的取值范围；‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=a；‎ ‎∴当函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数时，有a≤1；‎ 函数在区间[1，2]上是减函数时，有a＞0；‎ 综上所知，a的取值范围是（0，1]；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知命题：①“任意能被2整除的整数都是偶数”的否定是“任意能被2整除的整数不都是偶数”②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“若a＞b，a，b∈R，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题；⑤若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题．上述命题中真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，根据全称命题的否定判定；‎ ‎②，举例说明判定，如梯形；‎ ‎③，由原命题成立，说明其逆否命题成立说明③正确；‎ ‎④，写出否命题，举例说明④错误；‎ ‎⑤，若“p或q”为假命题，p，q都为假，则“非p且非q”是真命题．‎ ‎【解答】解：对于①，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在能被2整除的整数不都是偶数”①错误；‎ 对于②，“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”错误，可能是梯形，②错；‎ 对于③，“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”成立，则其逆否命题成立，③正确；‎ 对于④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题为“若a+b=3，则a=1且b=2”，错误，如a=0，b=3；‎ 对于⑤，若“p或q”为假命题，p，q都为假，则“非p且非q”是真命题，⑤正确；‎ 故选：B ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）的定义域为[3，6]，则函数y=的定义域为（　　）‎ A．[，+∞） B．[，2） C．（，+∞） D．[，2）‎ ‎【考点】33：函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】由函数的定义域得到2x的范围，根据分母不为0及被开方数非负得到关于x的不等式，求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）的定义域是[3，6]，得到3≤2x≤6，‎ 故 解得：≤x＜2；‎ 所以原函数的定义域是：[，2）．‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．已知不等式组，若z=2x﹣y的最大值为﹣1，则a值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断最优解，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的可行域如图：‎ z=2x﹣y的最大值为﹣1，可知目标函数的最优解是A，‎ 由解得A（﹣1，﹣1．）‎ A点在y=a上，可得a=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．‎ ‎【考点】74：一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1‎ ‎∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，‎ 即x2﹣x﹣a2+a+1＞0‎ ‎∵任意实数x成立，‎ 故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0‎ ‎∴，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．设x，y∈R+且xy﹣（x+y）=1，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】7F：基本不等式．‎ ‎【分析】x，y∈R+且xy﹣（x+y）=1，可得xy=1+（x+y）≥1+2，化简解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x，y∈R+且xy﹣（x+y）=1，‎ 则xy=1+（x+y）≥1+2，‎ 化为：﹣2﹣1≥0，‎ 解得≥1+，即xy．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）‎ ‎【考点】5B：分段函数的应用．‎ ‎【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，‎ 则函数f（x）在R上为减函数，‎ ‎∵函数f（x）=，‎ 故，‎ 解得：a∈（﹣∞，]，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（﹣2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】62：导数的几何意义．‎ ‎【分析】根据y=f′（x）图象得到函数的单调性，从而将f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化简f（﹣a﹣2b）≤3，得到﹣2≤﹣a﹣2b≤0．然后在aob坐标系内作出相应的平面区域，得到如图所示的阴影部分平面区域，利用直线的斜率公式即可求出的取值范围．‎ ‎【解答】解：由y=f′（x）图象可知，当x=0时，f′（x）=0，‎ 当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 又∵a，b为非负实数，‎ ‎∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，‎ 同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0，即0≤a+2b≤2，‎ 作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域，‎ 得到如图的阴影部分区域，‎ 解之得A（0，1）和B（1.5，0）‎ 而等于可行域内的点与P（﹣1，﹣2）连线的斜率，‎ 结合图形可知：kPB是最小值，kPA是最大值，‎ 由斜率公式可得：kPA==3，kPB==，‎ 故的取值范围为[，3]‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题：（每小题5分）‎ ‎13．函数的单调递增区间是　[4，+∞）　．‎ ‎【考点】3G：复合函数的单调性．