初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起

1 第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三 角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要 方法． 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设 Rt△ABC 的各边长分别为 a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其 内切圆半径的不同表示式： (1) 2 cbar  ； (2) cba abr  ． 请读者给出证 【例题求解】 【例 1】 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与 Rt△ABC 的三边 AB、BC、 AC 分相切于点 D、E、F，若⊙O 的半径 r＝2，则 Rt△ABC 的周长为 ． 思路点拨 AF=AD，BE=BD，连 OE、OF，则 OECF 为正方形，只需求出 AF(或 AD)即可． 【例 2】 如图，以定线段 AB 为直径作半圆 O，P 为半圆上任意一点(异于 A、B)，过点 P 作半圆 O 的切线分别交过 A、B 两点的切线于 D、C，AC、BD 相交于 N 点，连结 ON，NP， 下列结论：①四边形 ANPD 是梯形；②ON=NP：③DP·P C 为定值；④FA 为∠NPD 的平 分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识， 注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出 NP∥AD∥BC 是解本例的关 键． 2 【例 3】 如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点 B 在 CE 上，CA=CB=CD，过 A、C、D 三 点的圆交 AB 于 F，求证：F 为△CDE 的内心． (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 连 CF、DF，即需证 F 为△CDE 角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将 问题转化为角相等问题的证明． 【例 4】 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以 AB 为直径作 半圆 O 切 CD 于 E，连结 OE，并延长交 AD 的延长线于 F． (1)问∠BOZ 能否为 120°，并简要说明理由； (2)证明△AOF∽△EDF，且 2 1 OA DE OF DF ； (3)求 DF 的长． 思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2) 把计算与推理融合；(3)把相应线段用 DF 的代数式表示，利用勾股定理建立关于 DF 的一元 二次方程． 注： 如图，在直角梯形 ABCD 中，若 AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质： (1)以边 AB 为直径的圆与边 CD 相切； (2)以边 CD 为直径的圆与边 AB 相切． 类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫 三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置 上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用． 【例 5】 如图，已知 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，O、O1、O2 分别是△ABC；△ ACD、△BCD 的角平分线的交点，求证：(1) O1O⊥C O2；(2)OC= O1O2． (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对 应角相等，所以通过证交角为 90°的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相 等． 3 学力训练 1．如图，已知圆外切等腰梯形 ABCD 的中位线 EF=15cm，那么等腰梯形 ABCD 的周长等 于= cm． 2．如图，在直角，坐标系中 A、B 的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则 Rt△ABO 内心的坐标 是 ． 3．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC， DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以 AB 为直径的⊙O 与 DC 相切于 E，则 DC= ． 4．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C=90°，AO 的延长线交 BC 于点 D，AC=4，CD=1， 则⊙O 的半径等于( ) A． 5 4 B． 4 5 C． 4 3 D． 6 5 5．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ BCD=90°，以 CD 为直径的半圆 O 切 AB 于点 E， 这个梯形的面积为 21cm2，周长为 20cm，那么半圆 O 的半径为( ) A．3cm B．7cm C ．3cm 或 7cm D． 2cm 6．如图，△ABC 中，内切圆 O 和边 B、CA、AB 分别相切于点 D、EF，则以下四个结论 中，错误的结论是( ) A．点 O 是△DEF 的外心 B．∠AFE= 2 1 (∠B+∠C) C．∠BOC=90°+ 2 1 ∠A D．∠DFE=90°一 ∠B 7．如图，BC 是⊙O 的直径，AB、AD 是⊙O 的切线，切点分别为 B、P，过 C 点的切线与 AD 交于点 D，连结 AO、DO． (1)求证：△ABO∽△OCD； (2)若 AB、CD 是关于 x 的方程 0)1()1(2 5 22  mxmx 的两个实数根，且 S△ABO+ S△ 4 OCD=20，求 m 的值． 8．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 与⊙O 相交于点 D，连结 AD 并 延长，BC 相交于点 E． (1)若 BC= 3 ，CD=1，求⊙O 的半径； (2)取 BE 的中点 F，连结 DF，求证：DF 是⊙O 的切线； (3)过 D 点作 DG⊥BC 于 G，OG 与 DG 相交于点 M，求证：DM＝GM． 9．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm， AB 为⊙O 的直径，动点 P 沿 AD 方向从点 A 开始向点 D 以 1cm／秒的速度运动，动点 Q 沿 CB 方向从点 C 开始向点 B 以 2cm／秒的速度运动，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发， 当其中一点停止时，另一点也随之停止运动． (1)求⊙O 的直径； (2)求四边形 PQCD 的面积 y 关于 P、Q 运动时间 t 的函数关系式，并求当四边形 PQCD 为等腰梯形时，四边形 PQCP 的面积； (3)是否存在某时刻 t，使直线 PQ 与⊙O 相切，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说 明理由． (2002 年烟台市中考题) 10．已知在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD 为 AB 上的高，Ol、O2 分别为△ACD、 △BCD 的内心，则 OlO2= ． 11．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A 和∠B 的平分线相交于 P 点，又 PE⊥AB 于点 E， 若 BC=2，AC=3，则 AE·EB= ． 12．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 ( ) A．内心 B．外心 C．圆心 D．重心 13．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点 AB 和 BC 相切于点 P，和 AB、AC 分别交 于点 E，F，若 BD=AE，且 BE=a，CF=b，则 AF 的长为( ) A． a2 51 B． a2 31 C． b2 51 D． b2 31 14．如图，在矩形 ABCD 中，连结 AC，如果 O 为△ABC 的内心，过 O 作 OE⊥AD 于 E， 作 OF⊥CD 于 F，则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为( ) A． 2 1 B． 3 2 C． 4 3 D．不能确定 (《学习报》公开赛试题) 5 15．如图，AB 是半圆的直径，AC 为半圆的切线，AC=AB．在半圆上任取一点 D，作 DE ⊥CD，交直线 AB 于点 F，BF⊥AB，交线段 AD 的延长线于点 F． (1)设 AD 是 x°的弧，并要使点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是 ； (2)不论 D 点取在半圆什么位置，图中除 AB=AC 外，还有两条线段一定相等，指出这两 条相等的线段，并予证明． 16．如图，△ABC 的三边满足关系 BC= 2 1 (AB+AC)，O、I 分别为△ABC 的外心、内心， ∠ BAC 的外角平分线交⊙O 于 E，AI 的延长线交⊙O 于 D，DE 交 BC 于 H． 求证：(1)AI=BD；(2)OI= 2 1 AE． 17．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦 AD，过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E，连结 AC，与 DE 交于点 F，问 EP 与 PD 是否相等?证明你的结论． 18．如图，已知点 P 在半径为 6，圆心角为 90°的扇形 OAB 的 AB(不含端点)上运动，PH ⊥OA 于 H，△OPH 的重心为 G． (1)当点 P 在 AB 上运动时，线段 GO、GP、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有， 请指出并求出其相应的长度； (2)设 PH= x，GP=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围； (3)如果△PGH 为等腰三角形，试求出线段 PH 的长． ⌒ ⌒ 6 参考答案 7