2018届二轮复习（文） 系列4选讲专题八第2讲学案（全国通用）
第2讲 不等式选讲
本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.
热点一 含绝对值不等式的解法
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)⇔－a1的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝|x＋2|－|x－1|
＝
当x≤－2时，f(x)＝－3<0，不合题意．
∴当－21，得01恒成立，得x≥1.
故不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞)．
(2)由(1)可知，f(x)的最大值为3，
故f(x)＋4的最大值为7.
若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，
只需7≥|1－2m|，
即－7≤2m－1≤7，求得m的取值范围为[－3,4]．
思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
跟踪演练1 (2017届河北省石家庄二中三模)已知不等式|x－a|＋|2x－3|>.
(1)已知a＝2，求不等式的解集；
(2)已知不等式的解集为R，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，可得|x－2|＋|2x－3|>2，
当x≥2时，由3x－5>2，得x>，
当x<时，由－3x＋5>2，得x<1，
当≤x<2时，由x－1>2，得x∈∅，
综上所述，不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝|x－a|＋|2x－3|的最小值为
f(a)或f ，
∵f(a)＝2，f ＝，
∴f(x)min＝，令>，
则－a>或－a<－，
可得－30)，且f(x＋1)≥0的解集为[－3，3]．
(1)求m的值；
(2)若正实数a，b，c满足＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥3.
(1)解 因为f(x＋1)＝m－|x|，
所以f(x＋1)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m，得解集为[－m，m](m>0)，
又由f(x＋1)≥0的解集为[－3,3]，故m＝3.
(2)证明 由(1)知＋＋＝3，
又因为a，b，c是正实数，
所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥2＝3.
当且仅当a＝1，b＝，c＝时等号成立，
所以a＋2b＋3c≥3.
思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
跟踪演练3 (2017届江西省重点中学盟校联考)若关于x的不等式|ax－2|<6的解集为.
(1)求a的值；
(2)若b＝1，求＋的最大值．
解 (1)依题意知－和是方程|ax－2|＝6的两个根，则
∴
∴a＝3.
(2)＋＝(＋)
≤＝2，
当且仅当＝，即t＝2时等号成立．
所以＋的最大值为2.
真题体验
1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而10，b>0，a3＋b3＝2，证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
押题预测
1．已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若∃x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围．
押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.
由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4.
当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，
解得x≥，所以x≥2；
当－4，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．
(2)当x＝时，f(x)＝5，
则g＝－＋a＋2＝5，解得a＝，
∴当x<2时，g(x)＝x＋，
令g(x)＝x＋＝4，得x＝－∈(－1,3)，
∴b＝－，则a＋b＝6.
2．(2017届辽宁省锦州市质检)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若对x∈[0,4]不等式f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a＝2时，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3，
∴不等式f(x)≤3的解集M＝[a－3，a＋3]，
根据题意知[0,4]⊆M，∴∴1≤a≤3.
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，
∴g(x)的最小值为5，
因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，
则实数m的取值范围是(－∞，5]．
3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x，y∈R，m＋n＝7，f(x)＝|x－1|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≥(m＋n)x；
(2)设max{a，b}＝求F＝max{|x2－4y＋m|，|y2－2x＋n|}的最小值．
解 (1)f(x)≥(m＋n)x⇔|x－1|－|x＋1|≥7x，
当x≤－1时，2≥7x，恒成立，
当－10，
∴＋＋＋3abc
≥3＋3abc
＝＋3abc≥2＝6，
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，
∴|x－1|－|x＋5|≤＋＋＋3abc.
7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.
(1)求不等式f ≥0的解集；
(2)若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．
解 (1)f ＝4－－≥0，
根据绝对值的几何意义，得＋表示点(x,0)到A，B两点的距离之和．
接下来找出到A，B距离之和为4的点．
将点A向左移动个单位长度到点A1(－2,0)，
这时有|A1A|＋|A1B|＝4；
同理，将点B向右移动个单位长度到点B1(2,0)，
这时有|B1A|＋|B1B|＝4.
∴当x∈[－2,2]时，＋≤4，
即f ≥0的解集为[－2,2]．
(2)令a1＝，a2＝，a3＝，
由柯西不等式，得
·(a＋a＋a)
≥2
即(3p＋2q＋r)≥9，
∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥.
上述不等式当且仅当＝＝＝，
即p＝，q＝，r＝时取等号．
∴3p＋2q＋r的最小值为.
8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f(x)＝|x＋|－|x－|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥；
(2)若对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，求实数b的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥等价于|x＋1|－|x|≥，
①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥，无解；
②当－1
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