北师大版八年级上册数学第二章实数PPT

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第二章 实数 1 认识无理数 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1 . 借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会 无限逼近的思想. （重点） 2 . 会判断一个数是有理数还是无理数. （重点、难点） 学习目标 新课导入 把两个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形 设大正方形的边长为 a ，则 a 满足 什么条件？ 分析： ∵S 大正方形 =2 ∴a 2 =2 新课讲解 知识点 1 现实生活中存在的不是有理数的数 讨论 结论 上式中的 a 可能是整数吗？ a 可能是分数吗？ 因为 a 不是整数， a 也不是分数，所以 a 不是有理数 . 1 1 a a 2 2 面积为 2 由上可得边长 a 的一个大致的范围，但 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ …… 讨论 新课讲解 知识点 2 估计非有理数的大小 请同学们借助计算器进行探索 边长 a 面积 S 1< a <2 1.4< a <1.5 1.41< a <1.42 1.414< a <1.415 1.414 2< a <1.414 3 1< S <4 1.96< S <2.25 1.988 1< S <2.016 4 1.999 396< S <2.002 225 1.999 961 64< S <2.000 244 49 新课讲解 新课讲解 1. 的化简： 2. 的化简： 结论 边长 a 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于 2 呢？为什么？ a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ 事实上， a = 1.414 213 56…, 它是一个无限不循环小数！ 新课讲解 新课讲解 知识点 3 无理数的概念 无理数的类型： ①上述中的 a ， b 类型的； ②圆周率 π 型的； ③如 0.585 885 888 588 885…( 相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1) 这种规定型的 . 无理数的定义： 无限不循环小数 称为无理数． 新课讲解 例 1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 典例分析 解：有理数有： 无理数有： 0.101 000 100 000 1…( 相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2). （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 新课讲解 A 练一练 1 数 π ， ， 0 ，－ 1 中，无理数是 ( 　　 ) A ． π B. C ． 0 D ．－ 1 常见无理数 (1)无限不循环的小数； (2)特殊字母，如“π”； (3)a n ＝b(n为大于1的自然数)中b为有理数，则 a可能为无理数． 课堂小结 认识无理数 无理数定义 常见形式 无理数与有理数的区别 当堂小练 1. 下列各数： ( 相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1) 中，无理数的个数是（ ） A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 C 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. C . D . A 拓展与延伸 在任何两个有理数之间有几个无理数？ 第二章 实数 课时1 算术平方根 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根 . （重点） 2 . 了解平方与开平方互为逆运算，会利用平方运算求某些非负数的算术平方根 . （重点、难点） 新课导入 (1) 根据图填空： x 2 =_______, y 2 =_______, z 2 =_______, w 2 =_______, (2) x , y , z , w 中哪些是有理数 ? 哪些是无理数 ? 你能 表示它们吗 ? 2 x 2 +1 y 2 +1 z 2 +1 新课讲解 知识点 1 算术平方根 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ， 即 x 2 ＝ a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平根． 新课讲解 结论 0的算术平方根是0. 正数 a 的算术平方根表示为 读作 “根号 a ”． 讨论 0 的算术平方根是多少？如何书写算术平方根？ 新课讲解 例 1 典例分析 下列说法中 , 正确的是 ( 　　 ) A ． 3 是 9 的算术平方根　　　　　　 B ． -2 是 4 的算术平方根 C. (-2) 2 的算术平方根是 -2 D ． -9 的算术平方根是 3 A 新课讲解 知识点 2 算术平方根的非负性 (1) 算术平方根 具有双重非负性： ① a 是非负数，即 a ≥0 ； ②算术平方根 是非负数，即 ≥ 0. (2) 算术平方根是它本身的数只有 0 和 1. 