河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 若U={2，3，4，5}，M={3，4}，N={2，3}，则（∁UM）∩（∁UN））是（　　）‎ A. 3, B. C. 4, D. ‎ 2. 函数的定义域为（　　）‎ A. B. 且 C. D. ‎ 3. 设，则f（f（-1））的值为（　　）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 9 D. 10‎ 4. 定义运算：，则函数f（x）=1⊕2x的值域是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知a＞0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是（　　）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 函数f（x）=（）x-3的零点所在的区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 函数的奇偶性为（    ）‎ A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 8. 已知a=log20.1，b=20.1，c=‎0.21.1‎，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 函数f（x）=ln|x-1|的图象大致是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上递增，，则满足f（log8x）＞0的x的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若偶函数是自然对数的底数）的最大值为n，则f（nm）=（　　）‎ A. B. C. e D. 1‎ 3. 已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），满足f（f（x）-x2）=2，则不等式f（x）＞7x-11的解集为（　　）‎ A. B. C. 或 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 已知幂函数y=f（x）的图象过点=______．‎ 5. 某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售单位每涨1元，销售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应该为每个______元．‎ 6. 函数f（x）=ln（x+4）+ln（1-x）的单调增区间是______．‎ 7. 已知集合M={x|m•4x-2x+1-1=0}，N={x|-1≤x≤1}，若M∩N=∅，则实数m的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 8. 已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}． （1）求A∩B，A∪B； （2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∪A=A，求实数a的取值范围． ‎ 9. 计算下列各式： （1）； （2）． ‎ 1. 若函数， （Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数f（x）图象； （Ⅱ）利用图象写出函数f（x）的值域、单调区间． ‎ 2. 已知函数是定义在R上的奇函数，且． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性． ‎ 3. 已知函数的定义域为[，2]． （1）若t=log2x，求t的取值范围； （2）求y=f（x）的值域． ‎ 4. 已知函数f（x）=． （1）判断并证明f（x）的奇偶性； （2）当x∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x-2恒成立，求实数m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵U={2，3，4，5}，M={3，4}，N={2，3}， ∴（∁UM）={2，5}，（∁UN）={4，5}， 则（∁UM）∩（∁UN））={5}， 故选：D． 根据集合补集的定义，结合交集进行运算即可． 本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．比较基础． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意可得，， 解可得，-1＜x≤3， 故函数的定义域为（-1，3]． 故选：D． 由题意可得，，解不等式即可求解函数的定义域． 本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础试题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵， ∴f（-1）=（-1）2+1=2， f（f（-1））=f（2）=3×2=6． 故选：B． 推导出f（-1）=（-1）2+1=2，从而f（f（-1））=f（2），由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：f（x）=1⊕2x=． ∵当x≤0时，f（x）=2x∈（0，1]；当x＞0时，f（x）=1， ∴f（x）的值域为（0，1]． 故选：A． 根据新运算法则求解f（x）的解析式和x的范围，由分段函数的性质求解值域． 