高考数学复习专题练习第2讲 一元二次不等式及其解法

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高考数学复习专题练习第2讲 一元二次不等式及其解法

第2讲 一元二次不等式及其解法 一、选择题 ‎1.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,则(  )‎ A.-1<a<1 B.0<a<2‎ C.-<a< D.-<a< 解析 (x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x成立.‎ ‎∴x2-x-a2+a+1>0恒成立,‎ ‎∴Δ=1-4(-a2+a+1)<0,∴-<a<.‎ 答案 C[来源:学科网]‎ ‎2.已知不等式ax2+bx+1≥0的解集为{x|-5≤x≤1},则a+b等于(  )‎ A.1 B.-1‎ C.2 D.-2‎ 解析 由题意得:a<0且-5+1=-,‎ ‎-5×1=,‎ ‎∴a=-,b=-,∴a+b=-1.‎ 答案 B ‎3.不等式3x2-2x-1<0成立的一个必要不充分条件是(  )‎ A.      B.∪(1,+∞)‎ C. D.(-1,1)‎ 解析 由3x2-2x-1<0解得-<x<1,而(-1,1),所以(-1,1)是3x2-2x-1<0成立的一个必要不充分条件.‎ 答案 D ‎4.不等式(x2-2)log2x>0的解集是 (  ).‎ A.(0,1)∪(,+∞) B.(-,1)∪(,+∞)‎ C.(,+∞) D.(-,)‎ 解析 原不等式等价于或 ‎∴x>或01的解集为 (  ).                  ‎ A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞)‎ C.(-1,0) D.(0,1)‎ 解析 ∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-‎4a=a2+4>0,‎ ‎∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点,‎ 又f(x)在(-2,-1)上有一个零点,则f(-2)f(-1)<0,‎ ‎∴(‎6a+5)(‎2a+3)<0,∴-1即为-x2-x>0,‎ 解得-10对x∈R恒成立,则关于t的不等式a2t+10对x∈R恒成立,‎ 则Δ=‎4a2-‎4a<0,所以0t2+2t-3>0,‎ 即所以10的解集为,则不等式-cx2+2x-a ‎>0的解集为________.‎ 解析 由ax2+2x+c>0的解集为知a<0,且-,为方程ax2+2x+c=0的两个根,由根与系数的关系得-+=-,-×=,解得a=-12,c=2,∴-cx2+2x-a>0,即2x2-2x-12<0,其解集为(-2,3).‎ 答案 (-2,3)‎ ‎8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是________.‎ 解析 七月份:500(1+x%)+500(1+x%)2.‎ 所以一至十月份的销售总额为:‎ ‎3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,‎ ‎∴xmin=20.‎ 答案 20‎ ‎9.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是________.‎ 解析 依题意,f(x)的对称轴为x=1,且开口向下,‎ ‎∴当x∈[-1,1]时,f(x)是增函数.‎ 若f(x)>0恒成立,则f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1>0,即b2-b-2>0,∴(b-2)(b+1)>0,∴b>2或b<-1.‎ 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)‎ ‎10.设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________.‎ 解析 显然a=1不能使原不等式对x>0恒成立,故a≠1且当x1=,a≠1时原不等式成立.对于x2-ax-1=0,设其两根为x2,x3,且x20.当x>0时,原不等式恒成立,故x1=满足方程x2-ax-1=0,代入解得a=或a=0(舍去).‎ 答案  三、解答题 ‎11.已知a=(1,x),b=(x2+x,-x),m为实数,求使m(a·b)2-(m+1)a·b+1<0成立的x的范围.‎ 解 ∵a·b=x2+x-x2=x,‎ ‎∴m(a·b)2-(m+1)a·b+1<0⇔mx2-(m+1)x+1<0.‎ ‎(1)当m=0时,不等式等价于x>1;‎ ‎(2)当m≠0时,不等式等价于m(x-1)<0‎ ‎①m<0时,不等式等价于x>1或x<;‎ ‎②0<m<1时,不等式等价于1<x<;‎ ‎③m=1时,不等式等价于x∈∅;‎ ‎④m>1时,不等式等价于<x<1.‎ 综上所述,原不等式成立的x的范围为:‎ 当m<0时是;‎ 当m=0时是{x|x>1};‎ 当0<m<1时是;‎ 当m=1时是∅;[来源:学+科+网]‎ 当m>1时是.‎ ‎12.已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x∈R).‎ ‎(1)当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?‎ ‎(2)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m的取值范围.‎ 解 (1)根据题意,m≠1且Δ>0,‎ 即Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>0,得m2>0,‎ 所以m≠1且m≠0.‎ ‎(2)在m≠0且m≠1的条件下, 因为+==m-2,‎ 所以+=2- ‎=(m-2)2+2(m-1)≤2.‎ 得m2-‎2m≤0,所以0≤m≤2.‎ 所以m的取值范围是{m|00的解集;‎ ‎(2)若a>0,且00,即a(x+1)(x-2)>0.‎ 当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-10,且00.‎ ‎∴f(x)-m<0,即f(x)
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