结论 算数平方根都是非负数吗？ 讨论 性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0的算术平方根是0； (3)负数没有算术平方根； (4) a(a ≥0)越大，它的算术平方根也越大. 新课讲解 新课讲解 例 典例分析 2 已知 y ＝ ＋ ＋ 5 ，求 2 x ＋ y 的算术平方根． 解：由 中 a ≥0 知，等式成立的条件是 x － 2≥0 且 2 － x ≥0. 所以 x ≥2 且 x ≤2. 所以 x ＝ 2. 所以 y ＝ 5. 所以 2 x ＋ y ＝ 2×2 ＋ 5 ＝ 9. 因为 9 的算术平方根是 3 ，所以 2 x ＋ y 的算术平 方根是 3 ，即 课堂小结 算术平方根 概念 规定 表示方法 当堂小练 1. 数 5 的算术平方根为 ( 　　 ) A. B ． 25 C ． ±25 D ． ± 2. 下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．因为 6 2 ＝ 36 ，所以 6 是 36 的算术平方根 B ．因为 ( － 6) 2 ＝ 36 ，所以－ 6 是 36 的算术平方根 C ．因为 (±6) 2 ＝ 36 ，所以 6 和－ 6 都是 36 的算术平方根 D ．以上说法都不对 A A 当堂小练 3. 若 ＋ |2 a － b ＋ 1| ＝ 0 ，则 ( b － a ) 2 015 ＝ ( 　　 ) A ．－ 1 B ． 1 C ． 5 2 015 D ．－ 5 2 015 A 4.(1) 中，被开方数 a 是 ________ ，即 a ___0 ； (2) 是 ________ ，即 _____0 ，即非负 数的算术平方根是 _________ ；负数没有 算术平方根，即当 a _____0 时， 无意义． ≥ 非负数 非负数 ＜ 非负数 ≥ 拓展与延伸 1. 表示的是 a 的算术平方根，由算术平方 根的定义知它具有“双重”非负性： a ≥0 ， ≥ 0 ，即算术平方根及它的被开方数都 为非负数． 2. 对于所有的算术平方根，被开方数越大，对 应的算术平方根也越大；反之亦然． 第二章 实数 课时 2 平方根 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根 . （重点） 2 . 了解平方与开平方互为逆运算，会利用平方运算求某些非负数的平方根 . （重点、难点） 新课导入 （ 1 ） 9 的算术平方根是 3, 也就是说， 3 的平方是 9. 还有其他的数，它的平方也是 9 吗？ （ 2 ）平方等于 的数有几个？平方等于 0.64 的 数呢？ 想一想 新课讲解 知识点 1 平方根 定义 一般地， 如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x 2 = a ，那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根 ( 也叫做二次方根 ) . 新课讲解 结论 正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 另一个是 - 们互为相反数 . 这两个平方根合起来可以记作 读作“正、负根号 a ”. 议一议 （ 1 ）一个正数有几个平方根？ （ 2 ） 0 有几个平方根？ （ 3 ）负数呢？ 新课讲解 例 1 典例分析 分析：由一个正数有两个平方根，它们互为相反数，得 2 a － 3 ＋ 5 － a ＝ 0 ，解这个方程即可． 一个正数 x 的平方根是 2 a － 3 和 5 － a ，则 a 的值是多少？ 解：根据题意，得 2 a － 3 ＋ 5 － a ＝ 0. 解得 a ＝－ 2. 新课讲解 知识点 2 求平方根（开平方） 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方, a 叫做被开方数. 新课讲解 例 2 典例分析 下列说法中，正确的是 ( 　　 ) A ． 9 的平方根是 ±3 ，应表示为 9 2 ＝ ±3 B ． ±3 是 9 的平方根，应表示为 ± ＝ 3 C ． 9 开平方能得到 9 的平方根，即 ＝ ±3 D ． 9 的算术平方根是 3 ，应表示为 ＝ 3 D 新课讲解 (1) 一个正数的正的平方根就是它的算术平方根． (2) 平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、 除、乘方一样是一种运算，即： 运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方 ( 非负数 ) ． 运算结果：和、差、积、商、幂、平方根 ( 互为相反数 ) ． 结论 新课讲解 知识点 3 √ a 2 与（ √ a ） 2 的性质 （ 1 ） 等于多少？ 等于多少？ （ 2 ） 等于多少？ （ 3 ）对于正数 a ， 等于多少？ （ 4 ） 对于任意数 a ， 一定等于 a 吗？ 议一议 新课讲解 1. 的化简： 2. 的化简： 结论 新课讲解 例 3 典例分析 下列四个数中，是负数的是 ( ) A. | － 2| B.( － 2) 2 C. D. C 课堂小结 平方根 概念、表示方法 运算 性质 算数平方根 ← 正的平方根 C 当堂小练 1. 求一个数的 ____________ 的运算叫做开平方； 平方根是 ____________ 运算的结果；开平方 运算与 _____________ 互为逆运算． 