数学卷·2018届河北省张家口市万全中学高二下学期期初数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河北省张家口市万全中学高二下学期期初数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二（下）期初数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．下列命题是真命题的是（　　）‎ A．a＞b是ac2＞bc2的充要条件 B．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 C．∃x0∈R，e≤0 D．若p∨q为真命题，则p∧q为真 ‎2．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）‎ A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±4y=0 D．4x±y=0‎ ‎4．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）‎ ‎6．在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（﹣1，1）的距离小于的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．8 B．10 C．14 D．16‎ ‎9．若函数f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　）‎ A．4 B．2 C．2 D．‎ ‎10．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎12．双曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=　　．‎ ‎14．已知f（x）=x2+2xf′（0），则f′（2）=　　．‎ ‎15．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是　　．‎ ‎16．∫sin2dx=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17．已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=AD=2，‎ E是SC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣SC﹣D的大小．‎ ‎19．二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．‎ ‎（1）若a∈{﹣2，﹣1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（﹣1，0）内有且只有一个零点的概率；‎ ‎（2）若a∈（0，1），b∈（﹣1，1），求函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数的概率．‎ ‎20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）‎ ‎（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二（下）期初数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1．下列命题是真命题的是（　　）‎ A．a＞b是ac2＞bc2的充要条件 B．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 C．∃x0∈R，e≤0 D．若p∨q为真命题，则p∧q为真 ‎【考点】复合命题的真假；特称命题．‎ ‎【分析】利用复合命题的真假，充要条件以及特称命题判断结果即可．‎ ‎【解答】解：对于A，a＞b推不出ac2＞bc2，说a＞b是ac2＞bc2的充要条件，不正确．‎ 对于B，a＞1，b＞1⇒ab＞1的充分条件，正确．‎ 对于C，由指数函数的值域可知：∃x0∈R，e≤0是错误的．‎ 对于D，若p∨q为真命题，则p∧q为真，有复合命题的真假判断，D不正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，‎ ‎∴x+xi=1+yi，‎ 即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）‎ A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±4y=0 D．4x±y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，由离心率之积，求得a=2b，再由渐近线方程即可得到．‎ ‎【解答】解：设椭圆C1： +=1的离心率为e1，则e1=，‎ 设双曲线C2：﹣=1的离心率为e2，则e2=，‎ 由C1与C2的离心率之积为，‎ 即有e1e2=，‎ 即=，‎ 化简可得=，‎ 则C2的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】‎ 求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：设小明到达时间为y，‎ 当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，‎ 小明等车时间不超过10分钟，‎ 故P==，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，‎ 当焦点在x轴上时，‎ 可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，‎ ‎∵方程﹣=1表示双曲线，‎ ‎∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，‎ 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．‎ 当焦点在y轴上时，‎ 可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，‎ 无解．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（﹣1，1）的距离小于的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据几何概型的概率公式求出对应事件的面积即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），‎ 由|PA|得，‎ 即（x+1）2+（y﹣1）2＜2，对应的区域为以A为圆心半径为的圆及其内部，‎ 作出对应的图象如图：‎ 则弓形区域的面积S==，‎ 则对应的概率P==，‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．‎ ‎【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），‎ ‎∵∠F1PF2=60°，‎ ‎∴=，‎ 即2ac=b2=（a2﹣c2）．‎ ‎∴e2+2e﹣=0，‎ ‎∴e=或e=﹣（舍去）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．8 B．10 C．14 D．16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+8，由此易得弦长值．‎ ‎【解答】解：由题意，p=8，故抛物线的准线方程是x=﹣4，‎ ‎∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点 ‎∴|AB|=x1+x2+8，‎ 又x1+x2=6‎ ‎∴∴|AB|=x1+x2+8=14‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　）‎ A．4 B．2 C．2 D．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．‎ ‎【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=，‎ 在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，‎ ‎∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），‎ 则在x=0处的切线方程为y+=x，‎ 即切线方程为ax+by+1=0，‎ ‎∵切线与圆x2+y2=1相切，‎ ‎∴圆心到切线的距离d=，‎ 即a2+b2=1，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，‎ 则a+b=sinx+cosx=sin（x），‎ ‎∵0＜x＜，‎ ‎∴＜x＜，‎ 即当x=时，a+b取得最大值为，‎ 故选：D ‎　‎ ‎10．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．‎ ‎【解答】解：由题意，y=lnx与y=ex关于y=x对称，‎ ‎∴阴影部分的面积为2（e﹣ex）dx=2（ex﹣ex）=2，‎ ‎∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，‎ ‎∴落到阴影部分的概率为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】利用线面平行的判定定理，判断直线BC1∥平面ACD1，直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，利用等体积，即可求出直线BC1到平面D1AC的距离．‎ ‎【解答】解：∵几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，‎ ‎∴AB∥C1D1，AB=C1D1，‎ ‎∴AD1∥BC1，‎ ‎∵AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，‎ ‎∴直线BC1∥平面ACD1；‎ 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h，‎ 考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得V==，‎ 而D1AC中，AC=D1C=，D1A=，故=．‎ ‎∴，‎ ‎∴h=，即直线BC1到平面D1AC的距离为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．双曲线C：﹣=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．‎ ‎【解答】解：由椭圆的标准方程可知，‎ 左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），‎ 设点P（a，b）（a≠±2），则﹣=1…①，‎ ‎=， =；‎ 则=•=，‎ 由①式可得=，‎ 代入得=，‎ ‎∵∈（，1），‎ ‎∴∈（，）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=　3　．‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵向量，共面，‎ ‎∴存在唯一一对实数m，n使得，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）=x2+2xf′（0），则f′（2）=　4　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，令x=0，先求出f′（0）的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2+2x f′（0），‎ ‎∴f′（x）=2x+2f′（0），‎ 令x=0，则f′（0）=2f′（0）‎ 即f′（0）=0，‎ 则f′（x）=2x，‎ 则f′（2）=2×2=4，‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎15．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是　（﹣ln2，2）　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，‎ ‎∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，‎ ‎∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，‎ ‎∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．‎ 故答案为：（﹣ln2，2）．‎ ‎　‎ ‎16．∫sin2dx=　　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据函数的积分公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∫sin2dx=∫=（﹣）|=，‎ 故答案为： ，‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17．已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先将命题p，q化简，然后由“p或q为真命题，p且q为假命题”得p和q一真一假，分类讨论即可．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，‎ ‎∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，‎ ‎∵函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，‎ ‎∴mx2﹣x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，‎ 又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，‎ 若p真q假，则1＜m≤2，‎ 若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，‎ 综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．‎ ‎　‎ ‎18．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=AD=2，‎ E是SC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣SC﹣D的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出异面直线DE与AC对应的向量，利用向量的数量积求解即可；‎ ‎（Ⅱ）求出平面BSC的法向量，平面SCD的法向量，利用向量的数量积求二面角B﹣SC﹣D的大小．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）SA⊥底面ABCD，所以SA⊥AD，SA⊥AB 底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD…‎ 以点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，1，1）…‎ 所以，，‎ 所以异面直线DE与AC所成角为90°．…‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，，‎ 设平面BSC的法向量为，则，‎ 令z1=1，则，…‎ ‎，‎ 设平面SCD的法向量为，则，‎ 令y2=1，则…‎ 设二面角B﹣SC﹣D的平面角为α，则．‎ 显然二面角B﹣SC﹣D的平面角为α为钝角，所以α=120°‎ 即二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．…‎ ‎　‎ ‎19．二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．‎ ‎（1）若a∈{﹣2，﹣1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（﹣1，0）内有且只有一个零点的概率；‎ ‎（2）若a∈（0，1），b∈（﹣1，1），求函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数的概率．‎ ‎【考点】几何概型；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×‎ ‎3=12个，而满足条件的（a，b）有6个，从而求得所求事件的概率．‎ ‎（2）由函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，求得b≤a．而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且﹣1＜b＜1}，再根据函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数的概率为，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12个，根据f（x）在（﹣1，0）内有且只有一个零点，且f（0）=1，‎ 故有f（﹣1）=a﹣2b+1＜0，即 a＜2b﹣1，故满足条件的（a，b）有（﹣2，0）、（﹣2，﹣1）、（﹣2，2）、‎ ‎（﹣1，1）、（﹣1，2）、（2，2），共计6个，‎ ‎∴所求事件的概率为 =．‎ ‎（2）若a∈（0，1），b∈（﹣1，1），函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，即﹣≥﹣1，求得b≤a．‎ 而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且﹣1＜b＜1}，如图所示：‎ 故函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数的概率为==．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠‎ ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；‎ ‎（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．‎ ‎（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．‎ ‎【解答】解：（I）证明：在梯形ABCD中，‎ ‎∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，‎ ‎∴AB=2‎ ‎∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3‎ ‎∴AB2=AC2+BC2‎ ‎∴BC⊥AC ‎∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD ‎∴BC⊥平面ACFE ‎（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，‎ 令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）‎ ‎∴‎ 设为平面MAB的一个法向量，‎ 由得 取x=1，则，‎ ‎∵是平面FCB的一个法向量 ‎∴‎ ‎∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，‎ 当时，cosθ有最大值．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．‎ ‎②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则，‎ ‎∴，‎ 所以c=1．所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，‎ 由题意知； ‎ ‎②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），‎ 则直线CD的方程为．‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，‎ 所以． ‎ 同理，． ‎ 所以=，‎ ‎∵当且仅当k=±1时取等号 ‎ ‎∴‎ 综合①与②可知，‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）‎ ‎（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，进而转化为判断二次函数y=x2﹣2ax+2a的正负问题，再对a分类讨论即可．‎ ‎（Ⅱ）当x＞1，且x≠2时，恒成立问题，转化为当x＞1，且x≠2时 [f（x）﹣a]＞0恒成立问题，只要利用（ⅠⅠ）的结论对a及x进行分类讨论f（x）﹣a及x﹣2的符号即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=3时f′（x）=＞0，即x2﹣6x+6＞‎ ‎0，又定义域为（1，+∞），‎ 解得1＜x＜3﹣或x＞3+，由f′（x）＜0，解得3﹣＜x＜3+．‎ 所以单调增区间为（1，3﹣）和（3+，+∞）；单调减区间为（3﹣，3）；‎ ‎（Ⅱ）可化为 [ln（x﹣1）+﹣a]＞0（※）‎ 设h（x）=f（x）﹣a，由题意可知函数h（x）的定义域为（1，+∞），‎ h′（x）=﹣=，‎ 设g（x）=x2﹣2ax+2a，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），‎ ‎①当a≤2时，h（x）在（1，+∞）上是增函数，‎ 若x∈（1，2）时，h（x）＜h（2）=0；所以h（x）＞0，‎ 若x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0．所以h（x）＞0，‎ 所以，当a≤2时，※式成立；‎ ‎②当a＞2时，x1=a﹣＞1，‎ h（x）在（x1，2）是减函数，所以h（x）＞h（2）=0，※式不成立．‎ 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．‎