广东省深圳市第二高级中学2019-2020学年高一下学期第四学段考试数学试题

广东省深圳市第二高级中学2019-2020学年高一下学期第四学段考试数学试题

深圳市第二高级中学2019-2020学年度第四学段考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 ‎ 注意事项：‎ ‎1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ ‎2．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。‎ ‎3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。考试结束后，将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知平面向量，，则向量（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设向量，，若，则实数（ ）‎ A．2或－4 B．2 C．或 D．－4‎ ‎3．在△中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如下图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为（ ）‎ A． B． C．10 D．不能估计 ‎5．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a，c的位置关系为（ ）‎ A．相交、平行或异面 B．相交或平行 C．异面 D．平行或异面 ‎7．关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用 ‎（单位：万元）有如下统计数据表：‎ 使用年限 维修费用 根据上表可得回归直线方程，据此估计，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是（ ）‎ A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 ‎8．设非零向量，满足，则（ ）‎ A． B． C．// D．‎ ‎9．在△ABC中，如果，那么cosC =（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎11．在△中，为边上的中线，为的中点，则向量（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．设的内角，，的对边分别是，，．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量，且，则________.‎ ‎14．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为________.‎ ‎15．若向量，则向量与的夹角等于________．‎ ‎16．在四面体中，，.球是四面体的外接球，过点作球的截面，若最大的截面面积为，则四面体的体积是____.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组.已知第三小组的频数是15.‎ ‎（1）求成绩在50-70分的频率；‎ ‎（2）求这三个年级参赛学生的总人数；‎ ‎（3）求成绩在80-100分的学生人数.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见下表（单位：人）‎ 性别 学生人数 抽取人数 女生 ‎18‎ 男生 ‎3‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若,求b,c的值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面是正方形，底面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a=c=2，求△ABC的面积；‎ ‎（3）求sinA＋sinC的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，平面，是的中点，是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面，求证：.‎ 高一数学第四学段考试参考答案 ‎1-12 BADACA CADBAD 13. -6 14. 15. 450 16. ‎ ‎17.（1）成绩在50-70分的频率为：.‎ ‎（2）第三小组的频率为：.‎ 这三个年级参赛学生的总人数（总数=频数/频率）为：（人）‎ ‎（3）成绩在80-100分的频率为：‎ 则成绩在80-100分的人数为：（人）.‎ ‎18.解：（1）由题意可得，，又，所以；‎ ‎（2）记从女生中抽取的2人为，，从男生中抽取的3人为，，，‎ 则从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件有 ‎，，，，，‎ ‎，，，，共10种．‎ 设选中的2人都是男生的事件为，‎ 则包含的基本事件有，，共3种．‎ 因此．‎ 故2人都是男生的概率为．‎ ‎19.(1)∵,且，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴；‎ ‎(2)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴.‎ ‎20.（1）因为底面是正方形，所以,‎ 因为底面，所以,‎ 又因为，所以平面.‎ ‎（2）设点到平面的距离为 因为底面，所以，‎ 又,，所以平面，‎ 所以,由已知得 所以三角形的面积为：，‎ 所以 依题为三棱锥的高，所以三棱锥的体积为：‎ ‎,‎ 又因为，所以，解得 所以点到平面的距离为点 ‎21.（Ⅰ）由.，得，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .‎ ‎（Ⅲ）由题意得 .‎ 因为0＜A＜，‎ 所以.‎ 故所求的取值范围是.‎ ‎22.（1）取PB的中点E，连接EA，EN，‎ 在△PBC中，EN//BC且，‎ 又，AD//BC，AD＝BC 所以EN//AM，，EN＝AM. ‎ 所以四边形ENMA是平行四边形， ‎ 所以MN//AE. 又，，‎ 所以MN//平面PAB. ‎ ‎（2）过点A作PM的垂线，垂足为H，‎ 因为平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，‎ 所以AH⊥平面PMC，又 所以AH⊥CM. ‎ 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CM.‎ 因为PA∩AH＝A，‎ 所以CM⊥平面PAD.‎ 又所以CM⊥AD.‎