高考数学 17-18版 第7章 第36课 课时分层训练36

高考数学 17-18版 第7章 第36课 课时分层训练36

课时分层训练(三十六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于________．‎ n2＋1－　[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ‎＝n2＋1－.]‎ ‎2．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为________．‎ ‎120　[{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.]‎ ‎3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________里．‎ ‎96　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．]‎ ‎4．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于________. ‎ ‎【导学号：62172197】‎ ‎7　[根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.‎ 又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N＋，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝________.‎ －1　[由f(4)＝2得‎4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.‎ ‎∴an＝＝＝－，‎ S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]‎ ‎6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N＋，则S2 016＝__________.‎ ‎0　[an＝sin，n∈N＋，显然每连续四项的和为0.‎ S2 016＝S4×504＝0.]‎ ‎7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.‎ ‎ 【导学号：62172198】‎ ‎2n ＋1－2　[∵an＋1－an＝2n，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.]‎ ‎8．设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N＋)，则数列的前n项和为__________．‎ 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k ‎－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]‎ ‎9．(2017·南通三模)设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N＋)，则(akak＋1)的值为________．‎ 　[∵(1－an＋1)(1＋an)＝1，‎ ‎∴an－an＋1＝anan＋1，‎ ‎∴－＝1.又a1＝1，∴＝1，‎ ‎∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)×1＝n.‎ ‎∴an＝.‎ ‎∴ak·ak＋1＝＝－，‎ ‎∴(akak＋1)＝a1a2＋a2a3＋…＋a100a101‎ ‎＝1－＋－＋…＋－ ‎＝1－ ‎＝.]‎ ‎10．(2017·苏州模拟)已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时的n的值为________．‎ ‎5或6　[由a5＝15，a10＝－10，得d＝＝＝－5，‎ 则an＝a5＋(n－5)×(－5)＝40－5n，‎ ‎∴an＋5＝40－5(n＋5)＝15－5n，‎ ‎∴Tn＝＝165－30n.‎ 当|Tn|＝0时，n＝，又n∈N＋故当n＝5或6时，|Tn|取得最小值．]‎ 二、解答题 ‎11．已知数列{an}满足a1＝1，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N＋)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)设数列{an }的前n项和为Sn，证明：Sn<2. 【导学号：62172199】‎ ‎[解]　(1)∵当n≥2时，由(n＋1)an＝(n－1)an－1，‎ 得＝，＝，…，＝.‎ 将上述式子相乘得＝.‎ 又a1＝＝1，‎ ‎∴an＝.‎ ‎(2)证明：∵an＝＝2，‎ ‎∴Sn＝2 ‎＝2＝2－，‎ ‎∴Sn<2.‎ ‎12．(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.‎ ‎(1)求b1，b11，b101；‎ ‎(2)求数列{bn}的前1 000项和．‎ ‎[解]　(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.‎ 所以{an}的通项公式为an＝n.‎ b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.‎ ‎(2)因为bn＝ 所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．‎ ‎1 289　[由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，‎ 得a2n＋a2n＋1＝n＋1，‎ ‎∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)‎ ‎＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，‎ ‎∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)‎ ‎＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)‎ ‎＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289.]‎ ‎2．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a‎4a2n－4＝102n，则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4，…，2n－1lg an，…的前n项和Sn＝________.‎ ‎(n－1)·2n＋1　[∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，‎ a‎4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，‎ ‎∴2n－1lg an＝2n－1lg 10n＝n·2n－1，‎ ‎∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①‎ ‎2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②‎ ‎∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.]‎ ‎3．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N＋)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，‎ 两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，‎ ‎∴an＋1＝3an，∴＝3.‎ 当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.‎ ‎∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．‎ ‎∴an＝3×3n－1＝3n.‎ ‎(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，‎ ‎∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①‎ ‎3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②‎ ‎①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1‎ ‎＝－6－(2n－2)·3n＋1.‎ ‎∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.‎ 法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.‎ ‎∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ‎＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n]‎ ‎＝(n－1)·3n＋1＋3.‎ ‎4．(2017·无锡期中)已知数列{an}，{bn}是正项数列，{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{bn}的前n项和为Sn(n∈N＋)，且a1＝b1＝1，a2＝b2＋1，a3＝b3－2.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn；‎ ‎(3)设dn＝，若dn≤m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设公差为d，公比为q，由已知得a1＝b1＝1，d＝q,2d＝q2－3，‎ 解之得：d＝q＝3，an＝3n－2.又因bn>0，故bn＝3n－1.‎ ‎(2)Sn＝＝＝，‎ 所以cn＝＝2，‎ Tn＝2＝2.‎ ‎(3)dn＝＝，‎ dn＋1－dn＝－＝.‎ 当n＝1,2时，dndn＋1，‎ 又因为d1＝，d2＝，d3＝，d4＝，所以m的取值范围为.‎