本题考查了函数值域的求法，考查了分类讨论思想，解答此题的关键是理解题意，属基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：A中y=定义域为R，而y=（）2定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数； C中y=定义域[2，+∞）∪（-∞-2]，y=•定义域为[2，+∞），定义域不同，不是同一函数； D中y=logax2定义域为，（-∞，0）∪（0，+∞）定义域不同，不是同一函数； 所以只有B正确， 故选：B． 判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数． 本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同． ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵f（x）=（）x-3在定义域内属于单调递增函数，且f（0）=-2，f（1）=-，f（2）=-，f（3）=，f（4）=， ∴f（x）的零点区间为（2，3）， 故选：C． f（x）=（）x-3在定义域内属于单调递增函数，根据二分法只需判断区间端点的正负号即可求解； 考查二分法确定函数的零点区间； 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性，属中档题． 先求出定义域为[-2，0）∪（0，2]，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数． 【解答】 解：f（x）=的定义域为[-2，0）∪（0，2]， 所以f（x）==， f（-x）==-=-f（x）， 所以f（x）为奇函数． 故选：A． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：a=log20.1＜0，b=20.1＞1，c=‎0.21.1‎∈（0，1）． ∴b＞c＞a． 故选：D． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵当x＞1时，f（x）=ln|x-1|=ln（x-1），其图象为： ∵当x＜1时，f（x）=ln|x-1|=ln（1-x），其图象为： ‎ ‎ 综合可得，B符合， 故选：B． 题目中函数解析式中含有绝对值，须对x-1的符号进行讨论，去掉绝对值转化为对数函数考虑，利用对数函数的图象与性质解决． 本题考查对数函数的图象与性质，对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）递增，， ∴f（x）在（-∞，0）上递增，且f（-）=0， 又∵f（log8x）＞0， ∴log8x＞或-＜log8x＜0， 解可得，x＞2或， 故x的取值范围为（）∪（2，+∞）． 故选：C． 由已知结合奇函数的对称性可得，log8x＞或-＜log8x＜0，解对数不等式即可求解． 本题主要考查了利用奇函数的对称性求解不等式，解题的关键是灵活利用对称性． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵函数是自然对数的底数）的最大值为n， ∴当x=m时，函数是自然对数的底数）的最大值为n=1， ∵f（x）是偶函数，∴f（1）=f（-1）， ∴（）=（），∴（1-m）2=（m+1）2， 1+m2‎-2m=1+m2+‎2m，解得m=0， ∴f（nm）=f（1）=e-1=． 故选：A． 当x=m时，函数是自然对数的底数）的最大值为n=1，再由f（x）是偶函数，求出m=0，由此能求出f（nm）． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数， ∴由f（f（x）-x2）=2得，f（x）=x2+c， ∴f（c）=c2+c=2，且c＞0，解得c=1， ∴f（x）=x2+1， ∴由f（x）＞7x-11得，x2+1＞7x-11，且x＞0，解得0＜x＜3或x＞4， ∴原不等式的解集为{x|0＜x＜3或x＞4}‎ ‎． 故选：C． 根据题意可设f（x）=x2+c，从而可得出f（c）=c2+c=2，根据c＞0可解出c=1，从而得出f（x）=x2+1，从而根据原不等式得出x2+1＞7x-11，且x＞0，解出x的范围即可． 本题考查了单调函数的定义，一元二次不等式的解法，考查了推理和计算能力，属于基础题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设f（x）=xn，n是有理数，则 ∵幂函数的图象过点 ∴=2n，即2-2=2n，可得n=-2 ∴幂函数表达式为f（x）=x-2，可得f（3）=3-2= 故答案为： 设f（x）=xn，n是有理数，根据f（2）=计算出n=-2，从而得到函数表达式，求出f（3）的值． 本题给出幂函数经过定点，求幂函数表达式，着重考查了幂函数的定义与简单性质等知识，属于基础题． 14.【答案】625 ‎ ‎【解析】解：设售价为x元，总利润为W元，则W=（x-30）[40-1×（x-40）]=-x2+110x-2400=-（x-55）2+625， ∴x=55时，获得最大利润为625元 故答案为：625 根据题意，总利润=销售量×每个利润，设售价为x元，总利润为W元，则销售量为40-1×（x-40），每个利润为（x-30），据此表示总利润，利用配方法可求最值． 本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查配方法求最值，属于中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=ln（x+4）+ln（1-x）， 定义域{x|-4＜x＜1}， f（x）=ln（x+4）+ln（1-x）=ln（x+4）（1-x）， 令t=（x+4）（1-x），当x时单调递增，当x 时单调递减， 则y=lnt．