数学理卷·2018届山东省、湖北省部分重点中学高三上学期第二次(12月)联考试题(解析版)

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数学理卷·2018届山东省、湖北省部分重点中学高三上学期第二次(12月)联考试题(解析版)

山东、湖北部分重点中学2018年第二次联考(理)‎ 数学试题(理工农医类)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数满足,则在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】 ,则.故选B.‎ ‎2. 已知全集,,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,‎ ‎.‎ ‎.‎ 则 .‎ 故选B.‎ ‎3. 在等差数列中,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在等差数列中,‎ ‎,则.‎ 故选C.‎ ‎4. 如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】三视图还原为三棱锥,如图所示,‎ 则三棱锥的表面积为 .‎ 故选A.‎ ‎5. 已知,则的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,.‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象,则有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ 故选A.‎ 点睛:三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点,也是易错题型.‎ 首项必须看清题目中是由哪个函数平移,平移后是哪个函数;‎ 其次,在平移时,还要注意自变量x的系数是否为1,如果x有系数,需要将系数提出来求平移量,平移时遵循“左加右减”.‎ ‎7. 已知命题若,则,命题若,则,则有( )‎ A. 为真 B. 为真 C. 为真 D. 为真 ‎【答案】D ‎【解析】为假, ,为真. 则为真,故选D.‎ ‎8. 若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 或(舍),‎ 故选C.‎ ‎9. 如图所示,扇形的半径为,圆心角为,若扇形绕旋转一周,则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】扇形绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的,则,绕旋转一周所得几何体为圆锥,体积为,阴影部分旋转所得几何体的体积为,故选C.‎ ‎10. 函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】为奇函数,排除B;‎ ‎;排除D;,排除C.‎ 故选A.‎ ‎11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第行,第列的数记为,比如,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】奇数数列,即为底1009个奇数.‎ 按照蛇形排列,第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数;第1行到第行末共有个奇数;则2017位于第45行;而第行是从右到左依次递增,且共有个奇数;故位于第45行,从右到左第19列,则,故选D.‎ 点睛:本题归纳推理以及等差数列的求和公式,属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎12. 已知函数,给出下列命题:①函数的最小正周期为;②函数关于对称;③函数关于对称;④函数的值域为,则其中正确的命题个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】的周期显然为;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎,故②正确.‎ ‎;‎ ‎,故③正确. ‎ ‎,‎ 设,则,‎ ‎,故④正确.‎ 故选D.‎ 点睛:复杂函数求对称中心,如函数满足,则对称中心为,如函数满足,则对称轴为 此处需要学生对函数的对称性非常熟悉,然后将具体函数代入计算,得到等式,等式成立的条件就是常数和含自变量的式子对应相等,最后解得答案。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13. 若,若,则_____.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 答案为:-1.‎ ‎14. 已知实数满足,则的最小值为_________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 由题意可得可行域为如图所示(含边界),,‎ 则在点处取得最小值.‎ 联立,解得:‎ 代入得最小值5.‎ 答案为:5.‎ 点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15. 已知在数列的前项之和为,若,则_______.‎ ‎【答案】1078‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎.‎ 答案为:1078.‎ ‎16. 四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面是以为斜边的等腰直角三角形,若,则四棱锥的体积取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知单调的等比数列的前项的和为,若,且是的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,且前项的和为,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知得,从而求得,由,得,进而得通项公式;‎ ‎(Ⅱ) ,,利用裂项相消求和即可.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)因为是的等差中项,‎ 所以或(舍); ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ;‎ ‎ ‎ 点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.‎ ‎18. 