四川省成都市成都市第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

四川省成都市成都市第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020学年四川省成都七中高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共8小题）‎ ‎1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 无法推断出 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i，v的值，‎ 当时，不满足条件时跳出循环，输出v的值，由此列方程求出n的值．‎ ‎【详解】解：初始值为n，，模拟程序运行过程如下；‎ ‎，‎ 满足条件，，‎ 满足条件，，‎ 满足条件，，‎ ‎ ‎ 满足条件，，‎ 满足条件，，‎ 不满足条件，退出循环，输出v的值为，‎ 即，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i，v值是解题的关键，属于中档题．‎ ‎2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 12 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步进行分析：在4本书中任选2本，分给甲；剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本，‎ 分2步进行分析：‎ 在4本书中任选2本，分给甲，有种情况，‎ 剩下的2本送给乙，有1种情况，‎ 则有6种不同的分法；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎3.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是(　　)‎ A. 31.6岁 B. 32.6岁 C. 33.6岁 D. 36.6岁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据频率分布直方图中频率之和为计算出数据位于的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．‎ ‎【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，‎ 所以，数据位于的频率为，‎ 前两个矩形的面积之和为，‎ 前三个矩形的面积之和为，‎ 所以，中位数位于区间，设中位数为，‎ 则有，解得（岁），故选C．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间单位：小时和工资单位：元如下表所示：‎ 时间x ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎12‎ 工资y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎140‎ 则小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求．‎ ‎【详解】解：，．‎ ‎，‎ ‎．‎ 小赵这段时间每天工资y与每天工作时间x满足的线性回归方程为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．‎ ‎5.对具有线性相关关系的两个变量x，y，测得一组数据如表所示：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ m ‎60‎ ‎70‎ n 根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则 （ ）‎ A. 119 B. 120 C. 129 D. 130‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解的值．‎ ‎【详解】解：，，‎ 样本点的中心的坐标为，代入线性回归方程，‎ 得，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．‎ ‎6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即＝5.5,5出现的次数最多，故＝5，≈5.97‎ 于是得.‎ 考点：统计初步.‎ ‎7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有（ ）‎ A. 27个 B. 28个 C. 29个 D. 30个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，按四位数的千位数字不同,分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，分2种情况，‎ 四位数的千位数字为3，‎ 其百位数字1时，有3152,3154符合条件，‎ 其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，‎ 在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，‎ 此时,有个符合条件的四位数；‎ 四位数的千位数字为4，‎ 其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，‎ 此时有个符合条件的四位数；‎ 则有个符合条件的四位数；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）‎ A. 192 B. 336 C. 600 D. 以上答案均不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．‎ ‎【详解】解：E，F，G分别有4，3，2种方法，‎ 当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，‎ 若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，‎ 若C与F不同，则此时D有2种方法，‎ 故此时共有：种方法；‎ 当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法，‎ 若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，‎ ‎ 若C与F不同，则D有1种方法，‎ ‎  故此时共有：种方法；‎ 当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，‎ 若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法；‎ 若B不同于F，则B有1种方法，‎ Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法；‎ Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；‎ 故此时共有：种方法；‎ 综上共有种方法．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数，，那么输出的p等于______.‎ ‎【答案】210‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足，退出循环，从而求出p的值.‎ ‎【详解】解：模拟程序的运行，可得 ‎，，， ‎ ‎，‎ 满足条件，执行循环体，， ‎ 满足条件，执行循环体，， ‎ 不满足条件，退出循环，输出p的值为210．‎ 故答案为：210．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题．‎ ‎10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．‎ ‎【答案】46‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数．‎ ‎【详解】解：由茎叶图得：‎ 该样本的中位数是：．‎ 故答案为：46．‎ ‎【点睛】本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎11.把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F为半椭圆的右焦点，A是圆弧与x轴的交点，过点F的直线交“曲圆”于P，Q两点，则的周长取值范围为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，求得F，A的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ经过圆与y轴的交点B，C的倾斜角，分别讨论当 时，当，时，当时，P，Q的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：显然直线PQ的斜率不能为0，设直线PQ的倾斜角为，，‎ 由半椭圆方程为可得，‎ 圆弧方程为：的圆心为，半径为2，‎ 且恰为椭圆的左焦点，，‎ 与y轴的两个交点为，，‎ 当直线PQ经过B时，，即有；‎ 当直线PQ经过C时，，即有．‎ 当时，Q、P分别在圆弧：、‎ 半椭圆上，‎ 为腰为2的等腰三角形，则，‎ 的周长；‎ 当时，P、Q分别在圆弧：、‎ 半椭圆上，‎ 为腰为2的等腰三角形，且，‎ 的周长；‎ 当时，P、Q在半椭圆上，‎ 的周长．‎ 综上可得，的周长取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．‎ ‎12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2种情况讨论：，4名大学生中录用3人，，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎4名大学生中录用3人，有种录取情况；‎ ‎4名大学生全部录用，有种录取情况，‎ 则有种录用种数；‎ 故答案为：60．‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共3小题）‎ ‎13.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎ ‎[75，85) ‎ ‎[85，95) ‎ ‎[95，105) ‎ ‎[105，115) ‎ ‎[115，125) ‎ 频数 ‎ ‎6 ‎ ‎26 ‎ ‎38 ‎ ‎22 ‎ ‎8 ‎ ‎（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：‎ ‎（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）直方图如图，‎ ‎（2）质量指标值的样本平均数为 ‎.‎ 质量指标值的样本方差为 ‎.‎ ‎（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 ‎，‎ 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.‎ ‎14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．‎ 数学 ‎120‎ ‎118‎ ‎116‎ ‎122‎ ‎124‎ 物理 ‎79‎ ‎79‎ ‎77‎ ‎82‎ ‎83‎ 附．．‎ 已知该生物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；‎ 我们常用来刻画回归的效果，其中越接近于1，表示回归效果越好．求．‎ 已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）89分.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算、，求出回归系数、，写出回归方程；‎ 利用回归方程计算y对应值，求出相关系数的值；‎ 利用回归方程计算时的值即可．‎ ‎【详解】解：计算，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ 所以y关于x的线性回归方程是；‎ 由题意，填表得 y ‎79‎ ‎79‎ ‎77‎ ‎82‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎83‎ 计算相关系数；‎ 所以接近于1，表示回归效果越好；‎ 第6次考试该生的数学成绩达到132，计算，‎ 预测他的物理成绩为89分．‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．‎ ‎15.如图，椭圆，抛物线，过上一点异于原点作的切线l交于A，B两点，切线l交x轴于点Q．‎ 若点P的横坐标为1，且，求p的值．‎ 求的面积的最大值，并求证当面积取最大值时，对任意的，直线l均与一个定椭圆相切．‎ ‎【答案】（1）6；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设计算出AQ，BQ的长度代入条件计算出p值；‎ 设则令，则l：表示出的面积，求出其最大值，验证直线l与椭圆相切；‎ ‎【详解】解：点，由对称性不妨设．‎ 于是，于是所以点Q是的左焦点．‎ 设焦准距为．‎ 类比抛物线的焦半径算法可得．‎ 于是，于是，所以．‎ 设于l：．‎ 于是令，则l：．‎ 联立．‎ 设，．‎ ‎．‎ 当且仅当取等，且满足所以的面积的最大值为．‎ 注意到即为这个等式类似于；‎ 于是猜想椭圆联立 得：；‎ ‎ ；‎ 故当面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆相切．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．‎