为增函数， 由复合函数的单调性“同增异减”得： 函数f（x）单调递增区间为，单调递减区间为， 故答案为：． 先求定义域，采用复合函数判断单调性的方法得出结论． 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵M∩N=∅， ∴①m=0时，M=∅，满足条件； ②m≠0时，△=4+‎4m＜0，即m＜-1时，M=∅，满足条件； △=4+‎4m≥0，即m≥-1时，设2x=t，（t＞0），则mt2-2t-1=0，且或，∴或m＞8， ∴综上得，实数m的取值范围为． 故答案为：． 根据M∩N=∅，可讨论m：m=0时，得出M=∅，满足题意；m≠∅‎ 时，根据韦达定理即可判断出方程m•4x-2x+1-1=0无解，即得出M=∅，满足题意，从而得出m的范围为全体实数． 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，韦达定理，考查了计算和推理能力，属于基础题． 17.【答案】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，B={x|log2x＞1}={x|x＞2}． 则A∩B={x|2＜x≤3}，A∪B={x|x≥1}． （2）若C∪A=A，则C⊆A， 当C=∅时，则a≤1，满足条件． 则C≠∅，则a＞1，则要满足C⊆A， 则1＜a≤3， 综上a≤3， 即实数a的取值范围是a≤3． ‎ ‎【解析】（1）求出集合的等价条件，结合交集，并集的定义进行求解即可． （2）结合集合关系转化为C⊆A，利用集合关系进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，求出集合的等价条件，结合集合关系进行转化是解决本题的关键．比较基础． 18.【答案】解：（1） =+-1+， =， =5； （2）， =2-2-+， =-2×3+1=-5． ‎ ‎【解析】（1）结合指数的运算性质即可求解； （2）结合指数与对数的运算性质即可求解． 本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题． 19.【答案】解：（Ⅰ）函数图象如图所示； （II）由图象可得函数的值域为（-∞，-1]∪（1，+∞） 单调递减区间为[-1，0] 单调递增区间为（-∞，-1）和（0，+∞） ‎ ‎【解析】（I）利用指数函数和二次函数图象的画法，分段画出f（x）的图象即可； （II ‎）由图象看，函数的值域即函数图象的纵向分布，函数的单调区间即函数随自变量增大的变化趋势，由图象读出这些信息即可 本题主要考查了分段函数函数图象的画法，函数的值域及函数单调性的直观意义，辨清函数概念和性质是解决本题的关键 20.【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（0）=0，且， ∴，解得， ∴； （2）f（x）在（1，+∞）上单调递减，证明如下： 设x1＞x2＞1，则=， ∵x1＞x2＞1， ∴x2-x1＜0，x1x2-1＞0，且， ∴， ∴f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在（1，+∞）上单调递减． ‎ ‎【解析】（1）根据f（x）是R上的奇函数即可得出f（0）=b=0，再根据即可求出a=1，从而得出； （2），从而可以看出f（x）在（1，+∞）上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，提取公因式，得出，根据x1＞x2＞1说明f（x1）＜f（x2）即可得出f（x）在（1，+∞）上单调递减． 本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，已知函数求值的方法，函数的单调性，减函数的定义，考查了推理和计算能力，属于基础题． 21.【答案】解：（1）∵， ∴t=log2x∈[-2，1]， （2）∵=（1+log2x）（2+2log2x）， ∴f（t）=（t+2）（t+1）=t2+3t+2=在[-2，]上单调递减，在[-，1]上单调递增， 当t=-即x=时，函数取得最小值-， 当t=1即x=2时，函数取得最大值6 故函数的值域为[-，6]． ‎ ‎【解析】（1）由，结合对数函数的单调性可求t的范围； （2）先对函数进行化简，然后结合二次函数的单调性即可求解函数的值域． 本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，解题的关键是二次函数的性质的应用． 22.【答案】解：（1）f（x）为定义域为R的奇函数，证明如下： ∵f（x）=， ∴f（-x）===-f（x）， ∴f（x）为定义域为R的奇函数， （2）由x∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x-2恒成立，可得m≤2x-2， ∵x≥1， ∴＞0， ∴m≤在x≥1恒成立， 令t=2x-1，则t≥1， ∴m=t+1， 设g（t）=t+1，则g（t）在[1，+∞）上单调递增， ∴g（t）min=g（1）=0， ∴m≤0， 故m的范围为：（-∞，0]． ‎ ‎【解析】（1）要判断函数的奇偶性，只要检验f（-x）与f（x）的关系即可； （2）由已知及x≥1，可判断＞0，从而原不等式可转化为m≤在x≥1恒成立，构造函数，利用单调性可求． 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，及利用函数的单调性求解函数的最值，体现了转化思想的应用． ‎