2012年浙江省丽水市中考数学试题（含答案）

2012年浙江省丽水市中考数学试题（含答案）

‎2012年丽水市中考数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作【 】‎ A．－3℃ B．－2℃ C．＋3℃ D．＋2℃‎ ‎2．计算3a·2b的结果是【 】‎ A．3ab B．6a C．6ab D．5ab ‎3．如图，数轴的单位长度为1，若点A、B表示的数的绝对值相等，则点A表示的数是【 】‎ A．－4 B．－2 C．0 D．4‎ ‎4．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以【 】‎ A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)‎ ‎5．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【 】‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎6．分别写有数字0，－1，－2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是【 】‎ A． B． C． D． ‎7．如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是【 】‎ A．120° B．135° C．150° D．160°‎ ‎8．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有【 】‎ A．12 B．48 C．72 D．96‎ ‎9．如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【 】‎ A．① B．② C．⑤ D．⑥‎ ‎10．小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】‎ A．2010 B．2012 C．2014 D．2016‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11．写出一个比－3大的无理数是 ．‎ ‎12．分解因式：2x2－8＝ ．‎ ‎13．半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为 cm．‎ ‎14．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．‎ ‎15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 ．‎ ‎16．如图，在梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．(1)当点E是AB的中点时，DF＝ ；(2)若射线EF经过点C，则AE＝ ．‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎17．计算：2sin60°＋|－3|－－．‎ ‎18．已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2．‎ ‎19．学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12m．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即为CD与BC的长度之比)．A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．‎ ‎20．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．‎ ‎(1)求证：BD平分∠ABH；‎ ‎(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．‎ ‎21．如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．‎ ‎(1)求该双曲线所表示的函数解析式；‎ ‎(2)求等边△AEF的边长．‎ ‎22．小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．‎ ‎(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；‎ ‎(2)求小明的综合得分是多少？‎ ‎(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？‎ ‎23．在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．‎ ‎(1)如图1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC是正方形；‎ ‎(2)如图2，当点A的横坐标为－时，‎ ‎①求点B的坐标；‎ ‎②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A、B、C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．‎ ‎24．在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．‎ ‎(1)求AC所在直线的函数解析式；‎ ‎(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；‎ ‎(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P、Q，是否存在以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)‎ ‎1．(2012•丽水)如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作(　　)‎ ‎　　A．－3℃　　B．－2℃　　C．＋3℃　　D．＋2℃‎ 考点：‎ 正数和负数。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．‎ 解答：‎ 解：“正”和“负”相对，‎ ‎∴如果零上2℃记作＋2℃，‎ 那么零下3℃记作－3℃，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．‎ ‎2．(2012•丽水)计算3a•(2b)的结果是(　　)‎ ‎　　A．3ab　　B．6a　　C．6ab　　D．5ab 考点：‎ 单项式乘单项式。‎ 分析：‎ 根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．‎ 解答：‎ 解：3a•(2b)＝3×2a•b＝6ab．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎3．(2012•丽水)如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是(　　)‎ ‎　　A．－4　　B．－2　　C．0　　D．4‎ 考点：‎ 绝对值；数轴。‎ 专题：[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 计算题。‎ 分析：‎ 如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点．‎ 解答：‎ 解：如图，AC的中点即数轴的原点O．‎ 根据数轴可以得到点A表示的数是－2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．确定数轴的原点是解决本题的关键．‎ ‎4．(2012•丽水)把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以(　　)‎ ‎　　A．x　　B．2x　　C．x＋4　　D．x(x＋4)‎ 考点：‎ 解分式方程。‎ 分析：‎ 根据各分母寻找公分母x(x＋4)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程．‎ 解答：‎ 解：由两个分母(x＋4)和x可得最简公分母为x(x＋4)，‎ 所以方程两边应同时乘以x(x＋4)．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查解分式方程去分母的能力，确定最简公分母应根据所给分式的分母来决定．‎ ‎5．(2012•丽水)在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是(　　)‎ ‎　　A．①　　B．②　　C．③　　D．④‎ 考点：‎ 利用旋转设计图案。