2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：第二章第二讲 函数的基本性质
第二讲 函数的基本性质
1.下列说法中正确的个数是 ( )
(1)若函数 y=f (x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).
(2)对于函数 f (x),x∈D,若对任意 x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0,则函数 f (x)在区间 D 上是增
函数.
(3)若函数 y=f (x+a)是偶函数,则函数 y=f (x)的图象关于直线 x=a 对称.
(4)若函数 y=f (x+b)是奇函数,则函数 y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(5)已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的偶函数,若 f (x)在( - ∞,0)上是减函数,则 f (x)在(0,+∞)上是增函数.
(6)若 T 为函数 y=f (x)的一个周期,那么 nT(n∈Z)也是函数 f (x)的周期.
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[2019 北京,3,5 分]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=푥
1
2 B.y=2 - xC.y=log1
2
x D.y=
1
푥
3.[2019 全国卷Ⅱ,6,5 分]设 f (x)为奇函数,且当 x≥0 时,f (x)=ex - 1,则当 x<0 时,f (x)= ( )
A.e - x - 1 B.e - x+1
C. - e - x - 1 D. - e - x+1
4.[2020河南郑州高三联考]若函数f (x)={2푥 + 2,푥 ≤ 1,
log2(푥 - 1),푥 > 1在( - ∞,a]上的最大值为4,则 a的取值范围为( )
A.[0,17] B.( - ∞,17]
C.[1,17] D.[1,+∞)
5.[2020 南阳模拟]已知函数 f (x)=x3+ln x,则不等式 f (x(x - 1))
0,得 x< - 2 或 x>4.因此,函数 f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的定义域是( - ∞, -
2)∪(4,+∞). ...............................................................................................................................(先求函数 f (x)的定义域)
易知函数 y=x2 - 2x - 8 在( - ∞, - 2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数 y=lnt 为(0,+∞)上的增函数,由
复合函数的单调性知,
f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是(4,+∞).
D
1.函数 f (x)=(
1
2) 푥-푥2
的单调递增区间为 ( )
A.( - ∞,
1
2] B.[0,
1
2] C.[
1
2,+∞) D.[
1
2,1]
考法 2 函数单调性的应用
命题角度 1 比较大小
3 已知函数 f (x)为偶函数,当 x>0 时,f (x)= 푥 - 4 - x,设 a=f (log30.2),b=f (3 - 0.2),c=f ( - 31.1),则
A.c>a>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>a>c
利用函数 f (x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把 a,c 对应的自变量的值转化到(0,+∞)内,
然后比较 31.1,
- log30.2 , 3 - 0.2 的大小,再判断 f (x)在(0,+∞)上的单调性,即可得 a,b,c 的大小.
因为函数 f (x)为偶函数,所以 a=f (log30.2)=f ( - log30.2),c=f ( - 31.1)=f (31.1).(注意把自变量的值转化
到同一个单调区间内去研究)
因为 log3
1
9< log30.23> - log30.2>1>3 - 0.2.
因为 y= 푥在(0,+∞)上为增函数,y= - 4 - x 在(0,+∞)上为增函数,所以 f (x)在(0,+∞)上为增函数,
所以 f (31.1)>f ( - log30.2)>f (3 - 0.2),所以 c>a>b.
A
命题角度 2 求解不等式
4(1)[2017 全国卷Ⅰ,5,5 分][理]函数 f (x)在( - ∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若 f (1)= - 1,则满足 -
1≤f (x - 2)≤1 的 x 的取值范围是
A.[ - 2,2] B.[ - 1,1] C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知函数 f (x)= - x|x|,x∈( - 1,1),则不等式 f (1 - m)0),
∵ y=log1
2
u 为减函数,
∴函数 u 在[1,2]上是减函数,
∵ u=6 - ax+x2,其图象的对称轴为直线 x=
푎
2,
∴
푎
2≥2,且 u>0 在[1,2]上恒成立.
∴{푎
2 ≥ 2,
6 - 2푎 + 4 > 0,解得 4≤a<5,
∴实数 a 的取值范围为[4,5).
2.(1)函数 f (x)={ - 푥2 - 푎푥 - 5,푥 ≤ 1,
푎
푥,푥 > 1 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围为 .
