数学卷·2018届江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二上学期第一次月考数学试卷+(解析版)

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数学卷·2018届江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二上学期第一次月考数学试卷+(解析版)

‎2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二(上)第一次月考数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)‎ ‎1.命题“∀x∈R,x2+2x﹣6>0”的否定  .‎ ‎2.椭圆的离心率e=  .‎ ‎3.抛物线y2=16x的焦点坐标是  .‎ ‎4.双曲线的两条渐近线方程为  .‎ ‎5.已知双曲线的实轴长为16,虚轴长为12,则双曲线的离心率为  .‎ ‎6.椭圆4x2+y2=16的长轴长等于  .‎ ‎7.“x=1”是“x2=1”的  条件.(从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空)‎ ‎8.若F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1作直线与椭圆交于A、B,则△ABF2的周长为  .‎ ‎9.在Rt△ABC中,C=90°,则sinAsinB的最大值是  .‎ ‎10.已知双曲线的方程为,则实数m的取值范围是  .‎ ‎11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,则首项a1=  .‎ ‎12.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为  .‎ ‎13.若抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相切,则p=  .‎ ‎14.已知点A(1,1),B,C是抛物线y2=x上三点,若∠ABC=90°,则AC的最小值为  .‎ ‎ ‎ 二、解答题(本题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)已知命题p:任意x∈R,x2+1≥a,命题q:方程﹣=1表示双曲线.‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎16.(14分)已知椭圆C的方程为.‎ ‎(1)求k的取值范围; ‎ ‎(2)若椭圆C的离心率,求k的值.‎ ‎17.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cosB=.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)求sin2C的值.‎ ‎18.(16分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点M(4,﹣).‎ ‎(1)求双曲线方程;‎ ‎(2)若点N(3,m)在双曲线上,求证: 1•N2=0.‎ ‎19.(16分)已知抛物线C顶点在坐标原点,准线方程为x=﹣1‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程.‎ ‎(Ⅱ)若直线经过抛物线C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求直线AB的方程.‎ ‎20.(16分)若椭圆过点(﹣3,2)离心率为,⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x﹣8)2+(y﹣6)2=4,过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;‎ ‎(3)求的最大值与最小值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)‎ ‎1.命题“∀x∈R,x2+2x﹣6>0”的否定 ∃x∈R,x2+2x﹣6≤0 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,‎ 所以,命题“∀x∈R,x2+2x﹣6>0”的否定是:∃x∈R,x2+2x﹣6≤0.‎ 故答案为:∃x∈R,x2+2x﹣6≤0.‎ ‎【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.椭圆的离心率e=  .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由椭圆的方程可得a2,b2,可得c=,再利用离心率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由椭圆的方程可得a2=9,b2=1,‎ ‎∴a=3,c==.‎ ‎∴=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.抛物线y2=16x的焦点坐标是 (4,0) .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】直接由y2=2px(p>0)型抛物线的方程求得p,进一步得到的值,则答案可求.‎ ‎【解答】解:由y2=16x,得2p=16,‎ 则p=8,,‎ ‎∴抛物线y2=16x的焦点坐标是(4,0).‎ 故答案为:(4,0).‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的简单性质,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.双曲线的两条渐近线方程为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.‎ ‎【解答】解:∵双曲线的a=4,b=3,焦点在x轴上 ‎ 而双曲线的渐近线方程为y=±x ‎∴双曲线的渐近线方程为 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想 ‎ ‎ ‎5.已知双曲线的实轴长为16,虚轴长为12,则双曲线的离心率为  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据双曲线的基本概念得到a=8,b=6,由此算出c,再用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:不妨设双曲线方程为(a>0,b>0)‎ ‎∵双曲线的实轴长为16,虚轴长为12,‎ ‎∴2a=16,2b=12,可得a=8,b=6,c===10.‎ 由此可得双曲线的离心率为e==.‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题给出双曲线实轴与虚轴,求它的离心率,着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.椭圆4x2+y2=16的长轴长等于 8 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】化椭圆方程为标准方程,求出长半轴长,则答案可求.‎ ‎【解答】解:由4x2+y2=16,得,‎ ‎∴椭圆为焦点在y轴上的椭圆,‎ 则a2=16,∴a=4.‎ ‎∴椭圆4x2+y2=16的长轴长等于2a=2×4=8.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了椭圆的标准方程,是基础的计算题.‎ ‎ ‎ ‎7.“x=1”是“x2=1”的 充分而不必要 条件.