‎ 分析：‎ 通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称．‎ 解答：‎ 解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转180°所形成的图形叫中心对称图形．‎ ‎6．(2012•丽水)分别写有数字0，－1，－2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是(　　)‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ 考点：‎ 概率公式。‎ 分析：‎ 让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．‎ 解答：‎ 解：∵五张卡片分别标有0，－1，－2，1，3五个数，数字为负数的卡片有2张，‎ ‎∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝．‎ ‎7．(2012•丽水)如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是(　　)‎ ‎　　A．120°　　B．135°　　C．150°　　D．160°‎ 考点：‎ 方向角。‎ 分析：‎ 首先根据题意可得：∠1＝30°，∠2＝60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数．‎ 解答：‎ 解：由题意得：∠1＝30°，∠2＝60°，‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴∠1＝∠4＝30°，‎ ‎∵∠2＝60°，‎ ‎∴∠3＝90°－60°＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝∠4＋∠FBD＋∠3＝30°＋90°＋30°＝150°，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．‎ ‎8．(2012•丽水)为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有(　　)‎ ‎　　A．12　　B．48　　C．72　　D．96‎ 考点：‎ 频数(率)分布直方图；用样本估计总体。‎ 专题：‎ 图表型。‎ 分析：‎ 根据直方图求出身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比，然后乘以300，计算即可．‎ 解答：‎ 解：根据图形，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：‎ ‎×100%＝24%，‎ 所以，该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%＝72(人)．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 ‎9．(2012•丽水)如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是(　　)‎ ‎　　A．①　　B．②　　C．⑤　　D．⑥‎ 考点：‎ 生活中的轴对称现象。‎ 分析：‎ 入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．‎ 解答：‎ 解：如图，求最后落入①球洞；‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了生活中的轴对称现象；结合轴对称的知识画出图形是解答本题的关键．‎ ‎10．(2012•丽水)小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)‎ ‎　　A．2010　　B．2012　　C．2014　　D．2016‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类。‎ 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ 观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项熟记进行判断即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，‎ ‎∴三角数都是3的倍数，‎ ‎∵4，8，12，16，…称为正方形数，‎ ‎∴正方形数都是4的倍数，‎ ‎∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，‎ ‎∵2010÷12＝167…6，‎ ‎2012÷12＝167…8，‎ ‎2014÷12＝167…10，‎ ‎2016÷12＝168，‎ ‎∴2016既是三角形数又是正方形数．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题是对数字变化规律的考查，根据题目信息判断出既是三角形数又是正方形数是12的倍数是解题的关键．‎ 二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)‎ ‎11．(2012•丽水)写出一个比－3大的无理数是　如等(答案不唯一)　．‎ 考点：‎ 实数大小比较。‎ 专题：‎ 开放型。‎ 分析：‎ 根据这个数即要比－3大又是无理数，解答出即可．‎ 解答：‎ 解：由题意可得，－＞3，并且－是无理数．‎ 故答案为：如等(答案不唯一)‎ 点评：‎ 本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．‎ ‎12．(2012•丽水)分解因式：2x2－8＝　2(x＋2)(x－2)　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用。‎ 专题：‎ 常规题型。‎ 分析：‎ 先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：‎ 解：2x2－8，‎ ‎＝2(x2－4)，‎ ‎＝2(x＋2)(x－2)．[来源:学科网ZXXK]‎ 故答案为：2(x＋2)(x－2)．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎13．(2006•梧州)半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为　1　cm．‎ 考点：‎ 圆与圆的位置关系。‎ 分析：‎ 根据两圆内切，圆心距等于两圆半径之差，进行计算．‎ 解答：‎ 解：∵两个圆内切，且其半径分别为3cm和4cm，‎ ‎∴两个圆的圆心距为4－3＝1cm．‎ 点评：‎ 本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．‎ ‎14．(2012•丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶　　千米．‎ 考点：‎ 函数的图象。‎ 分析：‎ 根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了12千米，分别算出速度即可求得结果．‎ 解答：‎ 解：∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用(18－6)分钟行驶了12千米，‎ ‎∴甲每分钟行驶12÷30＝千米，‎ 乙每分钟行驶12÷12＝1千米，‎ ‎∴每分钟乙比甲多行驶1－＝千米，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了函数的图象，解题的关键是从函数图象中整理出进一步解题的信息，同时考查了同学们的读图能力．‎ ‎15．(2012•丽水)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　50°　．‎ 考点：‎ 翻折变换(折叠问题)；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。‎ 分析：‎ 利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：连接BO，‎ ‎∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，‎ ‎∴∠OAB＝∠ABO＝25°，‎ ‎∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝65°，‎ ‎∴∠OBC＝65°－25°＝40°，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABO≌△ACO，‎ ‎∴BO＝CO，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB＝40°，‎ ‎∵点C沿EF折叠后与点O重合，‎ ‎∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，‎ ‎∴∠CEF＝∠FEO＝＝50°，‎ 故答案为：50°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．