(2)[2016 天津,13,5 分][理]已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间( - ∞,0)上单调递增.若实数 a 满足 f
(2|a - 1|)>f ( - 2),则 a 的取值范围是 .
考法 3 求函数的最值(值域)
6 已知函数 f (x)={푥2,푥 ≤ 1,
푥 + 6
푥 - 6,푥 > 1,则 f (x)的最小值是 .
结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得
出结论.
(利用单调性和基本不等式求解)因为 y=x2 在( ― ∞,0)上单调递减,在[0, + ∞)上单调递增,所以当 x≤1
时,f (x)min=f (0)=0. ............................................................................................................................................................
(用单调性法求最值)
当 x>1 时,y=x+
6
푥≥2 6,当且仅当 x= 6时,等号成立,此时 f (x)min=2 6 - 6.................(用基本不等式法求最值)
又 2 6 - 6<0, ...................................................................................................................................(比较每段上的最值)
所以 f (x)min=2 6 - 6.
求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作
为分段函数的最小值.
7 若 x∈[ -
π
6,
2π
3 ],则函数 y=4sin2x - 12sin x - 1 的最大值为 ,最小值为 .
令 t=sinx,确定 t 的取值范围 转化为关于 t 的二次函数 利用单调性法求解二次函数的最值
(换元法)令 t=sinx,因为 x∈[ -
π
6,
2π
3 ],
所以 t∈[ -
1
2,1], .............................................................................................................................(注意新元的取值范围)
所以 y=f (t)=4t2 - 12t - 1.
因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线 t=
3
2,所以当 t∈[ -
1
2,1]时,函数 f (t)单调递减,
所以当 t= -
1
2时,ymax=6;当 t=1 时,ymin= - 9.
8 求下列函数的值域:
(1)y=
1 - sin푥
2 - cos푥; (2)y= - 푥2 - 6푥 - 5;
(3)y=x+ 1 - 푥2;(4)y=
3푥 - 5
2푥 + 1;
(5)y=
푥2 + 4푥 + 1
푥2 + 1 ; (6)y=
푥2 - 1
푥2 + 1.
根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.
(1)(图象法)设动点 M(cosx,sinx),定点 P(2,1),则 y=
1 - sin푥
2 - cos푥的几何意义是直线 PM 的斜率.而动点 M 在
单位圆 x2+y2=1 上.如图 2 - 2 - 1,当直线 PM 和圆相切时斜率取得最值,푘푀1푃=0,푘푀2푃 = 4
3.所以函数的值域为
[0,
4
3].
图 2 - 2 - 1
(2)(配方法)因为 y= - 푥2 - 6푥 - 5 = -(푥 + 3)2 + 4≤ 4=2,y≥0,所以 y= - 푥2 - 6푥 - 5的值域为[0,2].
(3)(三角换元法)因为 1 - x2≥0,所以 - 1≤x≤1,所以可设 x=cosα,α∈[0,π],
则 y=cosα + sinα= 2sin (α+
π
4).
因为 α∈[0,π],
所以 α+
π
4∈[
π
4,
5π
4 ],
所以 sin(α+
π
4)∈[ -
2
2 ,1],
所以 2sin(α+
π
4)∈[ - 1, 2],
所以原函数的值域为[ - 1, 2].
(4)(分离常数法)y=
3푥 - 5
2푥 + 1 =
3
2(2푥 + 1) - 13
2
2푥 + 1 = 3
2 ―
13
2
2푥 + 1≠
3
2,
所以所求函数的值域为{y| y∈R 且 y≠
3
2}.
(5)(判别式法)由原函数整理得(1 - y)x2+4x+1 - y=0.
当 1 - y=0,即 y=1 时,x=0;
当 1 - y≠0,即 y≠1 时,Δ=16 - 4(1 - y)2≥0,即(1 - y)2≤4,
解得 - 1≤y≤3,所以 - 1≤y≤3 且 y≠1. ............................................................(要注意对二次项系数 1 - y 进行讨论)
综上,所求函数的值域为[ - 1,3].