2.( － 5) 2 的平方根是 ( 　　 ) A ．－ 5 B ． 25 C ． ±5 D ． ± 平方根 开平方 平方运算 当堂小练 3. 下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．任何数的平方根都有两个 B ．一个正数的平方根的平方就是这个数 C ．负数也有平方根 D ．非负数的平方根都有两个 B 拓展与延伸 平方根与算术平方根的区别与联系 区别： (1) 个数不同：正数的平方根有两个且互为相反 数，正数的算术平方根只有一个； (2) 表示方法不同：非负数 a 的平方根为 ± 非负数 a 的算术平方根为 联系： 算术平方根是平方根中的一个． 第二章 实数 3 立方根 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根 . （重点） 2 . 了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求出否些数的立方根 . （重点、难点） 新课导入 16 的平方根是 ______ ，算术平方根是 _________. － 16 的平方根是 ____________ ， 0 的平方根是 ________. 一个正数有正负两个平方根 , 它们互为相反数； 零的平方根是零，负数没有平方根 . ±4 4 没有平方根 0 新课讲解 知识点 1 立方根 合作探究 要做一个体积为 8 cm 3 的正方体模型 ( 如图 ) ，它的棱长要取多少？你是怎么知道的？ 新课讲解 结论 讨论 （ 1 ） 2 的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是 8? （ 2 ） -3 的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是 -27? 一般地，一个数的立方等于 a ，这个数就叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根．记做 (也叫做三次方根). 新课讲解 例 1. 0.008 的立方根是 . 典例分析 解：因为（ 0.2 ） 3 =0.008 ，所以 0.008 的立方根是 0.2. 0.2. 新课讲解 结论 讨论 (1)正数有几个立方根？ (2)负数有几个立方根？ (3)0有几个立方根？ 性质 (1) 正数的立方根是正数； (2) 负数的立方根是负数； (3) 0的立方根是0； 知识点 2 立方根的性质 新课讲解 例 2. 如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是 ( 　　 ) A ． 1 B ． 0 或 1 C ． 0 或 ±1 D ．任意非负数 典例分析 B 平方根 立方根 表示方法 被开方数 性质 平方根与立方根的区别： 非负数 任意实数 正数的平方根有两个； 0 的平方根是 0 ；负数没有平方根 . 正数的立方根是正数； 0 的立方根是 0 ；负数的立方根是负数 . 新课讲解 新课讲解 知识点 3 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方， a 叫做被开方数. 概念 新课讲解 例 3 . 求下列各式的值 : 典例分析 2 4 0 -2 -3 3 3 2 _ _ _ = 3 3 4 _ _ _ = 分析： 对于任何数 a , a 新课讲解 练一练 1 8 27 0 - 8 - 27 分析： 对于任何数 a , a 求下列各式的值 : 课堂小结 立方根 立方根概念 立方根性质 开立方 C 当堂小练 1. 下列说法： ①正数都有平方根；②负数都有平方根； ③正数都有立方根；④负数都有立方根． 其中正确的有 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 2. 如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是 ( 　　 ) A ． 1 B ． 0 或 1 C ． 0 或 ±1 D ．任意非负数 B 3. 若 是 5 的立方根，则 b ＝ ______ ，若 ＝－ 2 ， 则 a ＝ ______. 4. 分析下列四句话： ①因为 ( － 2) 3 ＝－ 8 ，所以－ 2 是－ 8 的立方根； ②因为 4 3 ＝ 64 ，所以 64 是 4 的立方根； ③把 2 立方与把 8 开立方互为逆运算； ④把 4 立方与把 4 开平方互为逆运算． 其中正确的是 ____________ ． ( 填序号 ) 1 － 8 ①③ 当堂小练 拓展与延伸 分析： 3x+6y=-27 或者 3x+6y=27 则立方根为 -3 或者 3 第二章 实数 4 估算 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 能通过估算检验计算结果的合理性，估计一个无理数的大致范 围，并能通过估算比较两个数的大小 . （重点） 2 . 掌握估算的方法，形成估算的意识，发展数感 . （重点、难点） 新课导入 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保 主题公园 . 已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面 积为 400 000 m 2 . （ 1 ）公园的宽大约是多少？它有 1 000m 吗？ （ 2 ）如果要求结果精确到 10m, 它的宽大约是多 少？与同伴进行交流 . （ 3 ）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m 2 , 你能估计它的半径吗？（结果精确到 1m) 新课讲解 知识点 1 用估算法确定无理数的大小 讨论 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流 . 怎样估算一个无理数的范围 ? 新课讲解 估算的一般步骤： (1)估计整数部分是几位数； (2)确定最高位上的数字； (3)确定下一位上的数字； (4)依此类推，直到确定出个位上的数字，或者按要求精确到小数点后的某一位. 结论 新课讲解 例 1. 估算 的近似值．（误差小于 1 ） 分析： 对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位，进行的步数越多，估算出的值越精确． 典例分析 解： 15.8 接近 16 ，所以它的估算值是 3.9 或者 4.0 新课讲解 知识点 2 用估算的方法比较数的大小 用估算的方法比较两个数的大小，当其中有一个数是无理数时，一般先采用分析方法，估算出无理数的大致取值范围，再作具体的比较。 新课讲解 例 2. 与无理数 最接近的整数是 ( 　　 ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7 典例分析 C 课堂小结 估算 估算无理数的大小 用估算法比较两个数的大小 D 当堂小练 1. 若 k < < k ＋ 1( k 是整数 ) ，则 k ＝ ( 　　 ) A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 2. 设 2 ＋ 的整数部分和小数部分分别是 x ， y ，试求出 x ， y 的值． 解：因为 ＜ ＜ ，所以 2 ＜ ＜ 3. 所以 的整数部分是 2 ，则 的小数部分是－ 2. 所以 2 ＋ 的整数部分是 4 ， 2 ＋ 的小数部分是 － 2 （即 2 ＋ － 4 ＝ － 2 ）， 即 x ＝ 4 ， y ＝－ 2. 当堂小练 2. 某地开辟一块长方形荒地用于新建一个以环保为主题的公园．已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积是 400 000 m 2 ，那么 (1) 公园的宽是多少？它有 1 000 m 吗？ (2) 如果要求误差小于 10 m ，它的宽大约是多少？ (3) 该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m 2 ， 你能估计它的半径吗？ ( 误差要求小于 1 m) 当堂小练 分析： (1) 若设这块长方形荒地的宽是 x m ，则长是 2 x m ，这样利用长方形的面积公式和开平方的知识即可求解． (2) 由 (1) 即可求解． (3) 设公园中的圆形花圃的半径为 r m ，则可以利用圆的面积公式和开平方的知识来求解． 当堂小练 解： (1) 设这块长方形荒地的宽是 x m ，则长是 2 x m. 根据题意，得 2 x · x ＝ 400 000 ，即 x 2 ＝ 200 000. 两边开平方， 得 x ＝ ± 又因为 x 为荒地的宽，所以 x ＝ ＜ 1 000. 所以公园的宽是 m ，没有 1 000 m. (2) 因为 x ＝ ≈ 447 ，所以如果要求误差小于 10 m ，它的宽大约是 450 m. (3) 设公园中的圆形花圃的半径为 r m ，则根据题意，得 π r 2 ＝ 800 ，即 r 2 ＝ 拓展与延伸 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定 . 现有一长度为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时 （ 1 ）他的顶端最多能到达多高（保留到 0.1 ） ? （ 2 ）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高 5.9 m 的地方张贴一副宣传 , 他能办到吗？ 第二章 实数 5 用计算器开方 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解科学计算器各键的基本功能及使用说明 . 2 . 会用计算器求平方根和立方根 . （重点） 3. 会运用计算器探求数学规律 . 新课导入 利用科学计算器怎样进行开方运算 ? 开方运算要用到键 和键 . 对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 . 对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 . = S D SHIFT = 新课讲解 知识点1 利用计算器求算术平方根和立方根 你是怎样按的键？ 新课讲解 开方运算按键方法： (1) 先按“开方键”； (2) 再按被“开方数”； (3) 后按“等号”键 . 新课讲解 例 1 典例分析 用计算器求 的值 . （计算 结果保留4 位有效数字 ） . 新课讲解 1.354 1.354 = 按 键 显 示 shift 2 ndF 0. 1.106299938 因为计算结果要求保留4位有效数字，所以结果为 1.106 解：用计算器的步骤如下： 课堂小结 计算器开方 开算术平方根 开立方根 当堂小练 1. 