数学理卷·2019届辽宁省大连市普兰店区第二中学高二上学期竞赛(期中考试)(2017-11)

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数学理卷·2019届辽宁省大连市普兰店区第二中学高二上学期竞赛(期中考试)(2017-11)

大连市普兰店区第二中学2017—2018学年上学期竞赛试卷 高二数学(理科)试卷 总分:150分 时间:120分钟 ‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。‎ ‎1、设集合,若,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、设,则“是“”的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4、将的图象向左平移个单位,则所得图象的函数解析式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、设点是所在平面内一点,且,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设,若是的等比中项,则的最小值为( )‎ A. 8 B. C. 4 D. 1‎ ‎7、若,则( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎8、下面程序执行后输出的结果是( )‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎9、在棱长为的正方体中随机地取一点P,则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为 (  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、若偶函数在上单调递增, ,则满足( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知函数,,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )‎ ‎ A B C. D. ‎ ‎12、数列满足,则数列的前60项和为( )‎ A 3690 B ‎3660 C 1845 D 1830‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13、已知是夹角为的两个单位向量,,,若,则的值为 。‎ ‎14、已知实数 满足,则的最小值为_______________。‎ ‎15、在中,内角的对边分别为,且满足,则的取值范围为______________。‎ ‎16、已知函数,其中,若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是______________。‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17、(本小题12分)‎ 已知.‎ ‎(1)求的单调递增区间;‎ ‎(2)在中, , ,若的最大值为,求的面积.‎ ‎18、(本小题10分)‎ 已知函数,.‎ ‎(1)若,求不等式的解集;‎ ‎(2)若对任意的,都有,使得成立,求实数的取值范围。‎ ‎19、(本小题12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,‎ 平面,已知AE=DE=2,为线段的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求四棱锥的体积.‎ ‎20、(本小题12分)‎ 数列的前项和为,已知, ,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和。‎ ‎21、(本小题12分)‎ 已知函数 ‎(1)判断函数的奇偶性并给出证明;‎ ‎(2)对于,恒成立,求实数的取值范围。‎ ‎22、(本小题12分)‎ 已知圆C:,一动直线过A(-1,0)与圆C相交于P、Q两点,M是PQ中点,直线与直线:相交于N.‎ ‎(1)求证:当与垂直时,必过圆心C;‎ ‎(2)当PQ=2时,求直线的方程;‎ ‎(3)探索·是否与直线的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.‎ 高二数学(理科)竞赛答案 选择题:CDBBA、C DAAC、BD 填空题:13、 14、 15、 16、‎ ‎17、试题解析:(1) ,‎ 当时,得 ‎∴的单调递增区间为, ‎ ‎(2)∵,由正弦定理得,‎ ‎∵的最大值为∴, ‎ ‎∴, 又∴‎ 在中,由余弦定理得: ∴‎ ‎∴的面积 ‎18、(1) (2)‎ ‎19、‎ ‎1)连结BD和AC交于,连结,‎ ABCD为正方形,为中点,为中点,‎ ‎,‎ 平面,平面ACF 平面.‎ ‎(2)‎ 四棱锥的体积 ‎20、(1) (2)‎ ‎21、(1)奇函数(2)‎ ‎22、(1)证明:∵l与m垂直,且km=-,‎ ‎∴kl=3.又kAC=3,所以当l与m垂直时,l的方程为y=3(x+1),l必过圆心C.‎ ‎(2)解:①当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意.②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.因为PQ=2,所以CM==1,则由CM==1,得k=,∴直线l:4x-3y+4=0.从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.‎ ‎(3)解:∵CM⊥MN,∴·=(+)·=·+·=·.‎ ‎①当l与x轴垂直时,易得N,则=.又=(1,3),∴·=·=-5;②当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),则由 得N,则=.‎ ‎∴·=·==-5.‎ 综上,·与直线l的斜率无关,且·=-5.‎ 另解:连结CA并延长交m于点B,连结CM,CN,由题意知AC⊥m,又CM⊥l,∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上,由相交弦定理,得·=-|AM|·|AN|=-|AC|·|AB|=-5.‎
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