(6)(有界性法)由 y=
푥2 - 1
푥2 + 1,可得 x2=
1 + 푦
1 - 푦 ,且 y<1................................................ (结合完全平方式非负的性质来转化)
由 x2≥0,知
1 + 푦
1 - 푦 ≥0,解得 - 1≤y<1,故所求函数 y=
푥2 - 1
푥2 + 1的值域为[ - 1,1).
3.(1)[2019 郑州市第二次质量预测]高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数
学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过 x 的最大整数,则 y=[x]称为高斯
函数.例如:[ - 2.1]= - 3,[3.1]=3.已知函数 f (x)=
2푥 + 3
1 + 2푥+1,则函数 y=[f (x)]的值域为 ( )
A.(
1
2,3) B.(0,2] C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
(2)已知函数 f (x)=
sinπ푥
2
2푥-1 + 2-푥+1(x>0),则函数 f (x)的最大值是 .
考法 4 判断函数的奇偶性
9 判断下列各函数的奇偶性:
(1)f (x)=(x - 1)
1 + 푥
1 - 푥 ; (2)f (x)=
lg(1 - 푥2)
|푥2 - 2| - 2;
(3)f (x)={푥2 + 푥(푥 < 0),
0(푥 = 0),
- 푥2 + 푥(푥 > 0).
求函数的定义域 判断定义域是否关于原点对称 判断 f ( - x)与 f (x)的关系 下结论
(1)由
1 + 푥
1 - 푥 ≥0 得函数的定义域为[ - 1,1),不关于原点对称,所以 f (x)为非奇非偶函数.
(2)由{1 - 푥2 > 0,
|푥2 - 2| - 2 ≠ 0得函数的定义域为( - 1,0)∪(0,1),
f (x)=
lg(1 - 푥2)
-(푥2 - 2) - 2= -
lg(1 - 푥2)
푥2 .
所以 f ( - x)= -
lg[1 - ( - 푥)2]
( - 푥)2 = -
lg(1 - 푥2)
푥2 =f (x),
所以 f (x)为偶函数.
(3)当 x<0 时, - x>0,则 f ( - x)= - ( - x)2 - x= - (x2+x)= - f (x);
当 x>0 时, - x<0,则 f ( - x)=( - x)2 - x= - ( - x2+x)= - f (x).
又 f (0)=0,故对任意的 x∈( - ∞,+∞),都有 f ( - x)= - f (x), (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇
偶性)
所以 f (x)为奇函数.
4.[新课标全国卷,5 分][理]设函数 f (x),g(x)的定义域都为 R,且 f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,
则下列结论中正确的 ( )
A. f (x)g(x)是偶函数 B. f (x)|g(x)|是奇函数
C.|f (x)|g(x)是奇函数 D.|f (x)g(x)|是奇函数
考法 5 函数奇偶性的应用
10(1)[2020 湖北部分重点中学高三测试]已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f
(x)=log2( - x)+m,f (
1
2)= 2,则实数 m=
A.
2
2 B. -
2
2 C. 2+1 D. - 2+1
(2)已知函数 f (x)为奇函数且定义域为 R,当 x>0 时,f (x)=x+1,则 f (x)的解析式为 .
(3)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x - 1)0,则 - x<0,所以 f ( - x)=log2x+m,因为 f (x)是 R 上的奇函数,所以 f ( - x)= - f (x),
所以 x>0 时,f (x)= - f ( - x)= - log2x - m,因为 f (
1
2)= 2,所以 2= - log2
1
2 - m,解得 m= - 2+1,故选 D.
解法二 因为 f (x)是 R 上的奇函数,f (
1
2)= 2,所以 f ( -
1
2)= - 2,因为当 x<0 时,f (x)=log2( - x)+m,
所以 - 2=log2[ - ( -
1
2)]+m,所以 m= - 2+1,故选 D.
(2)因为 f (x)为奇函数,所以 f ( - x)= - f (x).
当 x=0 时,有 f ( - 0)= - f (0),所以 f (0)=0.
当 x<0 时, - x>0.f (x)= - f ( - x)= - ( - x+1)=x - 1.
