2018-2019学年甘肃省武威第五中学高二5月月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省武威第五中学高二5月月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省武威第五中学高二5月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（ ）．‎ A．假设是有理数 B．假设是有理数 C．假设或是有理数 D．假设是有理数 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“是无理数”的假设为“假设是有理数”．‎ ‎【考点】反证法．‎ ‎2．椭圆为参数)的离心率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为，所以c=.‎ 所以e＝.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，‎ ‎3．给出下面类比推理命题（其中为有理数，为实数集，为复数集）：‎ ‎①“若，则”类比推出“，则”；‎ ‎②“若，则复数”类比推出“，则 ‎”；‎ ‎③“若，则”类比推出“若，则”；‎ ‎④“若，则”类比推出“若，则”；‎ 其中类比结论正确的个数有（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】很明显命题①②正确，‎ 对于命题③，当时，，但是无法比较的大小，原命题错误；‎ 对于命题④，若，则，但是无法比较z与1,-1的大小，原命题错误；‎ 综上可得，类比结论正确个数为2.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．‎ ‎4．下列推理合理的是(　　)‎ A．是增函数，则 B．因为，则是虚数单位)‎ C．是锐角的两个内角，则 D．是三角形的内角，若，则此三角形为锐角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】举例，可判断A，根据虚数不能比较大小，可判断B，根据诱导公式，可判断C，根据三角形的分类，可判断D。‎ ‎【详解】‎ 对于A，例如是增函数，但是，故选项A不对；‎ 对于B，虚数是不能进行大小比较的，故选项B不对；‎ 对于C，，为锐角三角形的两个内角， ，，‎ 又函数在上单调递增，，‎ 由诱导公式可得：，，故C正确；‎ 对于D，锐角三角形的定义是三个内角都为锐角，若是三角形的内角，，则为锐角，但不能判定角，角的大小，故选项D不对。‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查虚数的性质，利用导数研究函数单调，诱导公式等知识点，属于中档题。‎ ‎5．如图:图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含的单位正方形的个数是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，寻找规律，可得第个图包含个互不重叠的单位正方形，求和即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 设第个图包含个互不重叠的单位正方形，‎ 图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，‎ ‎，，，‎ ‎，由此类推可得：‎ 经检验满足条件。‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理能力，解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式，再由累加法法得出第项的表达式，利用等差数列的求和公式即可得出答案，属于中档题。‎ ‎6．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【解析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 ‎【详解】‎ 解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，‎ 甲不知自己的成绩 ‎→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）‎ ‎→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 ‎→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，‎ 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．‎ ‎7．圆的参数方程为，(为参数，)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数的值是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将点坐标代入圆参数方程，解得参数即可.‎ ‎【详解】‎ 因为Q(－2，2)是圆上一点，所以，，因为，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的参数方程，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎8．为实数，则为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数（m2+i）（1+mi）=（m2-m）+（1+m3）i 它是实数∴1+m3=0‎ ‎∴m=-1‎ 故选B.‎ ‎9．已知点的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点的坐标是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】找出与终边相同的角，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 点的极坐标为，由于与是终边相同的角，故点也可以表示为，‎ 故答案选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示，属于基础题。‎ ‎10．在极坐标系中有如下三个结论：‎ ‎①点在曲线上，则点的极坐标满足曲线的极坐标方程；‎ ‎②与表示同一条曲线；‎ ‎③与表示同一条曲线.‎ 在这三个结论中正确的是(　　)‎ A．①③ B．①‎ C．②③ D．③‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据曲线与方程关系确定结论是否正确.‎ 详解：因为点的极坐标表示不唯一，所以点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程；‎ 因为表示直线，表示射线，所以与不表示同一条曲线；‎ 因为都表示以极点为圆心，3 为半径得圆，所以与表示同一条曲线.‎ 因此选D.‎ 点睛：直角坐标方程与极坐标方程进行转换变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎11．在极坐标系中，曲线关于对称(　　)‎ A．直线 B．直线 C．极点中心 D．点中心 ‎【答案】D ‎【解析】先将原极坐标方程中的三角函数式利用和差化积公式展开，两边同乘以后化为直角坐标方程，求出圆的圆心的极坐标，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由曲线可得：‎ ‎，两边同乘以可得：‎ ‎，所以曲线的普通方程为：‎ ‎ ，即，故圆的圆心坐标为，圆心对应的极坐标为，圆心坐标在直线上，所以圆的对称中心为。