数学卷·2018届湖北省广水市文华高中高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届湖北省广水市文华高中高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年湖北省广水市文华高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．840和1764的最大公约数是（　　）‎ A．84 B．12 C．168 D．252‎ ‎2．如图所示的程序框图输出的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（　　）‎ A．80 B．40 C．60 D．20‎ ‎4．将数30012（4）转化为十进制数为（　　）‎ A．524 B．774 C．256 D．260‎ ‎5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个红球”与“都是黑球”‎ B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”‎ D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”‎ ‎6．已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程=x+必过点（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A．（2，2） B．（1，2） C．（1.5，4） D．（1.5，0）‎ ‎7．运行下面的程序中，若输入x的值为5，则输出的y的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎8．若a和b异面，b和c异面，则（　　）‎ A．a∥c B．a和c异面 C．a和c异面或平行或相交 D．a和c相交 ‎9．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（　　）‎ A．直线a必垂直于平面β B．直线b必垂直于平面α C．直线a不一定垂直于平面β D．过a的平面与过b的平面垂直 ‎10．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 ‎11．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．某班级共有学生54人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是　　．‎ ‎14．用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为　　．‎ ‎15．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，求取得两球颜色为一白一黑的概率．‎ ‎16．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共六小题，共75分）‎ ‎17．（12分）对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如表．‎ 甲 ‎27‎ ‎38‎ ‎30‎ ‎37‎ ‎35‎ ‎31‎ 乙 ‎33‎ ‎ 29‎ ‎38‎ ‎34‎ ‎28‎ ‎36‎ ‎（1）画出茎叶图 ‎（2）判断选谁参加比赛更合适．‎ ‎18．（12分）某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13．计算这个射手在一次射击中：‎ ‎（1）射中10环或9环的概率，‎ ‎（2）至少射中7环的概率；‎ ‎（3）射中环数不足8环的概率．‎ ‎19．（12分）从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为 c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：‎ ‎（Ⅰ）第1次摸到黄球的概率；‎ ‎（Ⅱ）第2次摸到黄球的概率．‎ ‎20．（12分）某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一学生中抽出100人的成绩作为样本进行统计，并按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到成绩分布的频率分布直方图（如图）．‎ ‎（1）若规定60分以上（包括60分）为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；‎ ‎（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩．‎ ‎21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1．‎ ‎22．（10分）在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．求证：BC⊥AD ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省广水市文华高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．840和1764的最大公约数是（　　）‎ A．84 B．12 C．168 D．252‎ ‎【考点】辗转相除法；最大公因数．‎ ‎【分析】利用辗转相除法，我们易求出840和1764的最大公约数 ‎【解答】解：1764=840×2+84‎ ‎840=84×10‎ 故840和1764的最大公约数是84‎ 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是最大公因数，在求两个正整数的最大公因数时，辗转相除法和更相减损术是常用的方法，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎2．如图所示的程序框图输出的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】设计程序框图解决实际问题；程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出A值．‎ ‎【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的和 循环体为“当型“循环结构 第1次循环：A== i=2‎ 第2次循环：A= i=3‎ 第3次循环：A= i=4‎ 第4次循环：A= i=5‎ 跳出循环，输出A=‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（　　）‎ A．80 B．40 C．60 D．20‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．‎ ‎【解答】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，‎ 一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，‎ ‎∴三年级要抽取的学生是=40，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．‎ ‎　‎ ‎4．将数30012（4）转化为十进制数为（　　）‎ A．524 B．774 C．256 D．260‎ ‎【考点】排序问题与算法的多样性．‎ ‎【分析】用所给的四进制的数字从最后一个数字开始乘以4的0次方，1次方，2次方，3次方，4次方，最后累加求和得到结果．‎ ‎【解答】解：∵30012（4）=2+1×4+3×44=2+4+32+768=774．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查进位制，本题解题的关键是理解进位制之间的转化原则，注意数字的运算不要出错，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个红球”与“都是黑球”‎ B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”‎ D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”‎ ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 ‎【解答】解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确 对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确 对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确 对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，‎ 又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，‎ 得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，‎ ‎∴D正确 故选D ‎【点评】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题 ‎　‎ ‎6．