【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第26讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第26讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

第26讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．‎ ‎2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．‎ ‎4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．‎ ‎6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，13‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，3‎ ‎2016·北京卷，4‎ ‎2016·天津卷，7‎ ‎2016·山东卷，8‎ ‎1.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题．‎ ‎2．数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.‎ 分值：5分 ‎1．平面向量的数量积 若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.‎ 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.‎ 两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.‎ ‎2．平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积．‎ ‎3．平面向量数量积的重要性质 ‎(1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__；‎ ‎(2)非零向量a，b，a⊥b⇔__a·b＝0__；‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__，a·a＝__a2__，|a|＝____；‎ ‎(4)cos θ＝____；‎ ‎(5)|a·b|__≤__|a||b|.‎ ‎4．平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝__b·a__(交换律)；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a·(λb)__(λ为实数)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__.‎ ‎5．平面向量数量积性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__；‎ 由此得到：‎ ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝__x2＋y2__，或|a|＝____；‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝____；‎ ‎(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__.‎ ‎6．平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；‎ ‎(2)(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2；‎ ‎(3)(a－b)2＝__a2－‎2a·b＋b2__.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零．(　√　)‎ ‎(2)若a∥b，则必有a·b≠0.(　×　)‎ ‎(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　×　)‎ ‎(4)若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角．(　×　)‎ 解析 (1)正确．由向量投影的定义可知，当两向量夹角为锐角时结果为正，为钝角时结果为负，为直角时结果为零．‎ ‎(2)错误．当a与b至少有一个为0时a∥b，但a·b＝0.‎ ‎(3)正确．由数量积与向量线性运算的意义可知，正确．‎ ‎(4)错误．当a·b＝－|a||b|时，a与b的夹角为π.‎ ‎2．下列四个命题中真命题的个数为(　C　)‎ ‎①若a·b＝0，则a⊥b；②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2＝a2·b2.‎ A．4　　 B．‎2　‎　‎ C．0　　 D．3‎ 解析 a·b＝0时，a⊥b，或a＝0，或b＝0.故①命题错．‎ ‎∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.又∵b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)．故②命题错误．∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，‎ ‎∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等．故③命题不正确．‎ ‎∵(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2.故④命题不正确．‎ ‎3．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝(　D　)‎ A．－　　 B．－　　‎ C．　　 D． 解析 在△ABC中，cos ∠BAC＝＝＝，∴·＝||||cos ∠BAC＝3×2×＝.‎ ‎4．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝(　A　)‎ A．－1　　 B．‎1　‎　‎ C．－2　　 D．2‎ 解析 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)．∵λa＋b与a垂直，‎ ‎∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0，∴λ＝－1.‎ ‎5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 |a|cos θ＝＝＝＝.‎ 一　平面向量的数量积运算 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．‎ ‎【例1】 (1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(‎2a＋b)·a＝(　C　)‎ A．－1　　 B．‎0　‎　‎ C．1　　 D．2‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝__2__.‎ 解析 (1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，‎ 从而(‎2a＋b)·a＝‎2a2＋a·b＝4－3＝1.‎ ‎(2)|a＋2b|＝ ‎＝＝2.‎ 二　平面向量的夹角与垂直 ‎(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．‎ ‎(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．‎ ‎【例2】 (1)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，其外接圆的圆心为O，则·＝__10__.‎ ‎(2)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__∪∪__.‎ 解析 (1)如图，取BC的中点M，连OM，AM，则＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)·.‎ ‎∵O为△ABC的外心，∴OM⊥BC，即·＝0，‎ ‎∴·＝·＝(＋)·(－)＝‎ (2－2)＝(62－42)＝×20＝10.‎ ‎(2)a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，‎ 则解得λ<－或0<λ<或λ>，‎ 所以λ的取值范围是∪∪.‎ 三　平面向量的模及综合应用 向量模的运算方法 ‎(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝.‎ ‎(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±‎2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．‎ ‎【例3】 (1)在平面直角坐标系内，已知B(－3，－3)，C(3，－3)，且H(x，y)是曲线x2＋y2＝1上任意一点，则·的最大值为__6＋19__.