四川省成都外国语学校2018-2019学年高二12月月考数学（理）试题

四川省成都外国语学校2018-2019学年高二12月月考数学（理）试题

成都外国语学校 2018-2019 学年上期 12 月月考高二数学（理科） 命题人 ： 审题人： 一、选择题（共 12 小题；共 60 分） 1. 设 ，则“ ”是“ ”的 A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 过点 且平行于直线 的直线方程为 A. B. C. D. 3. 命题：“若 ，则 ”的逆否命题是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 且 ，则 D. 若 或 ，则 4. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ， ， 人，现用分层抽样的 方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本，则应从高三年级抽取的学生 人数为 A. B. C. D. 5. 若直线 与直线 互相垂直，则实数 的值等于 A. B. C. D. 6. 阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A. B. C. D. 7. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8. 若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ， 此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知直线 ，若圆上恰好存在两个点 ， ，他们到直线 的距离为 ，则 称该圆为“完美型”圆．则下列圆中是“完美型”圆的是 A. B. C. D. 10. 已知 与 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得关于 与 的线性回归方程为 ，则 的值为 A. B. C. D. ˆ 2.1 0.85y x= + 11. 已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直线交抛物线与 ， 两点，若 线段 的中点的纵坐标为 ，则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 12. 抛物线 的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动点，且满足 ．过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 二、填空题（共 4 小题；共 20 分） 13. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10 天中，两台机床每天出的次品数分别如下图所示。 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 从数据上看， 机床的性能较好（填“甲”或者“乙”）. 14. 已知函数 ，若命题“ ， ”是假命题，则实数 的取 值范围为 ． 15. 直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ，则 的取值范围是 ． 16. 已知椭圆 ： ，点 ， 分别是椭圆 的左顶点和左焦点， 点 是 ： 上的动点，若 是常数，则椭圆 的离心率为 ． 三、解答题（共 6 小题；共 70 分,17 题 10 分，18-22 题每题 12 分） 17. 已知圆 ： ，直线 被圆所截得的弦的中点为 ． （1）求直线 的方程； （2）若直线 与圆 相交，求 的取值范围． 18. 已知命题 方程 有两个不相等的负实根， 命题 不等式 的解集为 ， （1）若 为真命题，求 的取值范围． （2）若 为真命题， 为假命题，求 的取值范围． 19. 第 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日 21 日在巴西里约热内卢举 行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位： 枚）． 　 第 31 届里约 第 30 届伦敦 第 29 届北京 第 28 届雅典 第 27 届悉尼 中国 26 38 51 32 28 俄罗斯 19 24 24 27 32 （1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数 的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值 及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）； （2）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 （从第 届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间 （时间代号）变 化的数据： 届 27 28 29 30 31 时间代号(x) 1 2 3 4 5 金牌数之和(y 枚) 28 60 111 149 175 作出散点图如下： ①由图中可以看出，金牌数之和 与时间代号 之间存在线性相关关系，请求出 关于 的线性回归方程； ②利用①中的回归方程，预测 2020 年第 32 届奥林匹克运动会中国代表团获得的金 牌数． 参考数据： ， ， ． 附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率的 最小二乘估计为 ． 20. 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料．生产 车皮甲种 肥料和生产 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 现有 A 种原料 吨，B 种原料 吨，C 种原料 吨，在此基础上生产甲、乙 两种肥料．已知生产 车皮甲种肥料，产生的利润为 万元；生产 车皮乙种肥料， 产生的利润为 万元．分别用 ， 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． （1）用 ， 列出满足生产条件的数学关系式，并在答题卷相应位置画出相应的平面 区域； （2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能够产生最大的利润?并求出最大利润． 