命题角度6-2 函数的单调性与极值、最值的综合应用（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度6-2 函数的单调性与极值、最值的综合应用（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度2：函数的单调性与极值、最值的综合应用 ‎1.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研究函数,利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况.‎ ‎（i）当，即时，恒成立，函数在区间上无极值点；‎ ‎（ii）当，即时，有两不同解，函数在上有两个极值点；‎ ‎（iii）当，即时，有一解，函数在区间上有一个极值点；‎ ‎（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点.‎ ‎2.已知函数 .‎ ‎（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；‎ ‎（2）若 在 处取得极小值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用导函数可得切线的斜率为，然后由点斜式可得切线方程为；‎ ‎(2)首先对g(x)求导，然后分类讨论可得实数 的取值范围为 .‎ ‎①当 时， ，函数单调递增，所以当 时， ，当时， ，所以 在处取得极小值，满足题意.‎ ‎②当时， ，当 时， ，故函数单调递增，可得当 时， 时， ，所以 在处取得极小值，满足题意.‎ ‎③当时，当 时， ， 在内单调递增， 时， 在内单调递减，所以当时， 单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即，当 时， 单调递减， ，当时， 单调递减， ，所以在处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数 的取值范围为 .‎ ‎3.设函数（），，‎ ‎(Ⅰ) 试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数；‎ ‎(Ⅱ) 若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．‎ ‎（附：当，x趋近于0时， 趋向于）‎ ‎【答案】（1）两个公共点；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）计算出及，根据点斜式可得切线方程，将切线方程与联立可得方程，设，对其求导，可得其在内的单调性，结合， ，可得零点个数；（2）题意等价于在至少有两不同根，当时， 是的根，根据图象的交点可知有一个零点，除去同根；当显然不合题意；当时，题意等价于在至少有两不同根，对其求导判断单调性，考虑极值与两端的极限值可得结果.‎ 试题解析：（1）∵， ，‎ 切线的斜率为，‎ ‎∴切线的方程为，即，‎ 联立，得；‎ 设，则，‎ 由及，得或，‎ ‎∴在和上单调递增，可知在上单调递减，‎ 又， ，所以， ，‎ ‎∴方程有两个根：1和，从而切线与曲线有两个公共点．‎ ‎②当时， 在仅一根，所以不合题意；--9分 ‎③当时，需在至少有两不同根，‎ 由，得，所以在上单调递增，‎ 可知在上单调递减，‎ 因为， 趋近于0时， 趋向于，且时， ，‎ 由题意知，需，即，解得，‎ ‎∴．‎ 综上知， ．‎ ‎4.已知函数.‎ ‎（1）若是的单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数单调递增等价于导函数，再利用变量分离转化为求对应函数最值问题： 的最大值，最后根据导数求对应函数最值，即得实数的取值范围；(2)实质证明函数 当时先减后增，也即函数有极小值点，并在此极小值点处取最小值，此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式，即最小值表达式，利用导数研究最小值表达式单调性，并根据极小值点范围确定最小值取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ） ‎∵函数在区间上单调递增，‎ . ∴，∴，‎ 令， ，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（Ⅱ） ∴ ∴ ‎∴， ， ， ， ‎ ，∴．‎ 由（Ⅰ）知在上单调递减，‎ ，且，∴．‎ ‎∴，‎ ，‎ ‎∴， , ‎ ‎∴的最小值的取值范围是．‎ ‎5.已知函数．‎ ‎（1）当， 取一切非负实数时，若，求的范围；‎ ‎（2）若函数存在极大值，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2） 试题解析：（1）当时， ， 恒成立等价于恒成立，令， ， ，当时， 恒成立，即在内单调递减，故，可得在内单调递减，故.‎ ‎（2），‎ ‎①当时， ，所以，所以在上为单增函数，无极大值；‎ ‎②当时，设方程的根为，则有，即，所以在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为 ，即，因为，所以，令则，‎ 设，则，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以得最小值为，即的最小值为-1，此时．‎ 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎6.已知函数，其中.‎ ‎（1）若在上存在极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）设， ，若存在最大值，记为，则当时， 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且存在最大值为．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)函数存在极值点，将问题转化为导函数有根，且不为重根，据此分离系数，结合对勾函数的性质和函数的定义域求解实数 的取值范围即可；‎ ‎(2)分类讨论，当 时， 不存在最大值，‎ 当 时，由根与系数的关系求得 的解析式，结合 的式子构造新函数 ，利用新函数的性质结合题意即可求得 的最大值.