‎ ‎【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，结合复合函数的单调性可得原函数的增区间．‎ ‎【解答】解：由x2﹣3x﹣4≥0，解得x≤﹣1或x≥4．‎ 则内函数t=x2﹣3x﹣4在[4，+∞）上为增函数，‎ 由外函数y=为其定义域上的增函数，‎ ‎∴函数的单调递增区间是[4，+∞）．‎ 故答案为：[4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．若函数y=log2（﹣x2+8x﹣7）在区间（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围是　[1，3]　．‎ ‎【考点】3G：复合函数的单调性．‎ ‎【分析】由对数式的真数大于0求出函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，结合复合函数的单调性可得原函数的增区间，由函数y=log2（﹣x2+8x﹣7）在区间（m，m+1）上是增函数，可得（m，m+1）是原函数增区间的子集，然后结合两集合端点值间的关系列式求得m的范围．‎ ‎【解答】解：由﹣x2+8x﹣7＞0，得1＜x＜7．‎ 函数t=﹣x2+8x﹣7的对称轴方程为x=4，‎ ‎∴函数t=﹣x2+8x﹣7在（1，4]上为增函数，‎ 而外函数y=log2t是其定义域内的增函数，‎ 则函数y=log2（﹣x2+8x﹣7）的增区间为（1，4]．‎ 要使函数y=log2（﹣x2+8x﹣7）在区间（m，m+1）上是增函数，‎ 则，解得1≤m≤3．‎ ‎∴实数m的取值范围是[1，3]．‎ 故答案为：[1，3]．‎ ‎　‎ ‎15．若函数在（﹣∞，2]上有意义，则实数k的取值范围是 　（﹣∞，1]　．‎ ‎【考点】33：函数的定义域及其求法；4B：指数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】函数在（﹣∞，2]上有意义即4﹣k2x≥0，在（﹣∞，2]上恒成立，通过分离参数转化为函数求最值问题．‎ ‎【解答】解：函数在（﹣∞，2]上有意义即4﹣k2x≥0，在（﹣∞，2]上恒成立 即k2x≤4在（﹣∞，2]上恒成立∵2x＞0‎ ‎∴k≤在（﹣∞，2]上恒成立∵在（﹣∞，2]上0＜2x≤4‎ ‎∴k≤1‎ 故答案为：（﹣∞，1]‎ ‎　‎ ‎16．下列说法中：‎ ‎（1）函数f（x）=在其定义域内单调递减 ‎ ‎（2）若a＞b＞0，则a﹣；‎ ‎（3）若a＞0，b＞0且2a+b=1，则的最小值为9‎ ‎（4）函数f（x）=在（﹣2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是；‎ ‎（5）已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤‎ ‎0的解集是空集的充要条件是a＞0且△≤0；‎ 正确的序号为为　（2），（3），（4）　．‎ ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1），定义域为{x|x≠0}，但在定义域上不单调；‎ ‎（2），若a＞b＞0，⇒，则a﹣，；‎ ‎（3）利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出；‎ ‎（4）把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在 （﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．‎ ‎（5），关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集⇔关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是R，分两种情况考虑：（i）当a=b=0时，c＞0时，原不等式的解集为空集；（ii）当a不为0时，a＞0且△＜0．‎ ‎【解答】解：对于（1），定义域为{x|x≠0}，但在定义域上不单调，故错；‎ 对于（2），若a＞b＞0，⇒，则a﹣，故正确；‎ 对于（3），∵a＞0，b＞0，2a+b=1，∴=5+，故正确；‎ 对于（4），∵函数f（x）=a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在 （﹣2，+∞）为增函数，可得1﹣2a＜0，得a，故正确；‎ 对于（5），关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集⇔关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是R，分两种情况考虑：（i）当a=b=0时，c＞0时，原不等式的解集为空集；（ii）当a不为0时，a＞0且△＜0，故错．‎ 故答案为：（2），（3），（4）‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎17．二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+‎ m的图象上方，试确定实数m的范围．‎ ‎【考点】3W：二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）先设f（x）=ax2+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可．‎ ‎（2）转化为x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立问题，找其在[﹣1，1]上的最小值让其大于0即可．‎ ‎【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．‎ 因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．‎ 即2ax+a+b=2x，所以，∴，‎ 所以f（x）=x2﹣x+1‎ ‎（2）由题意得x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．‎ 设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．‎ 故只需最小值g（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，‎ 解得m＜﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2，g（x）=﹣|x+1|+4．‎ ‎（1）若函数f（x）≥g（x），求x得取值范围；‎ ‎（2）若不等式f（x）﹣g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；‎ ‎（2）由题意得，不等式|x﹣3|+|x+1|﹣6≥m+1恒成立，故左边的最小值大于或等于m+1，问题化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可得左边的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）若函数f（x）≥g（x），‎ 即|x﹣3|﹣2≥﹣|x+1|+4，即|x﹣3|+|x+1|≥6，‎ 故或或，‎ 解得：x≥4或x≤﹣2；‎ ‎（2）由题意得，不等式f（x）﹣g（x）≥m+1恒成立，‎ 即|x﹣3|+|x+1|﹣6≥m+1 恒成立．