‎ 故答案选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点：圆的极坐标与直角坐标的互化，以及圆的对称问题，圆的对称中心是圆心，对称轴是经过圆心的直线。属于中档题。‎ ‎12．极坐标方程表示的图形为(　　)‎ A．一个圆与一条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两条直线 ‎【答案】C ‎【解析】由可得两个方程：或者，根据这两个极坐标方程即可判断图形。‎ ‎【详解】‎ 由可得：，‎ 解得或者，‎ 对于，两边平方得到，即，表示一个圆；‎ 对于，两边同乘得到，即，也表示一个圆；‎ 因此极坐标方程表示圆和圆，‎ 故答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与直角坐标的互化，关键掌握极坐标与普通方程转化的公式：，，。‎ 二、填空题 ‎13．设，，则的大小关系为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： ‎ ‎【考点】不等式性质 ‎14．已知圆的极坐标方程为，则此圆被直线截得的弦长为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由弦长 ‎ ‎.‎ ‎15．若复数所对应的点在第三象限，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由第三象限的点的横坐标与纵坐标都小于0即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题可知，该复数在第三象限，满足实部，虚部，‎ 则，解不等式组得到 ，即或，‎ 所以，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题重点考查复数的代数形式以及几何意义，解题时注意把握复数的实部与虚部分别对应复平面点的横坐标与纵坐标。属于中档题。‎ ‎16．在中，若，则外接圆半径,运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的半径_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查类比思想及割补思想的运用，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力；直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径为长方体对角线长的一半.‎ 三、解答题 ‎17．已知用分析法证明：.‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎【解析】试题分析：去分母，移项，配方即得 试题解析：[证明]　因为a>0，b>0，‎ 要证≥，‎ 只要证，(a＋b)2≥4ab，‎ 只要证(a＋b)2－4ab≥0，‎ 即证a2－2ab＋b2≥0，‎ 而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，‎ 故≥成立．‎ 点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.‎ ‎(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.‎ ‎18．已知，且为虚数单位)，求复数的虚部.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设出，代入方程，整理后利用复数相等的概念求出引入的参数、的值，即可求出复数，再求出复数确定虚部。‎ ‎【详解】‎ 设，代入方程，‎ 得出，故有 ，‎ 解得， ‎ ‎∴，复数 ，‎ 则复数虚部为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数中基本知识的计算，共轭复数、虚部、复数相等的概念，复数模长的求法，复数的加减乘除混合运算，属于基础题。‎ ‎19．复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数，的值．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】【详解】试题分析：解：，‎ 由，得． ①‎ 复数0，，对应的点是正三角形的三个顶点，‎ ‎，‎ 把代入化简，得．　　　②‎ 又点在第一象限内，，．‎ 由①②，得 故所求，．‎ ‎【考点】本题主要考查复数的概念及代数运算，复数的几何意义。‎ 点评：综合题，对学生运用数学知识分析问题解决问题的能力要求较高。关键是要注意数形结合，利用图象的的特征。‎ ‎20．已知圆O的参数方程为 (θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎(1)求圆心和半径；‎ ‎(2)若圆O上点M对应的参数，求点M的坐标．‎ ‎【答案】（1）(0，0)，2；（2）.‎ ‎【解析】(1)先求出圆的普通方程,再写出圆心坐标和半径.(2)把θ＝代入圆的参数方程即得点M的坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由 (0≤θ<2π)，‎ 平方得x2＋y2＝4，‎ 所以圆心O为(0，0)，半径r＝2.‎ ‎(2)当θ＝时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－，‎ 所以点M的坐标为(1，－)．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查参数方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法.‎ ‎21．已知直线的参数方程为(为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）x2＋y2＝16.(2)‎ ‎【解析】(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2) 将直线的参数方程代入曲线方程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，‎ 所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)将直线的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 整理，得t2＋3t－9＝0.‎ 设A，B对应的参数为t1，t2，则 t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.‎ ‎|AB|＝|t1－t2|＝‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数几何意义求弦长，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎22．在极坐标系中，极点为0，已知曲线与曲线交于不同的两点.求：‎ ‎(1)的值；‎ ‎(2)过点且与直线平行的直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．‎ ‎（2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又∵，可得,∴，‎ 圆心(0,0)到直线的距离为 ‎∴．‎ ‎（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，‎ ‎∴直线的极坐标为，即．‎