‎ 解：‎ ‎（1）， .‎ 由题意，得，在上有根（不为重根）.‎ 即在上有解.‎ 由在上单调递增，得.‎ 检验：当时， 在上存在极值点.‎ ‎∴.‎ ‎（2）若，∵在上满足，‎ ‎ ∴在上单调递减，∴.‎ ‎∴不存在最大值.‎ 则.‎ ‎∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设 则.‎ 在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，‎ 对，有；对，有，‎ ‎∴.‎ ‎∴ .‎ 将， 代入上式，消去得 ‎∵，∴， .‎ 据在上单调递增，得.‎ 设， .‎ ， .‎ ‎∴，即在上单调递增.‎ ‎∴ ‎∴存在最大值为.‎ 点睛：可导函数在点 处取得极值的充要条件是，且在 左侧与右侧的符号不同．若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．‎ ‎7.已知函数.‎ ‎（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎【解析】试题分析：（1）函数存在单调递减区间，等价于在上有解，即在上有解，根据实根分布可得解不等式可得实数的取值范围；（2）为两根，所以代入消化简得．令，转化研究函数 最小值，先根据，确定自变量取值范围： ，再利用导数研究函数单调性： 在上单调递减，进而确定函数最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以， ‎ 又因为在上有解， ‎ 令，则，‎ 只需 ‎ 解得即． ‎ ‎（Ⅱ）因为，令，即，‎ 两根分别为，则 ‎ 又因为 ． ‎ 令，由于，所以． ‎ 又因为， ，‎ 即即，‎ 所以，解得或，即．‎ 令，‎ ，‎ 所以在上单调递减， ‎ ． ‎ 所以的最小值为．‎ 点睛：导数与函数的单调性 ‎(1)函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则在该区间为增函数；如果，则在该区间为减函数.‎ ‎(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.‎ ‎8.已知函数， .‎ ‎（1）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负.‎ ‎【答案】（1）;（2）见解析.‎ ‎【解析】【试题分析】（１）先分离参数，再构造函数运用导数求函数的最值；（２）借助导数与函数的单调性之间的关系，运用分类整合思想进行分析求解：‎ ‎（2）， ，∴.‎ 设，则.由，得.‎ 当时， ；当时， . ∴在上单调递增，在上单调递减.且， ， .显然.‎ 结合函数图像可知，若在上存在极值，则或.‎ ‎（ⅰ）当，即时，‎ 则必定，使得，且.‎ 当变化时， ， ， 的变化情况如下表：‎ 极小值 极大值 ‎∴当时， 在上的极值为，且.‎ ‎∵.‎ 设，其中， .‎ ‎∵，∴在上单调递增， ，当且仅当时取等号.‎ ‎∵，∴.∴当时， 在上的极值.‎ ‎（ⅱ）当，即时，则必定，使得.‎ 易知在上单调递增，在上单调递减.此时， 在上的极大值是，且.‎ ‎∴当时， 在上极值为正数.综上所述：当时， 在上存在极值.且极值都为正数.‎ 注：也可由，得.令后再研究在上的极值问题.‎ 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先将函数解析式中的参数分离出来，再构造函数，运用导数知识求该函数的最值；解答本题的第二问时，充分借助题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系及分类整合思想进行分析求解，从而使得问题获解。‎ ‎9.已知函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）见解析（2） 试题解析：（1）由得 故在上单调递增， ‎ 当时，由上知，‎ 即，即，得证. ‎ ‎（2）对求导，得， ． ‎ 记， ．‎ 由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增， ‎ 又， ，所以存在唯一正实数，使得．‎ 于是，当时， ， ，函数在区间内单调递减；‎ 当时， ， ，函数在区间内单调递增．‎ 所以在内有最小值， ‎ 由题设即． ‎ 又因为．所以．‎ 根据（Ⅰ）知， 在内单调递增， ，所以．‎ 令，则，函数在区间内单调递增，‎ 所以，‎ 即函数的值域为．‎ ‎10.设函数,其中 ‎(Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证: ；‎ ‎（Ⅲ）设，函数，求证： 在区间上最大值不小于.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求单调区间，先求导解导数大于零求递增区间，导数小于零求递减区间，但要注意a的取值对导数符号得影响（2）函数存在极值点，即将代入导函数等于零，又所以从而得证（3）求最值先分析函数单调性即可，然后讨论在区间得极值和端点值大小来确定最大值，再验证其不小于即可 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由，可得，‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当时，有恒成立，所以单调递增区间为 ‎（2）当时，令，解得，或，‎ 当变化时， 的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即 进而 又 ,且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；‎ ‎（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为, 表示两数的最大值，下面分三种情况讨论：‎ ‎（1）当时， ，由（Ⅰ）知， 在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此 所以 ‎（2）当时， ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ，‎ 所以在区间上的取值范围为，‎ 因此