‎ ‎16．(2012•丽水)如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．‎ ‎(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是　6　；‎ ‎(2)若射线EF经过点C，则AE的长是　2或5　．‎ 考点：‎ 直角梯形；勾股定理；解直角三角形。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎(1)过E点作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG＝3，再根据∠DEG＝60°得出∠DEF＝120°，由tan60°＝即可求出GF的长，进而得出结论；‎ ‎(2)过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE＝x，则BE＝6－x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．‎ 解答：‎ 解：(1)如图1，过E点作EG⊥DF，‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴DG＝3，‎ ‎∴EG＝AD＝，‎ ‎∴∠DEG＝60°，‎ ‎∵∠DEF＝120°，‎ ‎∴tan60°＝，‎ 解得GF＝3，‎ ‎∴DF＝6；[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎(2)如图2所示：‎ 过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝，‎ ‎∵∠ABC＝120°，AB∥CD，‎ ‎∴∠BCH＝60°，‎ ‎∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2，‎ 设AE＝x，则BE＝6－x，‎ 在Rt△ADE中，DE＝＝＝，‎ 在Rt△EFM中，EF＝＝＝‎ ‎，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠EFD＝∠BEC，‎ ‎∵∠DEF＝∠B＝120°，‎ ‎∴△EDF∽△BCE，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得x＝2或5．‎ 故答案为：2或5．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．‎ 三、解答题(共8小题，满分66分)‎ ‎17．(2012•丽水)计算：2sin60°＋|－3|－－．‎ 考点：‎ 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。‎ 分析：‎ 本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、负指数四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式＝2×＋3－－3，‎ ‎＝－．‎ 点评：‎ 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎18．(2012•丽水)已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2．‎ 考点：‎ 完全平方公式。‎ 分析：‎ 把A、B两式代入，再计算完全平方公式，去括号，合并同类项即可．‎ 解答：‎ 解：A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2‎ ‎＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)‎ ‎＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2‎ ‎＝8xy．‎ 点评：‎ 此题主要考查了完全平方公式，关键是熟练掌握完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．‎ ‎19．(2012•丽水)学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-坡度坡角问题。‎ 分析：‎ 在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解．‎ 解答：‎ 解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，‎ ‎∴AC＝AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12×＝，‎ ‎∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝BC＝，‎ ‎∴AD＝AC－CD＝6－．‎ 答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－)米．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形，这两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．‎ ‎20．(2012•丽水)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．‎ ‎(1)求证：BD平分∠ABH；‎ ‎(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．‎ 考点：‎ 切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。‎ 分析：‎ ‎(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；‎ ‎(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．‎ 解答：‎ ‎(1)证明：连接OD，‎ ‎∵EF是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ 又∵BH⊥EF，‎ ‎∴OD∥BH，‎ ‎∴∠ODB＝∠DBH，‎ ‎∵OD＝OB，‎ ‎∴∠ODB＝∠OBD ‎∴∠OBD＝∠DBH，‎ ‎∴BD平分∠ABH．‎ ‎(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，‎ 在Rt△OBG中，OG＝＝＝．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．‎ ‎21．(2012•丽水)如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．‎ ‎(1)求该双曲线所表示的函数解析式；‎ ‎(2)求等边△AEF的边长．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题。‎ 分析：‎ ‎(1)过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用 待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解；‎ ‎(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解．‎ 解答：‎ 解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，‎ ‎∵点C是等边△OAB的边OB的中点，‎ ‎∴OC＝2，∠AOB＝60°，‎ ‎∴OG＝1，CG＝，‎ ‎∴点C的坐标是(1，)，‎ 由＝，得：k＝，‎ ‎∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝；‎ ‎(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝a．‎ ‎∴点D的坐标为(4＋a，)，‎ ‎∵点D是双曲线y＝上的点，‎ 由xy＝，得(4＋a)＝，‎ 即：a2＋4a－1＝0，‎ 解得：a1＝－2，a2＝－－2(舍去)，‎ ‎∴AD＝2AH＝2－4，‎ ‎∴等边△AEF的边长是2AD＝4－8．‎ 点评：‎ 本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，难度不大，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键．