所以 f (x)={푥 + 1,푥 > 0,
0,푥 = 0,
푥 - 1,푥 < 0.
(3)因为偶函数 f(x)=f(|x|),
所以 f(2x - 1)
1
2时,
f (x+
1
2)=f (x -
1
2).则 f (6)= ( )
A. - 2 B. - 1 C.0 D.2
考法 7 函数性质的综合应用
13(1)[2019 全国卷Ⅲ,11,5 分][理]设 f (x)是定义域为 R 的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则
A.f (log3
1
4)>f (2-3
2)>f (2-2
3)
B.f (log3
1
4)>f (2-2
3)>f (2-3
2)
C.f (2-3
2)>f (2-2
3)>f (log3
1
4)
D.f (2-2
3)>f (2-3
2)>f (log3
1
4)
(2)[2018 全国卷Ⅱ,11,5 分][理]已知 f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,满足 f (1 - x)=f (1+x).若 f (1)=2,
则 f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=
A. - 50 B.0 C.2 D.50
(1)根据函数 f (x)为偶函数可知,f (log3
1
4)=f ( - log34)=f (log34),∵ 0<2-3
2 < 2-2
3<20f (2-2
3)>f (log3
1
4).
(2)解法一 ∵ f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,
∴f ( - x)= - f (x),且 f (0)=0.∵ f (1 - x)=f (1+x),
∴f ( - x)=f (2+x),∴f (2+x)= - f (x),∴f (4+x)= - f (2+x)=f (x),∴f (x)是周期函数,且一个周期为 4,∴f (4)=f
(0)=0,f (2)=f (1+1)=f (1 - 1)=
f (0)=0,f (3)=f (1+2)=f (1 - 2)= - f (1)= - 2,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (50)=12×0+f (49)+f (50)=f
(1)+f (2)=2.
解法二 因为函数 f (x)满足 f (1 - x)=f (1+x),可知 f (x)的图象关于直线 x=1 对称.
又 f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,所以 f (0)=0,且已知 f (1)=2,计算可得:
f (2)=f (0)=0,
f (3)=f ( - 1)= - f (1)= - 2,
f (4)=f ( - 2)= - f (2)=0,
f (5)=f ( - 3)= - f (3)=2,
f (6)=f ( - 4)= - f (4)=0,
f (7)=f ( - 5)= - f (5)= - 2,
f (8)=f ( - 6)= - f (6)=0,……
所以 f (1)+f (2)+f (3)+…+f (49)+f (50)=(2+0 - 2+0)×12+2+0=2.
(1)C (2)C
7.已知定义在 R 上的函数 f (x),对任意实数 x 有 f (x+4)= - f (x)+2 2,若函数 f (x - 1)的图象
关于直线 x=1 对称,
f (5)=2,则 f (2 021)= .
易错 忽略函数的定义域致误
14(1)若函数 f (x)=
푘 - 2푥
1 + 푘·2푥在定义域上为奇函数,则实数 k= .
(2)已知函数 f (x)={푥2 + 1,푥 ≥ 0,
1,푥 < 0, 则满足不等式 f (1 - x2)>f (2x)的 x 的取值范围是 .
(1)解题过程中忽略函数 f (x)的定义域,直接通过计算 f (0)=0,得 k=1;(2)本题易直接由 f (1 - x2)>f
(2x)得 1 - x2>2x,忽略了 1 - x2>0 导致解答失误.
(1)因为 f ( - x)=
푘 - 2-푥
1 + 푘·2-푥 = 푘·2푥 - 1
2푥 + 푘 ,
所以 f ( - x)+f (x)=
(푘 - 2푥)(2푥 + 푘) + (푘·2푥 - 1)·(1 + 푘·2푥)
(1 + 푘·2푥)(2푥 + 푘)
=
(푘2 - 1)(22푥 + 1)
(1 + 푘·2푥)(2푥 + 푘).
由 f ( - x)+f (x)=0,可得 k2=1,
所以 k=±1.
(2)画出 f (x)={푥2 + 1,푥 ≥ 0,
1,푥 < 0 的图象,如图 2 - 2 - 2 所示,由 f (1 - x2)>
f (2x),可知{1 - 푥2 > 0,
1 - 푥2 > 2푥,
即{ -1 < 푥 < 1,
-1 - 2 < 푥 < 2 - 1,
所以 x 的取值范围是( - 1, 2 - 1).