已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程=x+必过点（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A．（2，2） B．（1，2） C．（1.5，4） D．（1.5，0）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】‎ 先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上．‎ ‎【解答】解：回归方程必过点（，），‎ ‎∵==， ==4，‎ ‎∴回归方程过点（1.5，4）．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归直线一定过样本中心点，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎7．运行下面的程序中，若输入x的值为5，则输出的y的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】由已知中伪代码可得程序的功能是计算分段函数，根据x=5，代入计算求出y的值即可．‎ ‎【解答】解：本程序含义为：‎ 输入x 如果x＜0，执行：y=（x+1）（x﹣1）‎ 否则，执行：y=（x﹣1）2‎ 因为输入x的值为5，由y=（x﹣1）2=16，故输出y=16．‎ 故选：A ‎【点评】本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．若a和b异面，b和c异面，则（　　）‎ A．a∥c B．a和c异面 C．a和c异面或平行或相交 D．a和c相交 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】以长方体为例，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ ‎①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，‎ 则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线，‎ 而a和c相交；‎ ‎②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，‎ 此时a和c平行；‎ ‎③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，‎ 此时a和c异面；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查考查线线位置关系，考查数形结合的数学思想，正确运用长方体是关键．‎ ‎　‎ ‎9．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（　　）‎ A．直线a必垂直于平面β B．直线b必垂直于平面α C．直线a不一定垂直于平面β D．过a的平面与过b的平面垂直 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】借助正方体判定．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD⊥面AA1DD1，‎ ‎①，AA1⊂平面ABCD，AB⊂面AA1DD1，AA1⊥AB，AA1⊥平面ABCD；‎ ‎②DA1⊂平面ABCD，DC⊂面AA1DD1，DA1⊥DC，DA1不垂直平面ABCD．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了空间线线，线面、面面位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　）‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】利用互斥事件的概念求解．‎ ‎【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；‎ ‎“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；‎ ‎“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；‎ ‎“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念．‎ ‎　‎ ‎11．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】‎ 由组合数公式可得从5根木棒中任取3根的情况数目，由三角形的三边关系分析可得取出的三根可以搭成三角形的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，从5根木棒中任取3根，有C53=10种情况，‎ 其中能构撘成三角形的有3、5、7，3、7、9，5、7、9，共3种情况，‎ 则能搭成三角形的概率为；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件计算，涉及三角形三边的关系，关键是分析出可以成三角形的情况．‎ ‎　‎ ‎12．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】连续掷两次骰子，以先后得到的点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足x2+y2＜17，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数，根据古典概型个数得到结果．‎ ‎【解答】解：这是一个古典概型 由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6×6=36个，‎ 而满足x2+y2＜17的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）‎ 共有8个，‎ ‎∴P==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏．比如，列举点的坐标时，我们把横标从小变大挨个列举．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．某班级共有学生54人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是　16　．‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】从54个学生中用系统抽样抽取4个人的一个样本，分组时要先剔除两人后分成4个小组，每一个小组有13人，第一个学号是3，第二个抽取的学号是3+13，可以依次写出所需要的学号．‎ ‎【解答】解：从54个学生中用系统抽样抽取4个人的一个样本，‎ 分组时要先剔除两人后分成4个小组，‎ 每一个小组有13人，‎ ‎∵学号为3号，29号，42号的同学在样本中，即第一个学号是3，‎ ‎∴第二个抽取的学号是3+13=16，‎ 故答案为：16‎ ‎【点评】本题考查系统抽样方法，考查抽样过程中的分组环节，考查分组后选出的结果有什么特点，本题是一个基础题，若出现则是一个送分题目．‎ ‎　‎ ‎14．用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为　262　．‎ ‎【考点】算法思想的历程．‎ ‎【分析】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，代入所给的数据求出结果，注意运算中数据不要出错．‎ ‎【解答】解：f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x 故v3=（（7x+6）x+5）x+4‎ 当x=3时，v3=（（7×3+6）×3+5）×3+4=262‎ 故答案为：262．‎ ‎【点评】本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键，本题是一个比较简单的题目，运算量也不大，只要细心就能够做对．‎ ‎　‎ ‎15．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，求取得两球颜色为一白一黑的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】用列举法求得所有的情况共有15种，其中满足两球颜色为一白一黑的有6种，由此求得取得两球颜色为一白一黑的概率．‎ ‎【解答】解：1个红球，2个白球和3个黑球记为a1；b1，b2；c1，c2，c3 ，‎ 从袋中任取两球有（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），‎ ‎（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3） 共15种情况，‎ 故满足两球颜色为一白一黑有6种，故所求事件的概率等于．‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据体积所占的比例，求出满足条件的概率即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：‎ p==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概率的判断及计算公式的应用，几何概率的特点是：无限性，等可能性．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共六小题，共75分）‎ ‎17．（12分）（2016秋•广水市校级期中）对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如表．‎ 甲 ‎27‎ ‎38‎ ‎30‎ ‎37‎ ‎35‎ ‎31‎ 乙 ‎33‎ ‎ 29‎ ‎38‎ ‎34‎ ‎28‎ ‎36‎ ‎（1）画出茎叶图 ‎（2）判断选谁参加比赛更合适．‎ ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）根据要求画出茎叶图即可；（2）分别求出甲和乙的平均数和方差，判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数 ‎（2）利用科学计算器： =33， =33；‎ 且=＞=，‎ 综合比较选乙参加比赛较为合适．‎ ‎【点评】本题考查了茎叶图以及平均数和方差问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014春•江城区校级期末）某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13．计算这个射手在一次射击中：‎ ‎（1）射中10环或9环的概率，‎ ‎（2）至少射中7环的概率；‎ ‎（3）射中环数不足8环的概率．‎ ‎【考点】互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，‎ ‎（1）在一次射击中射中10环或9环，即射中10环和射中9环，由互斥事件的概率公式，再分别相加即可．‎ ‎（2）在一次射击中至少射中7环，即射中10环，射中9环，射中8环，射中7环，再将对应的概率相加即可．‎ ‎（3）在一次射击中射中环数不是8环，即射中7环和射中7环以下，再将对应的概率相加即可．‎ ‎【解答】解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则 ‎（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52，‎ 即射中10环或9环的概率为0.52．‎ ‎（2）P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87，‎ 即至少射中7环的概率为0.87．‎ ‎（3）P（D+E）=P（D）+P（E）=0.16+0.13=0.29，‎ 即射中环数不足8环的概率为0.29．‎ ‎【点评】本题考查了互斥事件有一个发生的概率公式的应用，若A，B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），当一个事件的正面情况比较多或正面情况难确定时，可考虑对立事件．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2010•杭州一模）从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为 c，d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：‎ ‎（Ⅰ）第1次摸到黄球的概率；‎ ‎（Ⅱ）第2次摸到黄球的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）袋中共有四球，故总的摸法有四种，再求出事件“第1次摸到黄球”的基本事件数；‎ ‎（Ⅱ）列举出所有可能的情况数，查出事件“第2次摸到黄球”包含的基本事件数，利用公式求出概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）第1次摸球有4个可能的结果：a，b，c，d，其中第1次摸到黄球的结果包括：a，b，故第1次摸到黄球的概率是．‎ ‎（Ⅱ）先后两次摸球有12种可能的结果：（a，b）（a，c）（a，d）（b，a）（b，c）（b，d）（c，a）（c，b）（c，d）（d，a）（d，b）（d，c），其中第2次摸到黄球的结果包括：（a，b）（b，a）（c，a）（c，b）（d，a）（d，b），故第2次摸到黄球的概率为．（10分）‎ ‎【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是不重不漏地列举出所有的基本事件数，再由等可能事件的概率公式求出概率．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•广水市校级期中）某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一学生中抽出100人的成绩作为样本进行统计，并按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到成绩分布的频率分布直方图（如图）．‎ ‎（1）若规定60分以上（包括60分）为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；‎ ‎（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩．‎ ‎【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图计算60分以上（包括60分）的频率即可；‎ ‎（2）利用区间的中点值，计算样本的平均数即可．‎ ‎【解答】解：（1）60分以上（包括60分）的频率为 ‎0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8，‎ 所以高一年级这次知识竞赛的合格率为80%；‎ ‎（2）利用区间的中点值，计算样本的平均数为 ‎45×0.01×10+55×0.02×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.01×10=72，‎ 据此，可以估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩为72分．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015秋•历城区期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）利用ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，证明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2，说明AC⊥CB，证明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1．‎ ‎（2）设CB1∩BC1=E，说明E为C1B的中点，说明AC1∥DE，然后证明AC1∥平面CDB1．‎ ‎【解答】（本题满分为14分）‎ 解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，‎ ‎∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴CC1⊥AC…（2分）‎ ‎∵AC=3，BC=4，AB=5，‎ ‎∴AB2=AC2+BC2，‎ ‎∴AC⊥CB …‎ 又C1C∩CB=C，‎ ‎∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，‎ ‎∴AC⊥BC1…（7分）‎ ‎（2）设CB1∩BC1=E，‎ ‎∵C1CBB1为平行四边形，‎ ‎∴E为C1B的中点…（10分）‎ 又D为AB中点，‎ ‎∴AC1∥DE…（12分）‎ DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1…（14分）‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015秋•阜阳校级期末）在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．求证：BC⊥AD ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据线面垂直的性质证明BC⊥平面AOD即可证明BC⊥AD．‎ ‎【解答】解：取BC中点O，连结AO，DO．‎ ‎∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，‎ ‎∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO=O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD．‎ 又AD⊂平面AOD，‎ ‎∴BC⊥AD．‎ ‎【点评】本题主要考查直线垂直的判断，根据线面垂直的判定定理和性质定理是解决本题的关键．‎ ‎　‎