5 1 523i i y = =∑ 5 1 1952i i i x y = =∑ 5 2 1 69531i i y = =∑ ˆˆ ˆy b x a= ⋅ + 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑ 21. 已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ，右焦 点为 ．设 ， 是 上的两个动点，线段 的中点 的横坐标为 ，线段 的中垂线交椭圆 于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）设 点纵坐标为 m，求直线 的方程，并求 的取值范围． 22. 如 图 ， 设 抛 物 线 ： 的 准 线 与 轴 交 于 椭 圆 ： 的右焦点 ， 为 的左焦点．椭圆的离心率为 ，抛 物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长交 于点 ， 为 上一动点，且在 ， 之间移动． （1）当 取最小值时，求 和 的方程； （2）若 的边长恰好是三个连续的自然数。求 面积的最大值以及此时 直线 的方程． 高二数学理科答案 第一部分 1. B 2. C 3. D 【解析】“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若 或 ，则 ”． 4. B 【解析】三个年级的学生人数比例为 ， 按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为 （人）． 5. C 【解析】由直线方程： ， ， 当 时，分别化为： ， ，此时两条直线不垂直，舍去； 当 时，分别化为： ， ，不符合题意，舍去； 当 时，分别化为： ， ，由于两条直线垂直，所以 ，解得 ．综上可得： ． 6. C 【解析】根据程序框图，模拟程序的运行，可得 ， 满足条件 ，执行循环体， ，满足条件 ，执行循环体， ，不满足条件 ，退出循环，输出 的值为 ． 7. B 【解析】因为双曲线 的一条渐近线方程为 ， 所以 ，所以 ，所以 ． 8. B 【解析】设这 个数分别为 ，依题意， ， ，故 ，即平均数不变， ，即方差变小． 9. D 10. D 【解析】因为 ， ， 所以这组数据的样本中心是 ，因为关于 与 的线性回归方程 ， 所以 ，解得 ，所以 的值为 ． 11. B 【解析】设 ， ，则有 ， ， 两式相减得： ，又因为直线的斜率为 ， 所以 ，所以有 ，又线段 的中点的纵坐标为 ， 即 ，所以 ，所以抛物线的准线方程为 ． 12. A 【解析】设 ， ，由抛物线定义，得 ， ， 在梯形 中， ． 由余弦定理得， ，配方得， ，又因为 ，所以 ， 得到 ．所以 ，即 的最大值为 ． 第二部分 13. “乙”，乙机床的平均数小且标准差也比较小。 14. 【解析】因为函数 ，斜率非负。若命题“ ， ”是 假命题， 所以“ ， ”是真命题， 所以 即可，解得： ． 15. 解析：略。 16. 【解析】设 ， ， ， ，使得 是常数， 设 ，则有 ，即 ，比较两边， ， ，故 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以 或 ， 因为 ， 所以 ． 第三部分 17. （1） 因为圆 的方程化标准方程为： ， 所以圆心 ，半径 ．设直线 的斜率为 ，则 ． 所以直线 的方程为： 即 ． （2） 因为圆的半径 ，所以要使直线 与圆 相交则须有： ， 所以 于是 的取值范围是： ． 18. （1）若 为真命题，即不等式 的解集非空，故 或 且 ，合起来即 或 . （2）令 ，若命题 真，则有 解得 ． 若命题 真，由（1）得 ． 根据 为真命题， 为假命题，可得命题 和命题 一个为真，另一个为假． 当命题 为真、命题 为假时， ．当命题 为假、命题 为真时， ． 综上可得， 的取值范围为 ． 19. （1） 两国代表团获得的金牌数的茎叶图如右： 通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值 高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获 得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散． （2） ① ， ， 所以金牌数之和 关于时间 的线性回归方程 ． ②由①知，当 时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值 ， 故预测 2020 年中国代表团获得的金牌数为 ． 20. （1） 由已知， ， 满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分： （2） 设利润为 万元，则目标函数为 ． 考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化 的一族平行直线． 为直线在 轴上的截距，当 取最大值时， 的值最大． 又因为 ， 满足约束条件， 所以由图 2 可知，当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大． 中国 俄罗斯 1 9 6 8 2 7 4 4 8 2 3 2 4 1 5 解方程组 得点 的坐标为 ． 所以 ． 答：生产甲种肥料 车皮、乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万元． 21. （1） 因为椭圆 的焦距为 ，且过点 K ，所以 , 所以 ，于是 ， ，所以椭圆 的方程为 ． （2） 由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ， ， 得 ． 当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ， ， ， ， 由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ， 则 ，故 ．此时，直线 斜率为 ， 的直线方程为 ，即 ． 联立 消去 ，整理得 ． 设 ， ，所以 ， ， 于是 由于 在椭圆的内部，故 ，令 ， ， 则 ．又 ，所以 ．综上， 的取值 范围为 ． 22. （1） 因为 ， ，则 ， ，因为 ，等号成 立时 ，所以 取最小值时 ，此时抛物线 ： ，椭圆 的方程为 ． （2） 因为 ， ，则 ， ，设椭圆的标准方程为 ， ， ，由 得 ，所以 或 （舍去），代入抛物线方程得 ，即 ，于是 ， ， ，又 的边长恰好是三个连续 的自然数，所以 ．此时抛物线方程为 ， ， ，则直线 的方程为 ， 联立 得 或 （舍去），于是 ， 所以 ， 设 到直线 的距离为 ，则 ， 当 时， ，所以 的面积最大值为 ． 此时 ： ．