2019届二轮复习　三角函数的图象与性质学案（全国通用）

2019届二轮复习　三角函数的图象与性质学案（全国通用）

第1讲　三角函数的图象与性质 ‎[考情考向分析]　1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．‎ 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 ‎1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．‎ 例1　(1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P(2,1)，则tan 2α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，‎ 所以tan α＝，‎ 因此tan 2α＝＝＝.‎ ‎(2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，‎ ‎∴tan α＝f′(1)＝－2，‎ cos2－2cos2α－3sincos ‎＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α ‎＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α ‎＝＝ ‎＝＝.‎ 思维升华　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．‎ ‎(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．‎ 跟踪演练1　(1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由诱导公式可得，‎ sin＝sin＝－sin＝－，‎ cos＝cos＝cos＝，即P，‎ 由三角函数的定义可得，‎ sin α＝＝，‎ 则sin＝－sin α＝－.‎ ‎(2)(2018·衡水金卷调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin，则等于(　　)‎ A. B. C. D．－ 答案　D 解析　∵sin(3π＋α)＝2sin，‎ ‎∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，‎ 则＝ ‎＝＝＝－.‎ 热点二　三角函数的图象及应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图：‎ 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)图象变换：‎ ‎(先平移后伸缩)y＝sin x y＝sin(x＋φ)‎ y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ ‎(先伸缩后平移)y＝sin x y＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ 例2　(1)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 3x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　因为y＝cos 3x＝sin＝sin 3，且y＝sin＝sin 3，－＝，所以应将y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y＝sin的图象．故选A.‎ ‎(2)(2018·永州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为 ‎[－1,2]，则θ＝________.‎ 答案　 解析　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，‎ 则A＝2，＝－＝，解得T＝π，‎ 所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，‎ 当x＝时，f＝2sin＝0，‎ 又|φ|<π，解得φ＝－，‎ 所以f(x)＝2sin，‎ 因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，‎ 所以g(x)＝2sin＝2cos 2x，‎ 若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，‎ 则2cos 2θ＝－1，‎ 则θ＝kπ＋，k∈Z，或θ＝kπ＋，k∈Z，‎ 所以θ＝.‎ 思维升华　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”‎ 中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．‎ 跟踪演练2　(1)(2018·东北三省四市模拟)将函数f(x)＝sin的图象向右平移a个单位长度得到函数g(x)＝cos的图象，则a的值可以为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　将函数f(x)＝sin的图象向右平移a个单位长度得到函数y＝sin，‎ 而g(x)＝cos＝sin，‎ 故－2a＋＝2kπ＋＋，k∈Z，‎ 即a＝kπ－，k∈Z，所以当k＝1时，a＝.‎ ‎(2)(2018·北京朝阳区模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间上的零点为________．‎ 答案　2　 解析　从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为T＝2＝π，根据T＝可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，结合所给的区间，整理得出x ‎＝.‎ 热点三　三角函数的性质 ‎1．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ 例3　设函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)若函数y＝f(x＋φ)是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的单调递减区间．‎ 解　(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋ ‎＝sin 2ωx－＋ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx ‎＝sin，‎ 设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得 2＋[2f(x)max]2＝π2＋4，‎ ‎∵f(x)max＝1，∴2＋4＝π2＋4，‎ 整理得T＝2π.‎ 又ω>0，T＝＝2π，∴ω＝.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)＝sin，‎ ‎∴f(x＋φ)＝sin.‎ ‎∵y＝f(x＋φ)是奇函数，∴sin＝0，‎ 又0<φ<，∴φ＝，‎ ‎∴g(x)＝cos(2x－φ)＝cos.‎ 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴函数g(x)的单调递减区间是，k∈Z.‎ 又∵x∈[0,2π]，‎ ‎∴当k＝0时，函数g(x)的单调递减区间是；‎ 当k＝1时，函数g(x)的单调递减区间是.‎ ‎∴函数g(x)在[0,2π]上的单调递减区间是，.‎ 思维升华　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用类题目的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；‎ 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．‎ 跟踪演练3　已知函数f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π.‎ ‎(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝4cos ωxsin ‎＝4cos ωx ‎＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx－1＝2sin－1，‎ 因为最小正周期是＝π，所以ω＝1，‎ 从而f(x)＝2sin－1.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.‎ ‎(2)当x∈时，2x－∈，‎ ‎2sin∈，‎ 所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.‎ 真题体验 ‎1．(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则f(x)的最小正周期为________，最大值为________．‎ 答案　π　4‎ 解析　∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.‎ ‎2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是________．‎ 答案　 解析　∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin，‎ ‎∴当x－∈，即x∈时，‎ y＝sin单调递增，‎ f(x)＝－sin单调递减，‎ ‎∴是f(x)在原点附近的单调减区间，‎ 结合条件得[0，a]⊆，‎ ‎∴a≤，即amax＝.‎ ‎3．(2018·天津改编)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号)‎ ‎①在区间上单调递增；‎ ‎②在区间上单调递减；‎ ‎③在区间上单调递增；‎ ‎④在区间上单调递减．‎ 答案　①‎ 解析　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断①正确．‎ ‎4．(2018·北京)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．‎ 答案　 解析　∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，‎ ‎∴当x＝时，f(x)取得最大值，‎ 即f ＝cos＝1，‎ ‎∴ω－＝2kπ，k∈Z，‎ ‎∴ω＝8k＋，k∈Z.‎ ‎∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.