‎ ‎∵|x﹣3|+|x+1|﹣6≥|（x﹣3）﹣（x+1）|﹣6=﹣2，‎ ‎∴﹣2≥m+1，∴m≤﹣3，‎ 故m的取值范围 （﹣∞，﹣3]．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=ax2+bx+4lnx的极值点为1和2．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间（0，3]上的最大值．‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】由导数的运算法则可得：f′（x）=2ax+b+=，x∈（0，+∞），‎ ‎（1）由y=f（x）的极值点为1和2，可知2ax2+bx+4=0的两根为1和2，利用根与系数的关系即可得出；‎ ‎（2）由（1）得f（x）=x2﹣6x+4ln x，可得f′（x）=2x﹣6+=，x∈（0，3]．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况列出表格即可得出．‎ ‎【解答】解：f′（x）=2ax+b+=，x∈（0，+∞），‎ ‎（1）∵y=f（x）的极值点为1和2，‎ ‎∴2ax2+bx+4=0的两根为1和2，‎ ‎∴，解得a=1，b=﹣6．‎ ‎（2）由（1）得f（x）=x2﹣6x+4ln x，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣6+=，x∈（0，3]．‎ 当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ ‎3‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 单调递增 ‎﹣5‎ 单调递减 ‎4ln 2﹣8‎ 单调递增 ‎4ln 3﹣9‎ ‎∵f（3）=4ln 3﹣9＞f（1）=﹣5＞f（2）=4ln2﹣8，‎ ‎∴f（x）max=f（3）=4ln3﹣9．‎ ‎　‎ ‎20．（1）已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，求实数a的最小值；‎ ‎（2）已知|x|＜1，|y|＜1，求证：|1﹣xy|＞|x﹣y|．‎ ‎【考点】5A：函数最值的应用；71：不等关系与不等式．‎ ‎【分析】（1）通过“凑”，利用条件x＞a 将有关项化为正值，从而满足公式中正的条件，利用基本不等式就可求解．‎ ‎（2）要证|1﹣xy|＞|x﹣y|即证|1﹣xy|2﹣|x﹣y|2＞0，通过化简很快问题得证．‎ ‎【解答】解：（1）∵2x+≥7，∴2（x﹣a）+≥7﹣2a，‎ 由于2（x﹣a）+≥2=4，‎ ‎7﹣2a≤4，∴，‎ 故实数a的最小值为 ‎（2）因为|1﹣xy|2﹣|x﹣y|2=（1﹣x2）（1﹣y2）＞0，‎ ‎∴|1﹣xy|＞|x﹣y|得证．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=|2x﹣a|+2a ‎（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】&2：带绝对值的函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意，解不等式|2x﹣a|+2a≤6，可得a﹣3≤x≤3﹣‎ a，利用不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，可列方程组，解得实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）依题意，可得|2x+2|+1≤（k2﹣1）x，构造函数g（x）=|2x+2|+1=，通过作图分析可得不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空的条件是：k2﹣1＞2或k2﹣1≤﹣1，解之即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵|2x﹣a|+2a≤6，‎ ‎∴|2x﹣a|≤6﹣2a，‎ ‎∴2a﹣6≤2x﹣a≤6﹣2a ‎∴a﹣3≤x≤3﹣a，‎ 又不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，‎ ‎∴解得a=﹣2…5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=|2x+2|﹣4，由不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5得 ‎|2x+2|﹣4≤（k2﹣1）x﹣5，‎ 化简得|2x+2|+1≤（k2﹣1）x；‎ 令g（x）=|2x+2|+1=，y=g（x）的图象如图所示 要使不等式不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，‎ 只需k2﹣1＞2或k2﹣1≤﹣1，‎ ‎∴实数k的取值范围是{k|k＜﹣或k＞或k=0}…10分 ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a是范围，从而求出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）先求出a的值，从而求出函数g（x）的表达式，求出g（x）的导数，结合函数的单调性，得到不等式组，从而求出m的范围．‎ ‎【解答】解：（Ι）由f′（x）=知：‎ 当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）；‎ 当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ ‎∴函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）；‎ 当a=0时，函数是常数函数f（x）=﹣3，无单调区间．‎ ‎（Ⅱ）由f′（2）=﹣=1⇔a=﹣2，‎ ‎∴f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，f′（x）=2﹣，‎ 故g（x）=x3+（2+）x2﹣2x，‎ ‎∴g′（x）=3x2+（4+m）x﹣2，‎ ‎∵函数g（x）在区间（t，3）上总存在极值，‎ ‎∴函数g（x）在区间（t，3）上总存在零点，‎ 又∵函数g′（x）是开口向上的二次函数，且g′（0）=﹣2＜0，‎ ‎∴，‎ 由g′（t）＜0⇔m＜﹣3t﹣4，‎ 令H（t）=﹣3t﹣4，则H′（t）=﹣﹣3＜0，‎ 所以H（t）在上[1，2]单调递减，所以m＜H（t）min=H（2）=﹣9；‎ 由g′（3）=27+3（4+m）﹣2＞0，解得：m＞﹣；‎ 综上得：﹣＜m＜﹣9，‎ 所以当m在（﹣，﹣9）内取值时，对于任意的t∈[1，2]，‎ 函数g（x）在区间（t，3）上总存在极值．‎