2019届二轮（理科数学） 不等关系与不等式课件（32张）（全国通用）
第四章 不等式
第1节 不等关系与不等式
内容简介
本节主要包括以下三方面的知识点
:
(1)
不等关系与不等式
(
组
);
(2)
不等式的基本性质
;
(3)
三个“二次”的关系及一元二次不等式的解法
.
考试说明要求
(1)
了解不等关系
,
掌握不等式的性质
;
(2)
了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系
.
会解一元二次不等式
.
知识梳理
例题精讲
课前检测
知识梳理
1.
两个实数比较大小的方法
(1)
作差法
(a,b∈
R
),
(2)
作商法
(a∈
R
,b>0),
2.
不等式的性质
(1)
不等式的基本性质
别名
性质内容
注意
性质
1
对称性
a>b⇔b
a
可逆
性质
2
传递性
a>b,b>c⇒a
c
同向
性质
3
可加性
a>b⇔a+c
b+c
可逆
性质
4
可乘性
⇒ac>bc; ⇒
ac
bc
c
的符号
<
>
>
(2)
不等式的运算性质
[
基本性质的推论
]
>
>
>
3.
三个
“
二次
”
的关系及一元二次不等式的解法
判别式
Δ=b
2
-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax
2
+bx+c (a>0)
的图象
一元二次方程
ax
2
+ bx+c=0 (a>0)
的根
有两相异实根
x
1
,x
2
(x
1
0 (a>0)
的解集
_______________
____________
___________
ax
2
+bx+c<0 (a>0)
的解集
_____________
____
____
有两相等实根
x
1
=x
2
=-
{x|xx
2
}
{x|x≠x
1
}
{x|x∈
R
}
{x|x
1
< x|a+b|
D
课前检测
2.
已知
a,b∈
R
,
有以下命题
:①
若
a>b,
则
ac
2
>bc
2
;②
若
ac
2
>bc
2
,
则
a>b;③
若
a>b,
则
a·2
c
>b·2
c
,
则正确命题序号为
.
解析
:
对于①当
c=0
时不正确
;
对于②
,
由条件可知
c
2
>0,
所以②正确
;
对于③
,
因为
2
c
>0,
所以也正确
.
答案
:
②③
3.
设集合
A={x|x
2
-4x+3<0},B={x|2x-3>0},
则
A∩B=
.
例题精讲
考点一
比较实数或代数式的大小
【
例
1】
已知
p∈
R
,a>b>0.
比较下列各题中两个代数式值的大小
:
(1)(2p+1)(p-3)
与
(p-6)(p+3)+10;
解
:
(1)
因为
(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]
=p
2
-2p+5=(p-1)
2
+4>0,
所以
(2p+1)(p-3)>(p-6)(p+3)+10.
(2)
与
.
规律方法
比较大小的常用方法
:
作差法
;
作商法
;
函数的单调性法
.
(1)
作差法一般步骤
:
①
作差
;②
变形
;③
定号
;④
结论
.
其中关键是变形
,
常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式
.
当两个式子都为正数时
,
有时也可以先平方再作差
.
(2)
作商法一般步骤
:
①
作商
;②
变形
;③
判断商与
1
的大小
;④
结论
.
(3)
函数的单调性法
:
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值
,
根据函数单调性得出大小关系
.
变式
1:
(1)
已知
a,b,c
是实数
,
试比较
a
2
+b
2
+c
2
与
ab+bc+ca
的大小
;
法二
[
函数法
]
记
t=a
2
+b
2
+c
2
-(ab+bc+ca)=a
2
-(b+c)a+b
2
+c
2
-bc,
因为
Δ=(b+c)
2
-4(b
2
+c
2
-bc)=-3b
2
-3c
2
+6bc=-3(b-c)
2
≤0,
所以
t≥0
对
a∈
R
恒成立
,
即
a
2
+b
2
+c
2
≥ab+bc+ca.
变式
2:
建筑学规定
,
民用住宅的窗户面积必须小于地板的面积
,
但按采光标准
,
窗户面积与地板面积的比不小于
10%,
并且这个比越大
,
住宅的采光条件越好
.
如果我们将窗户与地板同时增加相等的一个面积数
,
那么住宅的采光条件是变好了还是变差了
?
考点二
不等式性质的应用
类型一 利用不等式求范围
【
例
2】
已知
-10,
所以
0b,则由|a
3
-b
3
|=1得a
3
-b
3
=1,即a
3
-1=b
3
,即(a-1)(a
2
+1+a)=b
3
,
又因为a,b为正实数,且a>b,所以(a
2
+1+a)-b
2
=(a-b)(a+b)+1+a>0,
所以
a
2
+1+a>b
2
,
所以
a-10
”
的
(
)
(A)
充分而不必要条件
(B)
必要而不充分条件
(C)
充要条件
(D)
既不充分也不必要条件
考点四 一元二次不等式的恒成立问题
【
例
5】
当
a
为何值时
,
不等式
(a
2
-1)x
2
-(a-1)x-1<0
的解是全体实数
.
解:
(a
2
-1)x
2
-(a-1)x-1<0的解是全体实数
等价于(a
2
-1)x
2
-(a-1)x-1<0对任意的x∈
R
恒成立.
①a
2
-1=0即a=1或a=-1,
当a=1时,原不等式化为-1<0,符合题意;
当a=-1时,原不等式化为2x-1<0,对任意的x∈
R
不恒成立,不符合题意.
答案
:
[0,1]
考点五
一元二次不等式的应
用
【
例
6】
不等式
ax
2
+bx-2<0
的解集为
{x|-1
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