‎ ‎22．(2012•丽水)小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．‎ ‎(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；‎ ‎(2)求小明的综合得分是多少？‎ ‎(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？‎ 考点：‎ 条形统计图；一元一次不等式的应用；扇形统计图；加权平均数；众数。‎ 分析：‎ ‎(1)根据众数的定义和所给的统计图即可得出评委给小明演讲答辩分数的众数；用1减去一般和优秀所占的百分比，再乘以360°，即可得出民主测评为“良好”票数的扇形圆心角的度数；‎ ‎(2)先去掉一个最高分和一个最低分，算出演讲答辩分的平均分，再算出民主测评分，再根据规定即可得出小明的综合得分；‎ ‎(3)先设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意列出不等式，即可得出小亮的演讲答辩得至少分数．‎ 解答：‎ 解：(1)小明演讲答辩分数的众数是94分，‎ 民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数是：(1－10%－70%)×360°＝72°．‎ ‎(2)演讲答辩分：(95＋94＋92＋90＋94)÷5＝93，‎ 民主测评分：50×70%×2＋50×20%×1＝80，‎ 所以，小明的综合得分：93×0.4＋80×0.6＝85.2．‎ ‎(3)设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意，得：‎ ‎82×0.6＋0.4x≥85.2，‎ 解得：x≥90．‎ 答：小亮的演讲答辩得分至少要90分．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个评分的数据．‎ ‎23．(2012•丽水)在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．‎ ‎(1)如图1，当点A的横坐标为　－1　时，矩形AOBC是正方形；‎ ‎(2)如图2，当点A的横坐标为时，‎ ‎①求点B的坐标；‎ ‎②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题。‎ 分析：‎ ‎(1)过点A作AD⊥x轴于点D，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC＝45°，所以∠AOD＝45°，从而得到△AOD是等腰直角三角形，设点A坐标为(－a，a)，然后利用点A 在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；‎ ‎(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；‎ ‎②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝OE，BG＝AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可．‎ 解答：‎ 解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，‎ ‎∵矩形AOBC是正方形，‎ ‎∴∠AOC＝45°，‎ ‎∴∠AOD＝90°－45°＝45°，‎ ‎∴△AOD是等腰直角三角形，‎ 设点A的坐标为(－a，a)(a≠0)，‎ 则(－a)2＝a，‎ 解得a1＝－1，a2＝0(舍去)，‎ ‎∴点A的坐标－a＝－1，‎ 故答案为：－1；‎ ‎(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，‎ 当x＝－时，y＝(－)2＝，‎ 即OE＝，AE＝，‎ ‎∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，[来源:学科网]‎ ‎∠AOE＋∠EAO＝90°，‎ ‎∴∠EAO＝∠BOF，‎ 又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，‎ ‎∴△AEO∽△OFB，‎ ‎∴＝＝＝，‎ 设OF＝t，则BF＝2t，‎ ‎∴t2＝2t，‎ 解得：t1＝0(舍去)，t2＝2，‎ ‎∴点B(2，4)；‎ ‎②过点C作CG⊥BF于点G，‎ ‎∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠AEO＝∠FBO，‎ ‎∴∠EAO＝∠CBG，‎ 在△AEO和△BGC中，，‎ ‎∴△AEO≌△BGC(AAS)，‎ ‎∴CG＝OE＝，BG＝AE＝．‎ ‎∴xc＝2－＝，yc＝4＋＝，‎ ‎∴点C(，)，‎ 设过A(－，)、B(2，4)两点的抛物线解析式为y＝－x2＋bx＋c，由题意得，，‎ 解得，‎ ‎∴经过A、B两点的抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋2，‎ 当x＝时，y＝－()2＋3×＋2＝，所以点C也在此抛物线上，‎ 故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋．‎ 平移方案：先将抛物线y＝－x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y＝－(x－)2＋．‎ 点评：‎ 本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一．‎ ‎24．(2012•丽水)在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(1)求AC所在直线的函数解析式；‎ ‎(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；‎ ‎(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 一次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；‎ ‎(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；‎ ‎(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．‎ 解答：‎ 解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝＝，∴点E(0，2)．‎ 设直线AC的函数解析式为y＝kx＋，有，解得：k＝．‎ ‎∴直线AC的函数解析式为y＝．‎ ‎(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝，‎ 设EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t，∴，得t＝2，‎ 故EG＝6，OG＝10，‎ ‎∴S△OEG＝．‎ ‎(3)存在．‎ ‎①当点Q在AC上时，点Q即为点G，‎ 如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，‎ 由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x＝10时，‎ y＝－＝，‎ ‎∴点P1(10，)．‎ ‎②当点Q在AB上时，‎ 如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，‎ 过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，‎ 则BH＝QH＝14－a，‎ 在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100，‎ 解得：a1＝6，a2＝8，‎ ‎∴Q(－6，8)或Q(－8，6)．‎ 连接QF交OP2于点M．‎ 当Q(－6，8)时，则点M(2，4)．‎ 当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．‎ 设直线OP2的解析式为y＝kx，则 ‎2k＝4，k＝2．‎ ‎∴y＝2x．‎ 解方程组，得．‎ ‎∴P2()；‎ 当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．‎ 同理可求P2′()．‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为(10，)或()或()．‎ 点评：‎ 此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．‎