利用计算器，求下列各式的值（结果保留 4 个有效数字）： （ 2 ） （ 1 ） （ 1 ） ≈28.28 （ 2 ） ≈1.639 拓展与延伸 借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？ 利用你发现的规律试写出 4…444 3 …333 + 2 2 = 5 …555 的结果 . 5 555 2 2 3 333 4 444 + 第二章 实数 6 实数 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解实数的概念和意义，能够按照要求对实数进行分类. （重点） 2 . 了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义以及有理数的运算法则则在实数范围内仍然使用. （重点） 3. 知道数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数，并且能比较两个实数的大小. （难点） 4.能进行加、减、乘、除、乘方运算. 新课导入 什么是有理数？有理数怎样分类？ 新课讲解 知识点 1 实数的概念及分类 概念 有理数和无理数统称为实数. 新课讲解 实数 实数 有理数 无理数 整数 分数 无限不循环小数 正实数 0 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 分类 新课讲解 例 1 典例分析 判断： （ 1 ）实数不是有理数就是无理数 . （ ） （ 2 ）无理数都是无限不循环小数 . （ ） （ 3 ）无理数都是无限小数 . （ ） （ 4 ）带根号的数都是无理数 . （ ） （ 5 ）无理数一定都带根号 . （ ） × × 新课讲解 练一练 B 1 无理数－ 的 相反数是（ ） A ．－ B ． C ． D ． 分析：数 a 的相反数为－ a ， 有 –(– )= . 新课讲解 知识点 2 实数的性质 实数的性质 相反数： a 的相反数为 -a 绝对值： 倒数：乘积为 1 的两个实数互为倒数 新课讲解 例 2 填空 典例分析 正实数的绝对值是 ， 0 的绝对值是 ，负实数的绝对值是 　 . 它本身 0 它的 相反数 新课讲解 知识点 3 实数的运算及简化 1. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运 算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混 合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先 算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按 照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 新课讲解 2. 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行 实数运算的过程中，要做到： 一“ 看 ” —— 看算式的结构特点，能否运用运算律或公式； 二“ 用 ” —— 运用运算律或公式； 三“ 查 ” —— 检查过程和结果是否正确． 3 ．计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号， 结果要化为最简形式． 学法指南 ：实数的运算律 加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； 加法结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c ) ； 乘法交换律： ab ＝ ba ； 乘法结合律： ( ab)c ＝ a(bc ) ； 乘法分配律： ( a ＋ b ) c ＝ ac ＋ bc . 新课讲解 新课讲解 例 3 典例分析 估计 ＋ 1 的值在 ( 　　 ) A ． 2 到 3 之间　　　　　　　 B ． 3 到 4 之间 分析：首先要确定 的取值范围，再估算 ＋ 1 的取值范围．因为 4 ＜ 6 ＜ 9 ，所以 ，即 2 ＜ ＜ 3 ，所以 3 ＜ ＋ 1 ＜ 4. B 新课讲解 知识点 4 实数与数轴上的点的关系 (1) 如图， OA=OB , 数轴上点 A 对应的数是什么？它介 于哪两个整数之间？ (2) 你能在坐标轴上找到 对应的点吗？与同伴进 行交流 . 议一议 新课讲解 1. 实数与数轴间的关系：实数和数轴上的点是 一一对应 的． 它包含着 两层含义 ： (1) 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2) 数轴上的每一个点都表示一个实数． 结论 新课讲解 4. 点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上表示的数为－ 5 ，则 A ， B 两点之间的距离为 ________ ． 分析：根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数，列式计算即可得解． 例 典例分析 新课讲解 知识点 5 实数大小的比较 利用数轴比较实数的大小： 对于数轴上的任意 两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的 实数大． 新课讲解 知识点 5 . 用“＜”连接下列各数：－ ， ，－ 2 ， 2.5 ， 0. 