专题13 空间中的平行与垂直(仿真押题)-2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题

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专题13 空间中的平行与垂直(仿真押题)-2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题

专题13 空间中的平行与垂直(仿真押题)‎ ‎2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题 ‎1.已知直线a与平面α,β,α∥β,a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(  )‎ A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 解析:设直线a和点B所确定的平面为γ,则α∩γ=a,记β∩γ=b,∵α∥β,∴a∥b,故存在唯一一条直线b与a平行.‎ 答案:D ‎2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:‎ ‎①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;‎ ‎②若m∥l,且m∥α,则l∥α;‎ ‎③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;‎ ‎④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.1          B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:易知①正确;②错误,l与α的具体关系不能确定;③错误,以墙角为例即可说明;④正确,可以以三棱柱为例证明,故选B.‎ 答案:B ‎3.如图所示,O为正方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是(  )‎ A.A1D B.AA1‎ C.A1D1 D.A1C1‎ 解析:由题意知,A1C1⊥平面DD1B1B,又OB1⊂面DD1B1B,所以A1C1⊥OB1,故选D.‎ 答案:D ‎4.设m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;‎ ‎②若m∥α,m∥β,则α∥β;‎ ‎③若m∥α,n∥α,则m∥n;‎ ‎④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.‎ 上述命题中,所有真命题的序号是(  )‎ A.①④ B.②③‎ C.①③ D.②④‎ 解析:由线面垂直的性质定理知①④正确;平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,故②错;平行于同一平面的两条直线可能平行,也可能相交或异面,故③错.选A.‎ 答案:A ‎5.如图,在三棱锥PABC中,不能证明AP⊥BC的条件是(  )‎ A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC D.AP⊥平面PBC ‎6.如图,L,M,N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是(  )‎ A.垂直 B.相交不垂直 C.平行 D.重合 解析:如图,分别取另三条棱的中点A,B,C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因为PQ∥AL,PR∥AM,且PQ与PR相交,AL与AM相交,所以平面PQR∥平面AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR.‎ 答案:C ‎7.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列命题中正确的是(  )‎ A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥m C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n D.若l⊥m,l⊥n,则n∥m ‎8.以下命题中真命题的个数是(  )‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α;‎ ‎②若直线a在平面α外,则a∥α;‎ ‎③若直线a∥b,b⊂α,则a∥α;‎ ‎④若直线a∥b,b⊂α,则a平行于平面α内的无数条直线.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析 ①中l可以在平面α内;②中直线a可以与平面 α相交,故错误;③a可以在平面α内;④正确.‎ 答案 A ‎9.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是(  )‎ A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.直线AB与平面BEF所成的角为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值 ‎10. a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:‎ ‎①⇒a∥b;②⇒a∥b;‎ ‎③⇒α∥β;④⇒α∥β;‎ ‎⑤⇒α∥a;⑥⇒a∥α.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①③④‎ 解析 ①④正确.②错,a、b可能相交或异面.③错,α与β可能相交.⑤⑥错,a可能在α内.‎ 答案 C ‎11.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,命题p:若m∥n,m∥β,则n∥β,命题q:“m⊥β,n⊥β,n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件,则下列结论正确的是(  )‎ A.p∧(綈q)是真命题 B.(綈p)∨q是真命题 C.(綈p)∧q是假命题 D.p∨q是假命题 解析 对于命题p,若m∥n,m∥β,则n可能在平面β内,故命题p为假命题;对于命题q,若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则有m⊥α,故命题q是真命题,故綈p为真命题,綈q为假命题,故(綈p)∨q是真命题,选B.‎ 答案 B ‎12.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点,现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,其中正确的是(  )‎ A.①② B.①②③ C.① D.②③‎ ‎13. 如图所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,D∈b,E在线段AB上(C,D,E均异于A,B),则△ACD是(  ) ‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析 ∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B,‎ ‎∴b⊥面ABC,‎ ‎∴AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.‎ 答案 B ‎14.在正三棱锥PABC中,D,E分别是AB,BC的中点,有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________.‎ 解析 如图,∵PABC为正三棱锥,‎ ‎∴PB⊥AC.‎ 又∵DE∥AC,DE⊂平面PDE,‎ AC⊄平面PDE,‎ ‎∴AC∥平面PDE.故①②正确.‎ 答案 ①②‎ ‎15.给出命题:‎ ‎①在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行;‎ ‎②设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;‎ ‎③已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;‎ ‎④在三棱锥SABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心;‎ ‎⑤a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一条平行.