设函数 ‎(Ⅰ) 求的单调增区间;‎ ‎(Ⅱ) 已知的内角分别为,若,且能够盖住的最大圆面积为,求的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)6.‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得,令,求解增区间即可;‎ ‎(Ⅱ)由,得,由题意可知:的内切圆半径为,根据切线长相等结合图象得,再结合余弦定理得,利用均值不等式求最值即可.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ) .‎ ‎.‎ 的单调增区间为.‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎,所以.‎ 由余弦定理可知:.‎ 由题意可知:的内切圆半径为.‎ 的内角的对边分别为,‎ 如图所示可得: ‎ ‎.‎ 或(舍)‎ ‎,‎ 当且仅当时,的最小值为.‎ 令也可以这样转化:‎ 代入;‎ 或(舍); ‎ ‎,‎ 当且仅当时,的最小值为.‎ ‎19. 如图,三棱台中, 侧面与侧面是全等的梯形,若,且.‎ ‎(Ⅰ)若,,证明:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ) 连接,由比例可得∥,进而得线面平行;‎ ‎(Ⅱ)过点作的垂线,建立空间直角坐标系,不妨设,则求得平面的法向量为,设平面的法向量为,由求二面角余弦即可.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)证明:连接,梯形,,‎ 易知:;‎ 又,则∥;‎ 平面,平面,‎ 可得:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)侧面是梯形,,‎ ‎,,‎ 则为二面角的平面角, ;‎ 均为正三角形,在平面内,过点作的垂线,如图建立空间直角坐标系,不妨设,则 ‎,故点,‎ ‎;‎ 设平面的法向量为,则有:;‎ 设平面的法向量为,则有:;‎ ‎,‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎20. 设函数 ‎(Ⅰ)若在处的法线(经过切点且垂直于切线的直线)的方程为,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若是的极小值点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ) 由题意可知:,即可求得的值;‎ ‎(Ⅱ)函数求得,讨论,和时,导数的正负,进而得函数的单调性,即可得出是的极小值点时的取值范围.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)解:;‎ 由题意可知:;‎ ‎;‎ 易得切点坐标为,则有;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:; ‎ ‎(1)当时,,;;是的极小值点,∴适合题意;; ‎ ‎(2)当时,或,且;‎ ‎;;;‎ 是的极小值点,∴适合题意;; ‎ ‎(2)当时,或,且;‎ ‎;;;‎ 是的极大值点,∴不适合题意; ‎ 综上,实数的取值范围为;‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若在上是减函数,求实数的取值范围.‎ ‎(Ⅱ)若的最大值为,求实数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)在上是减函数,即为在恒成立,得在恒成立,令,求最小值即可;‎ ‎(Ⅱ)注意到,又的最大值为,则,得,只需证明:时,即可,即证,设,求到求最值即可证得.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)在恒成立;‎ 在恒成立;‎ 设,则,由得:;‎ 在上为增函数,有最小值. ∴;‎ ‎(Ⅱ)注意到,又的最大值为,则 ‎;‎ 下面证明:时,,即,‎ ‎; ‎ 设; ‎ ‎.‎ 在上为增函数;‎ 在上为减函数;‎ 有最大值; ‎ ‎ ‎ ‎∴适合题意.‎ 点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.导数专题在高考中的命题方向及命题角度:从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用.‎ 选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分)‎ ‎22. 【选修4−4:坐标系与参数方程】‎ 已知直线的参数方程为为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 圆的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线与圆的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线分圆所得的弧长之比为,求实数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 或.‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)消去参数方程中的即可得普通方程,利用,即得圆的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)直线分圆所得的弧长之比为则弧所对的圆心角为90°,可得弦长为,利用垂径定理可得距离,进而利用点到直线距离可得参数的值.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)由题意知:,‎ ‎;‎ ‎(Ⅱ);‎ 直线分圆所得的弧长之比为则弧所对的圆心角为90°,可得弦长为;‎ ‎; ‎ 或.‎ ‎23. 【选修4—5:不等式选讲】‎ 已知函数, ‎ ‎(Ⅰ)解不等式; ‎ ‎(Ⅱ)若不等式的解集为,,且满足,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)分类讨论去绝对值解不等式即可;‎ ‎(Ⅱ)根据题意可得在恒成立,进而得在恒成立,去绝对值求解的取值范围即可.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)可化为 ‎,或,或;‎ ‎,或,或; ‎ 不等式的解集为;‎ ‎(Ⅱ)易知;‎ 所以,所以在恒成立;‎ 在恒成立; ‎ 在恒成立;‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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