2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(Word版)

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2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(Word版)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题 数 学(理科)‎ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设函数在处可导,且,则等于( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数的值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知函数的导函数为,且满足,则( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知上可导函数的图象如图所示,则不等式 的解集为( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5.某次志愿活动,需要从6名同学中选出4人负责A、B、C、D四项工作(每人负责一项),若甲、乙均不能负责D项工作,则不同的选择方案有(  )‎ ‎ A.96种 B.144种 C.240种 D.300种 ‎6.用数学归纳法证明,则当时,左端应在的基础上加上( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有: 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结论是(  )‎ ‎ A.   B. ‎ ‎ C.   D.‎ ‎8.已知都是定义在上的函数,,,且,且,.若数列的前项和大于,则的最小值为(   )‎ ‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎9.函数在点处的切线斜率为2,则的最小值是( )‎ ‎ A.10 B.9 C.8 D.‎ ‎10.设函数,记,若函数至少存在一个零点,则实数m的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.定义在R上的函数满足:的导函数,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义在R上的可导函数 ,当x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1, 2)时,取得极小值,若(1﹣t)a+b+t﹣3>0恒成立,则实数t的取值范围为(  )‎ ‎ A. B. C.(2,+∞) D. [2,+∞)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众做了一项预测:‎ 说:“我认为冠军不会是甲,也不会是乙”.‎ 说:“我觉得冠军不会是甲,冠军会是丙”.‎ 说:“我认为冠军不会是丙,而是甲”.‎ 比赛结果出来后,发现三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是__________.‎ ‎14.计算 =__________. ‎ ‎15.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为_________________ ‎ ‎16题图 ‎16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位,第(2)个几何体的表面积为18个平方单位,第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是______________个平方单位.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎ (1)用分析法证明:;‎ ‎ (2)用反证法证明:三个数中,至少有一个大于或等于.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知关于的方程有实数根b.‎ ‎ (1)求实数的值;‎ ‎ (2)若复数满足.求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 设,是否存在使等式:‎ 对任意都成立,并证明你的结论.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(1)当时,求曲线的点处的切线方程;‎ ‎(2)当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知二次函数 直线l2与函数的图象以及直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示,设这两个阴影区域的面积之和为 ‎(1)求函数的解析式; ‎ ‎(2)定义函数的三条切线,求实数m的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数.‎ ‎(1)若对定义域内的任意,都有成立,求实数的值;‎ ‎ (2)若函数在其定义域上是单调函数,求实数的取值范围;‎ ‎ (3)若,证明对任意的正整数,.‎ 兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题 数 学(理科)‎ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。‎ 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设函数在处可导,且,则等于(C )‎ ‎ A. B. C. D .‎ ‎2.设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数的值为( A )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知函数的导函数为,且满足,则(A ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知上可导函数的图象如图所示,则不等式的解集为(C )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5.某次志愿活动,需要从6名同学中选出4人负责A、B、C、D四项工作(每人负责一项),若甲、乙均不能负责D项工作,则不同的选择方案有( C )‎ ‎ A.96种 B.144种 C.240种 D.300种 ‎6.用数学归纳法证明,则当时,左端应在的基础上加上( D )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有: 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结论是( B )‎ ‎ A.  B.‎ ‎ C.   D. ‎ ‎8.已知都是定义在上的函数,,,且,且,.若数列的前项和大于,则的最小值为(  A )‎ ‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎9.函数在点处的切线斜率为2,则的最小值是( B )‎ ‎ A.10 B.9 C.8 D.‎ ‎10.设函数,记,若函数至少存在一个零点,则实数m的取值范围是( A )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.