分析：比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小一样，可先求出这些数的近似数，再将这些数在数轴上表示出来，然后根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大” 求解． 例 典例分析 新课讲解 解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图 . 由图可知，用“＜”可以连接成：－ 2 ＜－ ＜ 0 ＜ ＜ 2.5. 课堂小结 实数 概念分类 运算 与数轴上的点的关系 性质 D 当堂小练 1. 下列实数中，是有理数的为 ( 　　 ) A. B. C ． π D ． 0 2. 如图，数轴上的 A ， B ， C ， D 四点中， 与表示数－ 的点最接近的是 ( 　　 ) A ．点 A B ．点 B C ．点 C D ．点 D B 当堂小练 3. 实数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如 图所示，计算 | a － b | 的结果为 ( 　　 ) A ． a ＋ b B ． a － b C ． b － a D ．－ a － b C 4. 计算： (3.14 － ) 0 ＋ ( － 3) 2 ＝ ________. 10 当堂小练 5. 的相反数是 ( 　　 ) 6. 是 的 ( 　　 ) A ．相反数 B ．倒数 C ．负平方根　 D ．绝对值 A A 拓展与延伸 实数 a ， b ， c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 ( 　　 ) A ． ac>bc B ． | a － b | ＝ a － b C ．－ a < － b < c D ．－ a － c > － b － c D 第二章 实数 课时 1 二次根式及最简二次根式 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解二次根式和最简二次根式的概念，明确它们的限制条件，能将二次根式化简为最简二次根式或整式 . （重点） 新课导入 观察下列代数式： 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的 共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负 数 . 新课讲解 知识点1 二次根式的定义 定义 形如 ( a ≥0) 的式子叫做二次根式． 其中 a 为整式或分式， a 叫做被开方式． 新课讲解 例 1 分析： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根 式定义的条件，紧扣定义进行识别． 典例分析 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． 解： (1) 不是．理由：因为 的根指数是 3 ，所以 不是 二次根式． (2) 是．理由：因为不论 x 为何值，都有 x 2 ＋ 1 ＞ 0 ，且 的根指数为 2 ，所以 是二次根式． 新课讲解 (3) 不一定是．理由：当－ 5 a ≥0 ，即 a ≤0 时， 是二次 根式；当 a ＞ 0 时，－ 5 a ＜ 0 ，则 不是二次根 式．所以 不一定是二次根式． (4) 不是．理由： ( a ≥0) 只能称为含有二次根式的代 数式，不能称为二次根式． (5) 不一定是．理由：当 a ＝ 4 ，即 a － 4 ＝ 0 时， 是二次根式；当 a ≠4 时，－ ( a － 4) 2 ＜ 0 ，所以 不是二次根式．所以 不一定是二次根式． (6) 是．理由：因为 x 2 ＋ 2 x ＋ 2 ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＋ 1 ＝ ( x ＋ 1) 2 ＋ 1 ＞ 0 ，且 的根指数为 2 ，所以 是二次根式． (7) 是．理由：因为 | x |≥0 ，且 的根指数为 2 ，所以 是二次根式． 新课讲解 新课讲解 知识点 2 二次根式的性质 （ 1 ）计算下列各式，你能得到什么猜想？ （ 2 ）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借 助计算器验证，并与同伴进行交流 . 做一做 新课讲解 有哪些性质呢？ 二次根式的性质： 算术平方根的积 算术平方根的商 积的算术平方根，等于 ________________; 商的算术平方根，等于 ________________; 结论 新课讲解 例 2 化简 典例分析 解： 新课讲解 知识点 3 最简二次根式 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式 ． 概念 新课讲解 2 ．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤： (1) “ 一分”，即利用因数 ( 式 ) 分解的方法把被开方数的分子、 分母都化成质因数 ( 式 ) 的幂的乘积形式； (2) “ 二移”，即把能开得尽方的因数 ( 式 ) 用它的算术平方根代 替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外 时，要注意应写在分母的位置上； (3)“ 三化”，即将分母有理化 —— 化去被开方数中的分母． 新课讲解 例 3 典例分析 分析：判断二次根式 (1) 分母中含有根式的式子不是最简二次根式； (2) 去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3) 去根号后漏掉括号． 