高考数学思想方法专题 数形结合思想

高考数学思想方法专题 数形结合思想

高考数学思想方法专题：第二讲 数形结合思想 ‎【思想方法诠释】‎ 一、数形结合的思想 所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．‎ 数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．‎ 二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：‎ ‎1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；‎ ‎2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；‎ ‎3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；‎ ‎4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；‎ ‎5．构建立体几何模型研究代数问题；‎ ‎6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；‎ ‎7．构建方程模型，求根的个数；‎ ‎8．研究图形的形状、位置关系、性质等。‎ 三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：‎ ‎1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；‎ ‎2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。‎ 四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：‎ ‎1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；‎ ‎2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；‎ ‎3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；‎ ‎4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。‎ ‎【核心要点突破】‎ 要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题 例1：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：‎ ‎（1）点（a,b）对应的区域的面积；‎ ‎（2）的取值范围；‎ ‎（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．‎ 思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．‎ 解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，‎ 由此可得不等式组 由，解得A（-3，1）．‎ 由，解得C（-1，0）．‎ ‎∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．‎ ‎（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．‎ ‎（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．‎ 由图可知 ‎（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，‎ 注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：‎ ‎（1）连线的斜率；‎ ‎（2）之间的距离；‎ ‎（3）为直角三角形的三边；‎ ‎（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．‎ 要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题 例2：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（ ）‎ ‎(A)5 (B)7 (C)9 (D)10‎ ‎(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的范围．‎ 思路精析：（1）画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．‎ ‎（2）f(x)≤g(x)变形为→画出的图象 ‎→画出的图象→寻找成立的位置 解析：（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x) =lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．‎ ‎（2）f(x)≤g(x)，即，变形得，令…………①，………………②‎ ‎①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；‎ ‎②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=,,‎ 要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．‎ 注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．‎ ‎（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．‎ ‎（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．‎ 要点考向2：数形结合在解析几何中的应用 例3：已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线的斜率为定值；‎ ‎（Ⅲ）求面积的最大值．‎ 解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为．‎ 由题意 ………………………………………………2分 解得 ，．‎ 所以椭圆的方程为．………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由题意知，两直线，的斜率必存在，设的斜率为，则的直线方程为.‎ 由得 ‎ ‎.………………6分 设，，则 ‎，‎ 同理可得， ‎ 则，.‎ 所以直线的斜率为定值. ……………………………………8分 ‎（Ⅲ）设的直线方程为.‎ 由得.‎ 由，得.……………………………………10分 此时，.‎ 到的距离为，‎ ‎ ‎ 则 ‎.‎ 因为使判别式大于零，‎ 所以当且仅当时取等号，‎ 所以面积的最大值为．………………………………………………………13分 注：1．数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效．‎ ‎2．此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决．‎ 要点考向2：数形结合在立体几何中的应用 例4：如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.‎ ‎(Ⅰ) 求证:平面；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值.‎ 解析:（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故.‎ 取中点连结,则,又面面,‎ 面面,面,从而平面. …………………4分 ‎∴，又,.‎ ‎∴平面. ………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,则,,‎ ‎,. ………………………………………………8分 设为面的法向量,‎ 则即,解得.‎ 令,可得.‎ 又为面的一个法向量，‎ ‎∴.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ 注：1．应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算．‎ ‎2．立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．‎ ‎【跟踪模拟训练】‎ 一、选择题（每小题6分，共36分）‎ ‎1.方程lgx=sinx的根的个数( )‎ ‎(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ‎2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )‎ A．(3,5) B．(-2,+) C．(-2,5) D．(5,+ )‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（ ）‎ ‎ (A)2 (B)1 (C) (D) ‎ ‎4．函数图象如图，则函数 的单调递增区间为（ ）‎ ‎－2‎ ‎3‎ y x ‎0‎ A． B． C． D．‎ ‎5．不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6．已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当04时，f(x)在［t,t+1］上单调递减（如图③），‎ h(t)=f(t)=-t2+8t.‎ ‎(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ ‎(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.‎ ‎∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,‎ 当x∈(0,1)时φ′(x)>0,φ(x)是增函数;‎ 当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;‎ 当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;‎ 当x=1或x=3时，φ′（x）=0.‎ ‎∴φ(x)极大值=φ（1）=m-7,‎ φ(x)极小值=φ（3）=m+6ln3-15.‎ ‎∵当x充分接近0时，φ（x）<0，‎ 当x充分大时,φ(x)>0,‎ ‎∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，‎ 即7c ‎(B)b≥c或b≤c中至少有一个正确 ‎(C)b

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