(从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空)‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】“x=1”⇒“x2=1”,“x2=1”⇒“x=1,或x=﹣1”.‎ ‎【解答】解:∵“x=1”⇒“x2=1”,‎ ‎“x2=1”⇒“x=1,或x=﹣1”,‎ ‎∴“x=1”是“x2=1”的充分而不必要条件,‎ 故答案为:充分而不必要.‎ ‎【点评】本题考查充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断,解题时要熟练掌握基本定义,合理地进行判断.‎ ‎ ‎ ‎8.若F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1作直线与椭圆交于A、B,则△ABF2的周长为 16 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】根据题意,分析可得△ABF2的周长等于AF1+AF2+BF1+BF2=4a,由椭圆的标准方程可得a的值,计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,在椭圆+=1中,a=4,则 ‎=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8,‎ 即△ABF2的周长为8;‎ 故答案为16.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的性质,注意将△ABF2的周长转化为A、B两点到椭圆两个焦点的距离之和.‎ ‎ ‎ ‎9.在Rt△ABC中,C=90°,则sinAsinB的最大值是  .‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用;任意角的三角函数的定义.‎ ‎【分析】利用基本不等式直接转化,sinAsinB≤,即可得答案.‎ ‎【解答】解:由基本不等式得sinAsinB≤,‎ ‎∵在Rt△ABC中,C=90°,‎ ‎∴A+B═90°,‎ ‎∴sinAsinB≤=,‎ 等号当sinA═sinB═成立.‎ 故应填.‎ ‎【点评】考查基本不等式与两个角和为90°,则两解的弦的平方和是1.‎ ‎ ‎ ‎10.已知双曲线的方程为,则实数m的取值范围是 0<m< .‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】根据方程表示双曲线,可知m(2m﹣1)<0,从而可求实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵方程表示双曲线,‎ ‎∴m(2m﹣1)<0‎ ‎∴0<m<,‎ 故答案为:0<m<.‎ ‎【点评】本题考查的重点是双曲线的标准方程,解题的关键是确定双曲线标准方程中平方项的分母异号.‎ ‎ ‎ ‎11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,则首项a1= 或﹣ .‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由等比数列前n项和公式列出方程组,由此能求出首项.‎ ‎【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,‎ ‎∴,‎ 解得,q=﹣2或,q=2,‎ ‎∴首项a1为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的首项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎12.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为  .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】根据正三角形的性质可知b=3c,进而根据a,b和c的关系进而求得a和c的关系,则椭圆的离心率可得.‎ ‎【解答】解:依题意可知b=3c ‎∴a==c ‎∴e==‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解.‎ ‎ ‎ ‎13.若抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相切,则p= 2 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质;圆的一般方程.‎ ‎【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径,再由圆心到抛物线的准线的距离等于圆的半径求得p.‎ ‎【解答】解:由x2+y2﹣4x+2y﹣4=0,得 ‎(x﹣2)2+(y+1)2=9,‎ ‎∴圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0是以(2,﹣1)为圆心,以3为半径的圆,‎ ‎∵抛物线y2=2px(p>0)的准线x=与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相切,‎ ‎∴2﹣(﹣)=3,即p=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查了圆的一般方程化标准方程,考查了抛物线的简单性质,训练了点到直线的距离公式,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.已知点A(1,1),B,C是抛物线y2=x上三点,若∠ABC=90°,则AC的最小值为 2 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】设出B,C的坐标,求出AB,BC的斜率,由斜率乘积等于﹣1求得B,C两点纵坐标间的关系,由两点间的距离公式得到|AC|,转化为B的纵坐标的函数,借助于基本不等式求最值.‎ ‎【解答】解:设B(),C(),‎ 则,,‎ 由∠ABC=90°,得kAB•kBC=﹣1,‎ 即(y1+1)(y2+y1)=﹣1,‎ ‎∴,,‎ ‎=,‎ ‎,‎ ‎∴|AC|==‎ ‎==‎ 不妨设y1+1>0,‎ ‎∵,‎ 当且仅当,即y1=0时上式等号成立,‎ 此时取最小值1,‎ ‎∴AC的最小值为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了直线垂直的条件,训练了利用基本不等式求最值,考查了计算能力,是中档题.‎ ‎ ‎ 二、解答题(本题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2012秋•南京期末)已知命题p:任意x∈R,x2+1≥a,命题q:方程﹣=1表示双曲线.‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假;命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】(1)由题意先求出f(x)的最小值,然后结合命题p为真命题,可知a≤f(x)min,从而可求a的范围 ‎(2)因由为真命题,可知a+2>‎ ‎0,可求a的范围,然后结合p且q可知p,q都为真,可求 ‎【解答】解(1)记f(x)=x2+1,x∈R,则f(x)的最小值为1,…(2分)‎ 因为命题p为真命题,所以a≤f(x)min=1,‎ 即a的取值范围为(﹣∞,1]. …‎ ‎(2)因为q为真命题,所以a+2>0,解得a>﹣2.…‎ 因为“p且q”为真命题,所以即a的取值范围为(﹣2,1].‎ ‎…(8分)‎ 说明:第(1)问得出命题p为真命题的等价条件a≤1,给,没过程不扣分,‎ 第(2)问分两步给,得到a>﹣2给(2分),得到x∈(﹣2,1]给(2分),少一步扣(2分).