定义在R上的函数满足:的导函数,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( B )‎ ‎ A. B. C. D. []‎ ‎12.定义在R上的可导函数 ,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1, 2)时,取得极小值,若(1﹣t)a+b+t﹣3>0恒成立,则实数t的取值范围为( D )‎ ‎ A. B. C.(2,+∞) D. [2,+∞)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众做了一项预测:‎ 说:“我认为冠军不会是甲,也不会是乙”.‎ 说:“我觉得冠军不会是甲,冠军会是丙”.‎ 说:“我认为冠军不会是丙,而是甲”.‎ 比赛结果出来后,发现三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是____甲______.‎ ‎14.计算 =__________. ‎ ‎15.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为__84_________ ‎ ‎16题图 ‎16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位,第(2)个几何体的表面积为18个平方单位,第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是_3n(n+1)__ 个平方单位.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ ‎ (1)用分析法证明:;‎ ‎ (2)用反证法证明:三个数中,至少有一个大于或等于.‎ 解:(1)因为和都是正数,所以要证,‎ 只要证,‎ 展开得,‎ 只要证,‎ 只要证,‎ 因为成立,所以成立.‎ ‎(2)假设这三个数没有一个大于或等于,‎ 即,‎ 上面不等式相加得(1)‎ 而,与(1)矛盾,假设不成立,原命题正确.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知关于的方程有实数根b;‎ ‎ (1)求实数的值.‎ ‎ (2)若复数满足.求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.‎ 解:(1)∵是方程的实根 ‎∴‎ ‎∴解得 ‎(2)设,其对应点为 由得:即 ‎∴点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,为半径的圆,如图所示,当点在OO1的连线上时, 取到最值∵‎ ‎∴当时,有最小值,且 ‎19.(本小题满分12分)‎ 设,是否存在使等式:‎ 对任意都成立,并证明你的结论.‎ 解析:(I)由得:,,,‎ 当时,,得.‎ 当时,,得.‎ 当时,,得.‎ 猜想:.‎ 下面证明:对任意都成立 证明:(1)当时,已验证成立.‎ ‎(2)假设(,)时成立,‎ 即 当时,‎ 左边=‎ 所以,左边=‎ 即当命题也成立.‎ 综上,当时,等式对任意的都成立.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎ (1)当时,求曲线的点处的切线方程;‎ ‎ (2)当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围.‎ 解析:(1)当时,,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴切线方程为.‎ ‎(2)函数的定义域为,‎ 当时,,‎ 令得或.‎ ‎①当,即时,在上递增.‎ ‎∴在上的最小值为,符合题意;‎ ‎②当,即时,在上递减,在上递增,‎ ‎∴在上的最小值为,不合题意;‎ ‎③当,即时,在上递减,‎ ‎∴在上的最小值为,不合题意;‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知二次函数 直线l2与函数的图象以及直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示,设这两个阴影区域的面积之和为 ‎ ‎ (1)求函数的解析式; ‎ ‎ (2)定义函数的三条切线,求实数m的取值范围.‎ ‎(1)由 ‎ 所以 所以 因为 分别为 的图象的交点的横坐标 与 所以直线 所以 ‎.‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎]||‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎[‎ ‎]| |‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎[‎ ‎]‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎[(‎ ‎)]‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎[‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ + - + = + - + - + = - - + - - = < + < < < + + = = + + + + ò ò t t x t x x x t dx tx x x dx x x tx t S t t t x f l t x x t t t t ‎(2)依据定义, ‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎),‎ ‎,‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ - < > > ¢ - = ¢ + - = = + - - - + - + = - + = = ¹ x x x g x x g m x x x g m x x x m x x x y x M x h y A x h y m A m 或 得 由 则 设 有三个不等实根 化简整理得 则 设切点为 的切线 作曲线 过点 上 不在曲线 则点 因为 ‎.‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎)‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎),‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎0‎ 上单调递减 在 上单调递增 在区间 所以 - +¥ - -¥ x g ‎ ‎ ‎1‎ 所以,当当 ‎ 因此,关于x0的方程 ‎ ‎ 故实数m的取值范围是(-4,4). ‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数.‎ ‎(1)若对定义域内的任意,都有成立,求实数的值;‎ ‎(2)若函数在其定义域上是单调函数,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若,证明对任意的正整数,.‎ 解:(1)由,得.∴的定义域为.‎ 因为对x∈,都有,∴是函数的最小值,故有.‎ 解得.‎ 经检验,时,在上单调减,在上单调增.为最小值.故得证.‎ ‎(2)∵又函数在定义域上是单调函数,‎ ‎∴或在上恒成立.‎ 若,则 在上恒成立,‎ 即=恒成立,由此得;‎ 若,则 在上恒成立,‎ 即=恒成立.‎ 因在上没有最小值,∴不存在实数使恒成立.‎ 综上所述,实数的取值范围是.‎ ‎(3)当时,函数.‎ 令,‎ 则.‎ 当时,,所以函数在上单调递减.‎ 又,当时,恒有,即恒成立.‎ 故当时,有.‎ 而,.取,则有.‎ ‎.所以结论成立.‎
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