湖北省襄州四校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

湖北省襄州四校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

‎2019-2020学年湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设集合3，4，5，，，则 A. B. C. 3， D. 3，4，‎ 2. 已知，为第三象限角，则 A. B. C. D. ‎ 3. 设等差数列的前n项和为，若，，则 A. 8 B. ‎9 ‎C. 10 D. 11‎ 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是 A. B. C. D. ‎ 5. 函数的图象是    ‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知等比数列的各项均为正数，若，则     ‎ A. 1 B. ‎3 ‎C. 6 D. 9‎ 7. 己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则 A. B. C. D. ‎ 8. 函数的图象可由的图象如何得到 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 9. 已知函数，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 10. 下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．其中错误的个数是 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 11. 设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为 A. B. C. 3 D. 8‎ 12. 某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论： 函数在上单调递减，在上单调递增； 点是函数图象的一个对称中心；函数图象关于直线对称； 存在常数，使对一切实数x均成立，其中正确命题的个数是 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为______．‎ 14. 已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则______．‎ 15. 设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_________．‎ 16. 己知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围． ‎ 2. 已知函数． 求在区间上的最大值和最小值； 若，求的值． ‎ 3. 已知数列是递增的等差数列，，是方程的根． 求数列的通项公式； 求数列的前n项和． ‎ 4. 中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． 求年利润万元关于年产量台的函数关系式； 当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ ‎ 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． 求A和B的大小； 若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数． 当时，求函数的最小值； 若时，，求实数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， 所以， 故选：A． 先对集合B化简，再求交集． 考查集合的交集运算，基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， 即，为第三象限角， ， 则， 故选：A． 已知等式利用诱导公式化简求出的值，根据为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出的值． 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】 解：设等差数列的公差为d，，， ，， 联立解得：，． 则． 故选：B． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：因为A的定义域为，不是偶函数，故A错误． 因为在单调递减，lnx在单调递增，由复合函数的性质可知，在单调递减，故B错． 由的图象知在不单调，故C错， 故选：C． 用偶函数和增函数的性质判断． 本题考察了函数的基本性质，属于基础题目． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的．由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的． 【解答】 解：，即  由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分， 考察四个选项，只有A选项符合题意，  故选A． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查等差数列的性质，对数的运算法则，属于基础题． 由题意利用等差数列的性质，对数的运算法则，求得的值． 【解答】 解：因为等比数列的各项均为正数，且， 即，所以， 所以，所以， 故选：D． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意得： 对任意，， 在上为减函数； 函数是偶函数 关于y轴对称； ， 故选：C． 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，再比较大小，即可得到结论． 本题考查函数的基本性质，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：， ， 即的图象可由的图象向右平移个单位得到， 故选：D． 利用三角函数的诱导公式进行化简，结合三角函数的图象变换关系进行判断即可． 本题主要考查三角函数的图象变换关系，利用诱导公式进行化简，结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：当时，只有一个零点， 在时，与x轴只有一个交点， 由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移， 右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下： ‎ ‎ 结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意， 而红线与y轴的焦点坐标为，且只需，即即可， 故选：B． 分段讨论零点，当时，只有一个零点，在时，与x轴只有一个交点，结合指数函数的图象即可求解a的取值范围． 本题考查根的存在性以及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由，得的最大值为，故错误； “，”的否定是“”，故正确； 为锐角三角形，，则， 在上是增函数，，同理可得，， ，故正确； ，函数的零点是a，0，结合二次函数的对称轴， 可得函数在区间内单调递增； 若函数在区间内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得，， “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件，故正确． 