‎ 押题预测 ‎1．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 押题依据　本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．‎ 答案　A 解析　由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T＝π，‎ 所以ω＝＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x.‎ 把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin＝sin，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可．故选A.‎ ‎2．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为(　　)‎ A. B. C．8 D．16‎ 押题依据　由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想．‎ 答案　B 解析　由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．‎ 则M，由两点间距离公式，得 PM＝ ＝2，‎ 解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，‎ 由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，‎ 由P(2,0)得φ＝－，‎ 代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得f(x)＝Asin，‎ 从而f(0)＝Asin＝－8，得A＝.‎ ‎3．已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x.‎ ‎(1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)＝－，求角x的大小；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值．‎ 押题依据　三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．‎ 解　(1)∵f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x ‎＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin 2x ‎＝cos 2x－sin 2x＝ ‎＝cos，‎ ‎∴f(x)＝cos＝－，‎ 可得cos＝－.‎ 由题意可得x∈(0，π)，‎ ‎∴2x＋∈，可得2x＋＝或，‎ ‎∴x＝或.‎ ‎(2)∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴cos∈，‎ ‎∴f(x)＝cos∈[－，1]．‎ ‎∴f(x)的最小值为－，此时2x＋＝π，‎ 即x＝.‎ A组　专题通关 ‎1．(2018·佛山质检)函数y＝sin＋cos的最小正周期和振幅分别是(　　)‎ A．π， B．π，2 C．2π，1 D．2π， 答案　B 解析　∵y＝sin＋cos ‎＝sin＋sin ‎＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π，振幅为2.‎ ‎2．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝cos－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　由题意可得，‎ 函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，‎ 设平移量为θ，得到函数g(x)＝2sin，‎ 又g(x)为奇函数，所以2θ－＝kπ，k∈Z，‎ 即θ＝＋，k∈Z.‎ ‎3．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位长度，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，T＝2＝π，‎ ‎∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，‎ ‎∴g(x)＝f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，‎ 又g＝－2cos＝2，‎ 故＋2φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)．‎ 又0<φ<，∴φ＝.‎ ‎4．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x1)＝2，f(x2)＝0，若|x1－x2|的最小值为，且f ＝1，则f(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　B 解析　由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，‎ 可知＝，∴T＝2，∴ω＝π，‎ 又f ＝1，则φ＝±＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∵0<φ<，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ 令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z.‎ 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎5．(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在上单调递减 答案　D 解析　A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，‎ 所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；‎ B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；‎ C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，‎ 所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；‎ D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，‎ 单调递增区间为(k∈Z)，‎ 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，D项错误．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin＝________.‎ 答案　　0‎ 解析　∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－，－1)，‎ ‎∴x＝－，y＝－1，‎ ‎∴tan α＝＝，cos α＋sin＝cos α－cos α＝0.‎ ‎7．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知tan α＝2，则＝________.‎ 答案　 解析　∵tan 2α＝＝－，‎ ‎∴＝ ‎＝＝＝.‎ ‎8．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ 答案　1‎ 解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－ ‎＝－2＋1.‎ ‎∵x∈，∴cos x∈[0,1]，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.‎ ‎9．(2018·潍坊模拟)设函数f(x)(x∈R)满足f(x－π)＝f(x)－sin x，当－π0≥f或f＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，‎ 即sin≤－b－0)的图象在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为(　　)‎ A. B.∪ C.∪ D. 答案　B 解析　因为当x∈(1,2)时，ωx－∈，‎ 又因为函数f(x)＝sin(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，‎ 所以存在k∈Z，使得kπ＋∈，‎ 即得ω－0，所以k≥0，‎ 当k＝0时，<ω<；‎ 当k＝1时，<ω<；‎ 当k＝2时，<ω<；…，‎ 因此ω的取值范围为∪∪∪…∪∪…‎ ‎＝∪.‎ ‎13．函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sin x(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.‎ 答案　 解析　如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，‎ 所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.‎ ‎14．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f 且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．‎ 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴－2asin∈[－2a，a]．‎ ‎∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，‎ ‎∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，‎ ‎∴g(x)＝f＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1.‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，‎ ‎∴4sin－1>1，‎ ‎∴sin>，‎ ‎∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 即kπ

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