‎ ‎(2)(2018·河北石家庄二模)已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－‎2a)·(2b－‎3c)＝0，则|b－c|的最大值是__＋1__.‎ 解析 (1)由题意得＝(x＋3，y＋3)，＝(x－3，y＋3)，所以·＝(x＋3，y＋3)·(x－3，y＋3)‎ ‎＝x2＋y2－9＋6y＋27＝6y＋19≤6＋19，当且仅当y＝1时取最大值．‎ ‎(2)设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ，‎ ‎∴cos θ＝＝＝，‎ ‎∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ 设＝a，＝b，c＝(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(1,1)，B(3,0)，‎ ‎∴c－‎2a＝(x－2，y－2)，2b－‎3c＝(6－3x，－3y)，‎ ‎∵(c－‎2a)·(2b－‎3c)＝0，∴(x－2)·(6－3x)＋(y－2)·(－3y)＝0.‎ 即(x－2)2＋(y－1)2＝1.又知b－c＝(3－x，－y)，‎ ‎∴|b－c|＝≤＋1＝＋1，‎ 即|b－c|的最大值为＋1.‎ ‎1．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　C　)‎ A．4　　 B．‎5　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析 ∵＝(2,2)，∴||＝＝2.‎ ‎∵·＝||·||cos A＝2×2cos A＝－4，‎ ‎∴cos A＝－，∵00，∴|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos 2x－2cos x－1‎ ‎＝22－.‎ ‎∵x∈，∴≤cos x≤1，∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.‎ 易错点　忽视或弄错向量的几何表示 错因分析：利用向量的几何意义表示三角形的四心，关键是弄清这四心的定义及性质．‎ ‎【例1】 已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)‎ A．重心、外心、垂心　　 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心　　 D．外心、重心、内心 解析 第一个条件表明O到A，B，C三顶点的距离相等，即为△ABC的外心，设D为BC的中点，则＋＝2，‎ ‎∴＋2＝0，则N为△ABC的中线AD靠近D的三等分点，即为△ABC的重心；由·＝·得 ·(－)＝0，∴·＝0，同理·＝0，‎ ·＝0，则知P与三顶点的连线和对边垂直，所以P为△ABC的垂心，故选C．‎ 答案 C ‎【跟踪训练1】 已知O是平面内的一定点，A，B，C是此平面内不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　C　)‎ A．内心　　 B．外心　　‎ C．重心　　 D．垂心 解析 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．‎ 课时达标　第26讲 ‎[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．‎ 一、选择题 ‎1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　D　)‎ A．x＝－　　 B．x＝－1‎ C．x＝5　　 D．x＝0‎ 解析 由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0.‎ ‎2．已知非零向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则cos 〈a，a＋b〉＝(　C　)‎ A．　　 B．－ C．　　 D．－ 解析 设|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则(a－b)2＝a2－‎2a·b＋b2＝1，‎ ‎∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋＝.‎ ‎∵|a＋b|＝＝＝，‎ ‎∴cos〈a，a＋b〉＝＝.‎ ‎3．已知向量||＝2，||＝4，·＝4，则以，为邻边的平行四边形的面积为(　A　)‎ A．4　　 B．2 C．4　　 D．2‎ 解析 因为cos∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝.所以所求的平行四边形的面积为||·||·sin∠AOB＝4，故选A．‎ ‎4．(2018·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(　D　)‎ A．－　　 B．－ C．　　 D． 解析 ∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，‎ b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝，故选D．‎ ‎5．(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　C　)‎ A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析 因为(＋)·＝0，所以(＋)·(－)＝0，所以2－2＝0，即||＝||，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所以3B＝π，B＝，故△ABC是等边三角形．‎ ‎6．(2018·福建厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　C　)‎ A．　　 B．2‎ C．　　 D．6‎ 解析 由·＝||||cos 120°＝－||||＝－1，得||||＝2，||2＝|－|2＝2＋2－2AB·＝2＋2＋2≥2||||＋2＝6，当且仅当||＝||时等号成立．所以||≥，故选C．‎ 二、填空题 ‎7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝__－2__.‎ 解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a·b＝0，即m＋2＝0，∴m＝－2.‎ ‎8．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为__90°__.‎ 解析 由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.‎ ‎9．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是__[－5，1]__.‎ 解析 设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P在圆x2＋y2＝50上，由解得x＝－5或x＝1，结合图象(图略)，可得－5≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．‎ 三、解答题 ‎10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|‎4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ 解析 由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，‎ ‎∴|a＋b|＝4.‎ ‎②∵|‎4a－2b|2＝‎16a2－‎16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|‎4a－2b|＝16.‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.‎ ‎∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ ‎11．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．‎ 解析 (1)由m·n＝－，‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos A＝－.‎ 因为0b，所以A>B，则B＝.‎ 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×‎5c×，解得c＝1，‎ 故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ ‎12．如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量，，的模分别为2，，4.‎ ‎(1)求|＋＋|；‎ ‎(2)若＝m＋n，求实数m，n的值．‎ 解析 (1)由已知易知·＝||·||·cos ∠AOB＝－3，‎ ·＝||·||·cos ∠AOC＝－4，·＝0，‎ ‎∴|＋＋|2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝9，∴|＋＋|＝3.‎ ‎(2)由＝m＋n可得·＝m2＋n·，且·＝m·＋n2，‎ ‎∴∴m＝n＝－4.‎