下列式子为最简二次根式的是 ( 　　 ) A 课堂小结 二次根式 概念 性质 最简二次根式 当堂小练 知识点 1. 化简： 解： 当堂小练 2. 当 1 ＜ a ＜ 2 时，代数式 的值是 ( 　　 ) A ．－ 1 B ． 1 C ． 2 a － 3 D ． 3 － 2 a B 3. 若代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( 　　 ) A ． x ≥ － 2 B ． x > － 2 C ． x ≥2 D ． x ≤2 C 拓展与延伸 被开方数是数的二次根式的化简技巧： (1) 当被开方数是整数时，应先将它分解因数； (2) 当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化 成分数或带分数化成假分数的形式； (3) 当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这 个和差的结果求出． 第二章 实数 课时 2 二次根式的乘除运算 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握二次根式的性质，并能进行相关计算 . （重点） 新课导入 1. 什么叫二次根式？ 式子 ( a ≥ 0) 叫做二次根式 . 2. 两个基本性质： 新课讲解 知识点 1 二次根式的乘除法 法则 乘法：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；即： 新课讲解 例 1 计算下列式子 分析： 典例分析 (1)(2) 两题直接利用公式 计算； (3)(4) 两题要利用乘法交换律和结合律，将 二次根式根号外的因数 ( 式 ) 和两个二次根式分别相 乘，同时注意确定积的符号． 新课讲解 两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方。 解： 新课讲解 法则 除法： 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即： 新课讲解 例 2 计算 典例分析 分析： (1) 直接利用二次根式的除法法则进行计算； (2) 要注意根号外的因数与因数相除，同时要注意结果的符号； (3) 进行计算时需先把带分数化成假分数． 新课讲解 解： 课堂小结 二次根式的乘除 乘法法则 除法法则 当堂小练 1. 下列计算正确的是 ( 　　 ) B 2. 下列运算结果，错误的是 ( 　　 ) A.-(-1/2)=1/2 B.(-1) 0 =1 C.(-1)+(-3)=4 D. C 拓展与延伸 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简． 第二章 实数 课时 3 二次根式加减和混合运算 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握二次根式的加减乘除的运算法则，会运用法则进行二次根式的简单四则运算 . （重点、难点） 新课导入 二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ (1) 被开方数不含分母；分母不含根号； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 . 新课讲解 知识点 1 二次根式的加减法 二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将 二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并． 即： m ＋ n ＝ ( m ＋ n ) . 2 ．二次根式加减运算的步骤： (1)“ 化”：将每个二次根式 化成 最简二次根式； (2)“ 找”： 找出 被开方数相同的最简二次根式； (3)“ 并”：将被开方数相同的最简二次根式 合并 成一项． 新课讲解 新课讲解 例 1. 计算下列式子 典例分析 解： 新课讲解 知识点 2 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算指的是：二次根式的加减乘除乘方的混合运算 . 2. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，要先算括号里面的 . 3. 整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用． 归纳 新课讲解 例 典例分析 2. 计算下列式子 解：（ 1 ） （ 2 ） 课堂小结 二次根式的加减 及混合运算 加减法 混合运算 当堂小练 1. 下列各式计算正确的是 ( 　　 ) D 当堂小练 2 .计算下列式子 解： 拓展与延伸 二次根式的加减运算的方法步骤： (1) 将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数 中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数， 则要化成分数，进而化为最简二次根式； (2) 原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、 结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．