素养提升
(1)函数 f (x)在定义域上为奇函数 f ( - x)+f (x)=0 得出实数 k 的值.
(2)f (1 - x2)>f (2x) {1 - 푥2 > 0,
1 - 푥2 > 2푥 得出 x 的取值范围.
266
1.B 对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1 -
x2)[f (x1) - f (x2)]>0⇔{푥1 > 푥2,
푓(푥1) > 푓(푥2)或{푥1 < 푥2,
푓(푥1) < 푓(푥2),所以 f (x)在区间 D 上是增函数,故(2)正确;对于(3),若
函数 y=f (x+a)是偶函数,则 f ( - x+a)=f (x+a),则函数 y=f (x)的图象关于直线 x=a 对称,故(3)正确;对于(4),
若函数 y=f (x+b)是奇函数,则 f ( - x+b)= - f (x+b),则函数 y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称,故(4)正确;
对于(5),根据偶函数的性质可知,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,故(5)正确;对于(6),当 n=0
时,nT=0,此时 nT 不是函数 f (x)的周期,故(6)错误.故(2)(3)(4)(5)正确,故选 B.
2.A 对于幂函数 y=xα,当 α>0 时,y=xα 在(0,+∞)上单调递增,当 α<0 时,y=xα 在(0,+∞)上单调递减,所以选
项 A 正确;选项 D 中的函数 y=
1
푥可转化为 y=x - 1,所以函数 y=
1
푥在(0,+∞)上单调递减,故选项 D 不符合题意;
对于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1),当 01 时,y=ax 在( - ∞,+∞)
上单调递增,而选项 B 中的函数 y=2 - x 可转化为 y=(
1
2)x,因此函数 y=2 - x 在(0,+∞)上单调递减,故选项 B 不符
合题意;对于对数函数y=logax(a>0 且a≠1),当 01 时,y=logax
在(0,+∞)上单调递增,因此选项 C 中的函数 y=log1
2
x 在(0,+∞)上单调递减,故选项 C 不符合题意.故选 A.
3.D 解法一 依题意得,当 x<0 时,f (x)= - f ( - x)= - (e - x - 1)= - e - x+1,选 D.
解法二 依题意得,f ( - 1)= - f (1)= - (e1 - 1)=1 - e,结合选项知,选 D.
4.C 易知f (x)在( - ∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递增,因为f (1)=4,f (17)=4,所以a的取值范围为[1,17].
5.( - 1,0)∪(1,2) 函数 f (x)的定义域为(0,+∞),且 y=x3 与 y=ln x 在(0,+∞)上都是增函数,故 f (x)=x3+ln x
在定义域内为增函数,则 0f ( - 2),且 f ( - 2)=f ( 2),所以 - 2<2|a - 1|< 2,则|a - 1|<
1
2,所以
1
20,所以 0<
1
1 + 2푥+1<1,所以
1
2 < 1
2 + 5
2(1 + 2푥+1)<3,即
1
20,f ( - 3)=
e - 3 + e3
2 >0,g( - 1)=
e - 1 - e
4 <0.因为 f ( - 3) - f ( - 2)=
e - 3 + e3
2 ― e - 2 + e2
2 = (e - 1)(e2 - e - 3)
2 >0,所以 g( - 1)
1
2时,f (x+1)=f (x),所以 f (6)=f (5×1+1)=f (1).因为当 - 1≤x≤1 时,f ( - x)= - f (x),
所以 f (1)= - f ( - 1)= - [( - 1)3 - 1]=2,所以
f (6)=2,故选 D.
7.2 由函数 y=f (x - 1)的图象关于直线 x=1 对称可知,函数 f (x)的图象关于 y 轴对称,故 f (x)为偶函数.
由 f (x+4)= - f (x)+2 2,得 f (x+4+4)= - f (x+4)+2 2=f (x),所以 f (x)是最小正周期为 8 的偶函数,
所以 f (2 021)=f (5+252×8)=f (5)=2.
