高中数学必修2同步练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系（A）

高中数学必修2同步练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系（A）

必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系（A）‎ 一、选择题 ‎1、如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．45° D．30°‎ ‎2、下列推理错误的是(　　)‎ A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈l，l⊂α⇒A∈α ‎3、给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是(　　)‎ A．①和② B．②和③‎ C．③和④ D．②和④‎ ‎4、在空间中，下列说法中不正确的是(　　)‎ A．两组对边相等的四边形是平行四边形 B．两组对边平行的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 ‎5、长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎6、正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7、已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β ‎8、如图(1)所示，在正方形SG‎1G2G3中，E，F分别是G‎1G2及G‎2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有(　　)‎ A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面 ‎9、如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交且垂直 C．异面直线 D．相交成60°角 ‎10、在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则(　　)‎ A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P一定在直线AC或BD上 D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上 ‎11、如图所示，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，若E是A‎1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)‎ A．AC B．BD C．A1D D．A1D1‎ ‎12、矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为(　　)‎ A．π B．π C．π D．π 二、填空题 ‎13、设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．‎ ‎14、如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．‎ ‎15、如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1中，当底面四边形A1B‎1C1D1满足条件________时，有A‎1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．‎ ‎16、下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 三、解答题 ‎17、如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°．‎ ‎(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；‎ ‎(2)证明CD⊥平面ABF；‎ ‎(3)求二面角B－EF－A的正切值．‎ ‎18、如图所示，长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？‎ ‎19、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．‎ 求证：(1)EF∥面ACD；‎ ‎(2)面EFC⊥面BCD．‎ ‎20、如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．‎ ‎(1)求证：AF⊥SC；‎ ‎(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．‎ ‎21、如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC 的中点．‎ ‎(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；‎ ‎(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．‎ ‎22、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．‎ ‎(1)求证：BC′⊥平面AC′D；‎ ‎(2)求点A到平面BC′D的距离．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，‎ 则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，‎ 所以∠B′DC＝90°．]‎ ‎2、C　[若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．]‎ ‎3、D　[当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]‎ ‎4、A ‎5、D　[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．]‎ ‎6、B ‎7、C　[A中还有可能n⊂α；B中n∥m；D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又b⊂β，则α⊥β，所以C正确．]‎ ‎8、A　[∵四边形SG‎1G2G3是正方形，‎ ‎∴SG1⊥G1E，EG1⊥G‎2F，FG3⊥SG3．‎ 当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变，‎ EG，GF成为四面体的面EGF的相邻两条边，‎ 因此，在四面体S－EFG中侧棱SG⊥GE，SG⊥GF，‎ ‎∴SG⊥平面EFG．]‎ ‎9、D　[恢复成正方体(如图)，‎ 易知△ABC为等边三角形，‎ 所以∠ABC＝60°．选D．]‎ ‎10、B　[(如图)，∵P∈HG，HG⊂面ACD，‎ ‎∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，‎ 面BAC∩面ACD＝AC；‎ ‎∴P∈AC，选B．]‎ ‎11、B　[证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]‎ ‎12、C　[球心O为AC中点，半径为R＝AC＝，‎ V＝πR3＝π．选C．]‎ 二、填空题 ‎13、9‎ 解析　由面面平行的性质得AC∥BD，＝，‎ 解得SD＝9．‎ ‎14、a>6‎ 解析　(如图)‎ 由题意知：PA⊥DE，‎ 又PE⊥DE，‎ 所以DE⊥面PAE，∴DE⊥AE．‎ 易证△ABE∽△ECD．‎ 设BE＝x，则＝，即＝．‎ ‎∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，解得a>6．‎ ‎15、B1D1⊥A‎1C1(答案不唯一)‎ 解析　由直四棱柱可知CC1⊥面A1B‎1C1D1，‎ 所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A‎1C，‎ 只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A‎1C1，‎ 还可以填写四边形A1B‎1C1D1是菱形，正方形等条件．‎ ‎16、④‎ 解析　①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．‎ 三、解答题 ‎17、(1)解　因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．‎ 所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．‎ 因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．‎ 在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝2，‎ CE＝＝3，‎ 所以cos ∠CED＝＝．‎ 所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为．‎ ‎(2)证明　如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°．‎ 由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．‎ 又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF．‎ ‎(3)解　由(2)及已知，可得AG＝，即G为AD的中点．‎ 取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF．‎ 因为BC∥AD，所以BC∥EF．‎ 过点N作NM⊥EF，交BC于点M，‎ 则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角．‎ 连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，‎ 从而BC⊥GM．‎ 由已知，可得GM＝．‎ 由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．‎ 在Rt△NGM中，tan ∠GNM＝＝．‎ 所以二面角B－EF－A的正切值为．‎ ‎18、解　直线MN∥平面A1BC1，‎ 证明如下：‎ ‎∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1．‎ ‎∴MN⊄平面A1BC1．‎ 如图，取A‎1C1的中点O1，连接NO1、BO1．‎ ‎∵NO1綊D‎1C1，‎ MB綊D‎1C1，∴NO1綊MB．‎ ‎∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1．‎ 又∵BO1⊂平面A1BC1，‎ ‎∴MN∥平面A1BC1．‎ ‎19、证明　(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，‎ ‎∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴EF∥面ACD．‎ ‎(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．‎ ‎∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．‎ 又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．∵BD⊂面BCD，‎ ‎∴面EFC⊥面BCD．‎ ‎20、证明　(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，‎ ‎∴SA⊥BC，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．‎ ‎∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．‎ 又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC．‎ ‎∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF．‎ ‎∴AF⊥SC．‎ ‎(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．‎ 又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD．‎ ‎∴DC⊥AG．‎ 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，‎ ‎∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．‎ ‎21、(1)证明　‎ 连接OE，如图所示．‎ ‎∵O、E分别为AC、PC中点，‎ ‎∴OE∥PA．‎ ‎∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，‎ ‎∴PA∥面BDE．‎ ‎∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．‎ 在正方形ABCD中，BD⊥AC，‎ 又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．‎ 又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．‎ ‎(2)解　取OC中点F，连接EF．‎ ‎∵E为PC中点，‎ ‎∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．‎ 又∵PO⊥面ABCD，‎ ‎∴EF⊥面ABCD ‎∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．‎ ‎∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，‎ ‎∴∠EOF＝30°．‎ 在Rt△OEF中，‎ OF＝OC＝AC＝a，‎ ‎∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．‎ ‎∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．‎ ‎22、(1)证明　∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，‎ ‎∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．‎ 又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，‎ ‎∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′．‎ 又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．‎ ‎∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．‎ ‎(2)解　‎ 如图所示，‎ 过A作AE⊥C′D，垂足为E，连接BE．‎ ‎∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE．‎ ‎∴AE⊥平面BC′D．‎ 故AE的长就是A点到平面BC′D的距离．‎ ‎∵AD⊥AB，DA⊥BC′，‎ ‎∴AD⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．‎ 在Rt△AC′B中，AC′＝＝3．‎ 在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3．‎ 在Rt△C′AD中，由面积关系，得 AE＝＝＝．‎ ‎∴点A到平面BC′D的距离是．‎