‎ 其中,正确的命题是________(只填序号).‎ 解析 ①错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交;③错误,“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件;⑤错误,只有当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面;易知②④正确.‎ 答案 ②④‎ ‎16.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:‎ ‎①AB⊥EF;‎ ‎②AB与CM所成的角为60°;‎ ‎③EF与MN是异面直线;‎ ‎④MN∥CD.‎ 以上四个命题中,正确命题的序号是________.‎ 解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体, 如图所示,则AB⊥EF,EF与MN为异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,故①③正确.‎ 答案 ①③‎ ‎17.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________.‎ ‎①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒Ρ∈b.‎ 解析 a∩α=P时,P∈a,P∈α,‎ 但a⊄α,∴①错;‎ a∩β=P时,②错;如图,‎ ‎∵a∥b,P∈b,∴P∉a,‎ ‎∴直线a与点P确定唯一平面α,‎ 又a∥b,a与b确定唯一平面γ,‎ 但γ经过直线a与点P,由公理2,‎ ‎∴γ与α重合,∴b⊂α,故③正确;‎ 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.‎ 答案 ③④‎ ‎18.如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.‎ 解析 如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD,‎ ‎∴MN∥PQ.又∵MN∥AC,‎ ‎∴PQ∥AC.又∵AP=,‎ ‎∴===,∴PQ=AC=a.‎ 答案 a ‎19.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点.‎ ‎ (1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值;‎ ‎(2)证明:B1F∥平面A1BE.‎ ‎(1)解 设G是AA1的中点,连接GE,BG.‎ ‎∵E为DD1的中点,ABCD-A1B1C1D1为正方体,‎ ‎∴GE∥AD,‎ 又∵AD⊥平面ABB1A1,∴GE⊥平面ABB1A1,且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG,∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角,即∠EBG=θ.设正方体的棱长为a,‎ ‎∴GE=a,BG=a,‎ BE==a,‎ ‎∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为:sin θ==.‎ ‎20.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AD=2,E是棱CD上的一点.‎ ‎(1)求证:AD1⊥平面A1B1D;‎ ‎(2)求证:B1E⊥AD1;‎ ‎(3)若E是棱CD的中点,在棱AA1上是否存在点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,‎ 求出线段AP的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)证明 在长方体ABCDA1B1C1D1中,‎ 因为A1B1⊥平面A1D1DA,AD1⊂平面A1D1DA,所以A1B1⊥AD1.‎ 在矩形A1D1DA中,‎ 因为AA1=AD=2,‎ 所以AD1⊥A1D.A1D∩A1B1=A1,‎ 所以AD1⊥平面A1B1D.‎ ‎(2)证明 因为E∈CD,‎ 所以B1E⊂平面A1B1CD,‎ 由(1)可知,AD1⊥平面A1B1CD,‎ 所以B1E⊥AD1.‎ ‎(3)解 当点P是棱AA1的中点时,有DP∥平面B1AE.‎ 理由如下:‎ 在AB1上取中点M,连接PM,ME.‎ 因为P是棱AA1的中点,M是AB1的中点,‎ 所以PM∥A1B1,且PM=A1B1.‎ 又DE∥A1B1,且DE=A1B1,‎ 所以PM∥DE,且PM=DE,‎ 所以四边形PMED是平行四边形,‎ 所以DP∥ME.‎ 又DP⊄平面B1AE,ME⊂平面B1AE,‎ 所以DP∥平面B1AE.‎ 此时,AP=A1A=1.‎ ‎21.如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC、FD,形成如图所示的多面体,且AC=.‎ ‎(1)证明:平面ABEF⊥平面BCDE;‎ ‎(2)求三棱锥E-ABC的体积.‎ ‎(1)证明 正六边形ABCDEF中,连接AC、BE,交点为G,‎ 易知AC⊥BE,且AG=CG=,‎ 在多面体中,由AC=,知AG2+CG2=AC2,‎ 故AG⊥GC,‎ 又GC∩BE=G,GC,BE⊂平面BCDE,‎ 故AG⊥平面BCDE, ‎ 又AG⊂平面ABEF,‎ 所以平面ABEF⊥平面BCDE.‎ ‎(2)解 连接AE、CE,则AG为三棱锥A-BCE的高,GC为△BCE的高.在正六边形ABCDEF中,BE=2AF=4,‎ 故S△BCE=×4×=2,‎ 所以VE-ABC=VA-BCE=×2×=2.‎ ‎22.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.‎ ‎(1)求证:AD⊥平面PBE;‎ ‎(2)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ;‎ ‎(3)若VPBCDE=2VQABCD,试求的值.‎ 解析:(1)证明:由E是AD的中点,PA=PD可得AD⊥PE.‎ 又底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,‎ 所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以AD⊥BE,‎ 又PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE.‎ ‎(2)证明:连接AC(图略),交BD于点O,连接OQ.‎ 因为O是AC的中点,‎ Q是PC的中点,‎ 所以OQ∥PA,‎ 又PA⊄平面BDQ,OQ⊂平面BDQ,‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(3)设四棱锥PBCDE,QABCD的高分别为h1,h2.‎ 所以VPBCDE=S四边形BCDEh1,‎ VQABCD=S四边形ABCDh2.‎ 又因为VPBCDE=2VQABCD,‎ 且S四边形BCDE=S四边形ABCD,所以==.‎ ‎23.一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.‎ ‎(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(2)证明:直线MN∥平面BDH;‎ ‎(3)过点M,N,H的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比.‎ 解析:(1)点F,G,H的位置如图所示.‎ ‎ ‎ ‎(3)由(2)知,OM∥NH,OM=NH,连接GM,MH,过点M,N,H的平面就是平面GMH,它将正方体分割为两个同高的棱柱,高都是GH,底面分别是四边形BMGF和三角形MGC,‎ 体积比等于底面积之比,即3∶1.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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