‎ ‎【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用,解题的关键是准确求出命题p,q为真时参数的范围 ‎ ‎ ‎16.(14分)(2013春•宝安区期末)已知椭圆C的方程为.‎ ‎(1)求k的取值范围; ‎ ‎(2)若椭圆C的离心率,求k的值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)根据题意,方程表示椭圆,则 x2,y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系,解可得答案.‎ ‎(2)先根据题意利用k表示出a,b,进而根据离心率列出关于k的方程,则k的值可得.‎ ‎【解答】解:(1)∵方程表示椭圆,‎ 则,‎ 解得 k∈(1,5)∪(5,9)‎ ‎(2)①当9﹣k>k﹣1时,依题意可知a=,b=‎ ‎∴c=‎ ‎∵=‎ ‎∴‎ ‎∴k=2;‎ ‎②当9﹣k<k﹣1时,依题意可知b=,a=‎ ‎∴c=‎ ‎∵=‎ ‎∴‎ ‎∴k=8;‎ ‎∴k的值为2或8.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质,注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同,考查运算能力,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2016秋•姜堰区校级月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cosB=.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)求sin2C的值.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(1)由已知利用余弦定理即可解得得解b的值.‎ ‎(2)利用余弦定理可求cosC的值,结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值,进而利用二倍角公式即可计算得解.‎ ‎【解答】解:(1)由余弦定理,b2=a2+c2﹣2accosB,可得:,‎ ‎∴解得:.‎ ‎(2)∵=,‎ 又∵C是△ABC的内角,‎ ‎∴.‎ ‎∴sin2C=2sinCcosC=2××=.‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.(16分)(2016秋•姜堰区校级月考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点M(4,﹣).‎ ‎(1)求双曲线方程;‎ ‎(2)若点N(3,m)在双曲线上,求证: 1•N2=0.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)e=,故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠2),过点M(4,﹣),可得16﹣10=λ,即可求双曲线方程;‎ ‎(2)求出向量坐标,利用向量的数量积公式,即可证明结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵e=,故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠2),‎ ‎∵过点M(4,﹣),∴16﹣10=λ,‎ ‎∴λ=6.‎ ‎∴双曲线方程为x2﹣y2=6.‎ ‎(2)证明:由(1)可知:在双曲线中,a=b=,∴c=2.‎ ‎∴F1(﹣2,0),F2(2,0).‎ ‎∴=(﹣2﹣3,﹣m),‎ ‎=(2﹣3,﹣m).‎ ‎∴•=+m2=﹣3+m2.‎ ‎∵N点在双曲线上,∴9﹣m2=6,∴m2=3.‎ ‎∴•=0.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查向量的数量积公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(16分)(2013秋•姜堰市期中)已知抛物线C顶点在坐标原点,准线方程为x=﹣1‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程.‎ ‎(Ⅱ)若直线经过抛物线C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求直线AB的方程.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由抛物线的定义即可得出;‎ ‎(II)设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线的方程联立可得根与系数的关系,再利用中点坐标公式即可得出直线的斜率.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵抛物线C顶点在坐标原点,准线方程为x=﹣1,‎ ‎∴可设抛物线C的方程为:y2=2px(p>0),‎ 由直线方程可得,解得p=2,‎ ‎∴抛物线C的方程为:y2=4x.‎ ‎(Ⅱ)由(1)可知抛物线C的焦点坐标为(1,0),‎ 设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,消去y得:k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,‎ ‎∴,解得,‎ 所求直线AB的方程为:.‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)(2010•徐州一模)若椭圆过点(﹣3,2)离心率为,⊙O的圆心为原点,直径为椭圆的短轴,⊙M的方程为(x﹣8)2+(y﹣6)2=4,过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时,求直线PA的直线方程;‎ ‎(3)求的最大值与最小值.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程;平面向量数量积的运算;直线的一般式方程.‎ ‎【分析】(1)把点(3,2)代入椭圆方程,进而根据离心率和a,b,c的关系求得a和b,则椭圆方程可得.‎ ‎(2)当直线PA过圆M的圆心(8,6),弦PQ最大.因为直线PA的斜率一定存在,所以可设直线PA的方程为:y﹣6=k(x﹣8)‎ 又因为PA与圆O相切,进而可求得圆心(0,0)到直线PA的距离求得k,则直线方程可得.‎ ‎(3)设∠AOP=α,则∠AOP=∠BOP,∠AOB=2α,根据二倍角公式求得cos∠AOB,进而根据•=cos∠AOB求得的最大值与最小值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得:解得a=,b=‎ 所以椭圆的方程为 ‎(2)由题可知当直线PA过圆M的圆心(8,6),弦PQ最大.‎ 因为直线PA的斜率一定存在,所以可设直线PA的方程为:y﹣6=k(x﹣8)‎ 又因为PA与圆O相切,所圆心(0,0)到直线PA的距离为 即=,‎ 可得k=或k=‎ 所以直线PA的方程为:x﹣3y+10=0或13x﹣9y﹣50=0‎ ‎(3)设∠AOP=α,‎ 则∠AOP=∠BOP,∠AOB=2α,‎ 则cos∠AOB=2cos2α﹣1=﹣1,‎ ‎∴•=cos∠AOB=﹣10‎ ‎∴(•)max=﹣,( •)min=﹣‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和向量的基本计算.考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.‎ ‎ ‎
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