其中错误的个数是1． 故选：A． 由二倍角的正弦公式和正弦函数的值域判断；写出全称命题的否定判断；由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性，结合诱导公式可判断；由二次函数的图象和性质，结合充分必要条件的定义可判断． 本题考查命题的真假判断，考查三角函数的图象和性质，以及充分必要条件的判断，是中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根， 即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点， 由题意可得：或， 即或； 化简得， 在直角坐标系mok 中作出满足不等式平面区域， 如图所示，设，则直线经过图中的阴影中的整点时， 取得最小值，即． 故选：C． 本题为一元二次方程的实根分布问题，根据一元二次函数的图象依次根据开口方向，对称轴，判别式，区间端点列出不等式，并化简不等式，得到m、k满足的条件，这个条件结合，所求的最小值为线性规划问题，数形结合解这个线性规划问题即可． 本题是一元二次方程实根分布问题和线性规划问题的结合，运用数形结合思想，是中档题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，，当时，， 在上单调递增，又， 是偶函数，因此在上为减函数，故正确； ，，，故点不是函数图象的一个对称中心，故错误； ， ，若， 则恒成立即，不满足对任意恒成立，函数图象关于直线对称错误，故错误； 取即可说明结论是正确的，故正确． 正确命题的个数是2． 故选：B． 判断函数的奇偶性，再由导数研究单调性判断正误； 找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误； 说明不恒成立，判断错误； 找出一个常数M，使对一切实数x均成立即可． 本题考查三角函数的基本性质，考查函数的对称性与最值，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 13.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：函数是幂函数， 则，即， 解得或； 当时，，函数是上的减函数，满足题意； 当时，，函数不是上的减函数，不满足题意； 所以m的值为2． 故答案为：2． 根据函数是幂函数列方程求得m的值， 再讨论是否满足是上的减函数． 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：因为在R上的奇函数，当时，，，， ； 所以答案为：2． 利用函数的性质，奇函数的定义，逐层从里面脱括号即可得到答案． 考查函数的奇函数性质，属于简单题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的性质，考查函数的恒成立问题，属于中档题． 由对于任意的，总存在，使得，想到恒成立，将存在性问题转化为恒成立问题，再利用导数求函数在上的最值即可． 【解答】 解：，， 对于任意的，当时，，当时，，  即在上为减函数，在上为增函数． 为在上的极小值点，也是最小值点，且最小值为， 对于任意的，， 而总存在，使得， ， 时，，不合题意， 时，，此时，不合题意， 时，， ，，， 故答案为：． 16.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：由题意画出图象如下： 根据题意，很明显，在D点处，直线与函数的图象相切，D点即为切点． 则有，在点D处，，而， 且， ． ． 故答案为：1． 本题先要根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果． 本题主要考查数形结合法的具体应用，以及直线与曲线相切的概念，并运用导数进行计算和三角函数计算的能力．本题属中档题． 17.【答案】解：命题为真命题，为假命题； ，q一真一假． 命题p：实数a满足：的定义域为R； 则恒成立，即，； 故p：； 命题q：函数在上单调递减；； ，故q：； 若p真q假，则，解得； 若p假q 真，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是． ‎ ‎【解析】根据命题为真命题，为假命题，则p，q一真一假．先得出p，q的等价不等式，然后分p真q假和p假q真两种情况讨论，得出结果即可． 本题考查了函数的单调性、不等式恒成立问题等价转化方法、复合命题的真假判断方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 18.【答案】解： ． ，， ，则，； 由，得， ． ． ‎ ‎【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积． 由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求； 由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值． 本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题． 19.【答案】解：数列是递增的等差数列，设公差为d，，是方程的根， 可得，， 则，， 解得，， 则； ， 则前n项和 ． ‎ ‎【解析】由二次方程的解法可得，，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求通项公式； 求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 本题考查等差数列的通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题． 20.【答案】解：设利润为y万元，由题得， 当时，； 当时，， 则； 由得，当时，，所以时y取最大值为1100万元； 当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元， 综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元． ‎ ‎【解析】根据条件，利润y为分段函数，分别表示即可； 分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可． 本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最值等知识点，属于中档题． 21.‎ ‎【答案】解：， 由正弦定理得：， ，， 可得，即； ， ， 由． 由余弦定理可得：， ， ． 设，， 在中由正弦定理，得， 由可知，， 所以：， 同理， 由于， 故，此时． 故的面积的最小值为． ‎ ‎【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小． 利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值． 本题考查了正弦，余弦定理，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.【答案】解：当时，函数的解析式为，则：， 时函数在上单调递增，在区间单调递减， 函数的最小值为：． 若时，，即 令，则； 令，则； 函数在区间上单调递增，． 若，则，即， 函数在区间上单调递增，． 式成立． 若，则． ． 故，使得． 则当时，． 即． 函数在区间上单调递减； ，即式不恒成立． 综上所述：实数a的取值范围是． ‎ ‎【解析】当时，代入解析式，求导判断函数的单调性，求出的最小值即可． 若时，，即，构造函数，讨论的单调性，求出使得的最小值大于等于零的a的取值范围即可． 本题考查了函数的单调性与最值，渗透了构造函数思想，转化思想，及分类讨论的思想方法，属于难题． ‎