第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案

第29届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案

29 届全国中学生物理竞赛决赛试题 panxinw 整理 一、 (15 分) 如图，竖直的光滑墙面上有 A和 B 两个钉子，二者处于同一水平高度，间距为 l ，有一原长为 l 、劲度 系数为 k 的轻橡皮筋，一端由 A 钉固定，另一端系有一质量为 m= g kl 4 的小 球，其中 g 为重力加速度．钉子和小球都可视为质点，小球和任何物体碰 撞都是完全非弹性碰撞而且不发生粘连．现将小球水平向右拉伸到与 A 钉 距离为 2 l 的 C点， B 钉恰好处于橡皮筋下面并始终与之光滑接触．初始时 刻小球获得大小为 20 glv 、方向竖直向下的速度，试确定此后小球沿 竖直方向的速度为零的时刻． 二、 (20 分) 如图所示，三个质量均为 m的小球固定于由刚性轻质杆构成的丁字形架的三个顶点 A、B 和 C 处． AD ⊥BC，且 AD=BD=CD=a，小球可视为质点，整个杆球体系置于水平桌面上，三个小球和桌面接触，轻质杆架 悬空．桌面和三小球之间的静摩擦和滑动摩擦因数均为μ，在 AD杆上距 A 点 a／4 和 3a／4 两处分别施加一垂直于此杆的推力，且两推力大小相等、方向相反． 1 ．试论证在上述推力作用下， 杆球体系处于由静止转变为运动的临界状态时， 三球所受桌面的摩擦力都达到最大静摩擦力； 2 ．如果在 AD杆上有一转轴， 随推力由零逐渐增加，整个装置将从静止开始绕 该转轴转动．问转轴在 AD杆上什么位置时，推动该体系所需的推力最小，并求出 该推力的大小． 三、 (20 分) 不光滑水平地面上有一质量为 m的刚性柱体， 两者之间的摩擦因数记为μ． 柱体 正视图如图所示， 正视图下部为一高度为 h 的矩形，上部为一半径为 R的半圆形．柱 体上表面静置一质量同为 m 的均匀柔软的链条，链条两端距地面的高度均为 h／2， 链条和柱体表面始终光滑接触．初始时， 链条受到微小扰动而沿柱体右侧面下滑． 试 求在链条开始下滑直至其右端接触地面之前的过程中， 当题中所给参数满足什么关系 时， 1 ．柱体能在地面上滑动； 2 ．柱体能向一侧倾倒； 3 ．在前两条件满足的情形下，柱体滑动先于倾倒发生． 四、 (20 分) 如图所示，在一光滑水平圆桌面上有两个质量、电荷都均匀分布的介质球，两球半径均为 a，A 球质 量为 m，所带电荷量为 Q，B 球质量为 4m，所带电荷量为 -4Q．在初始时刻，两球球心距为 4a，各有一定的 初速度，以使得两球在以后的运动过程中不发生碰撞，且都不会从圆桌面掉落．现要求在此前提下尽量减 小桌面面积，试求 1 ．两球初速度的方向和大小； 2 ．圆桌面的最小半径． 假设两球在运动过程中， 其所带电荷量始终保持均匀分 布：桌面也不发生极化效应． 已知两个均匀带电球之间的静 电相互作用力， 等于电荷集中在球心的两个点电荷之间的相 互作用力；静电力常量为 ke． 五、 (20 分) 如图所示，一半径为 R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固定轴无摩擦地自由 转动．一半径为 a 的轻质小圆线圈 (a<>a) 产生的磁场的磁感应强度的大小为 B= 3 22 r Iakm ，式中 k m为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时， 磁场方向垂直于圆盘平面且竖直向上．静电力常量为 k e． 六、 (15 分) 如图，一水平放置的刚性密闭气缸，缸壁是绝热的，活塞把气缸内空 间分为两个体积相同的密闭室 A和 B．活塞由一层热容量很小 ( 略去其影 响) 、导热良好的材料 ( 与气缸壁有摩擦 ) 和一薄层绝热材料 ( 与气缸壁没 有摩擦 ) 压制而成，绝热层在 A 室一侧．初始时， A 室和 B 室充有绝对温 度均为 T0 的同种多原子分子理想气体， A室气体压强是 B 室气体压强的 4 倍．现释放活塞，活塞由于其导热部分与汽缸壁之间存在摩擦而运动缓 慢，最后停止在平衡位置 ( 此时活塞与缸壁间无静摩擦 ) ． 已知气缸中的气体具有如下特性： 在温度高于某个临界温度 Td(>T0 ) 时，部分多原子气体分子将发生分解，一个多原子分子可以分解为另外两个相同的多原子分子．被分解的 气体摩尔数与发生分解前气体总摩尔数之比 a 满足关系 a= )( dTT ，其中β =．分解过程是可逆的，分 解 1 摩尔分子所需能量φ =CT0／l0 ，1 摩尔气体的内能与绝对温度 T 的关系为 u=CT(C 是与气体的种类无关 的常量 ) ．已知当压强为 P、体积为 V的这种气体绝热缓慢膨胀时， PVγ=常量，其中γ =4／3． 1 ．对于具有上述特性的某种气体，若实验测得在上述过程结束时没有任何分子发生了分解，求这种分 子发生分解的临界温度 Td 的可能值； 2 ．对于具有上述特性的另一种气体，若实验测得在上述过程结束时有 a=％的分子分解了，求这种分子 发生分解的临界温度 Td． 七、 (15 分) 如图一所示的光学系统是由平行光管、 载物台和望远镜组成． 已知望远镜物镜 L0 的焦距为． 在 L0 的焦 平面 P 处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物，如图二所示．在载物台上放置双面平行的平面镜 M， 通过望远镜的目镜 Le 观察时， 能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过 L0 折射、 M反射、 再 经 L0 折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于 A 点，与上十字叉丝线的距离为．绕载物台转轴 ( 沿竖 直方向 ) 转动载物台，使平面镜转 l80 °，此时十字像位于 B 点，与上十字叉丝线的距离为．根据以上情况 和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为 rad ；据此结果，调节望返镜，使其光轴 与载物台的转轴垂直． 平行光管是由十字缝 S 和凸透镜 L 组成．去掉光学系统中的平面镜 M，并用钠光灯照亮 S．沿水平方 向移动 S，当 S到平行光管中的透镜 L 距离为时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划 板中心十字叉丝线上，由此可以推知， L 的焦距等于 cm ． 将载物台平面调至与载物台的转轴垂直， 在载物台上放置长、 宽、 高均为、 折射率为的分束棱镜 abed( 分 束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又能反光 ) 和待测凹球面镜 0，0 到 L 的距离为，并 保证分束棱镜的 ab 面与图三中的 XX′轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的 XX′轴重合；再将望远镜绕载 物台的中心轴转 90°，如图三所示。向右移动 S，当 S移动的距离为时，通过望远镜目镜刚好能看清楚十 字缝 S 的像成在分划板中心十字叉丝线上．试求凹球面镜的曲率半径． 八、 (15 分) 在处理微观物理问题时，经常接触到诸如电子质量 me、质子电荷量 e 及普朗克常量 h 等基本物理常量．在 国际单位制中，这些物理常量的数值都很小，给相关的数值计算带来不便．为了方便起见，在微观物理领 域引入所谓 “原子单位制” ，规定电子质量为质量单位， )2/( h 为角动量单位， 质子电荷量的 ek 倍 为电荷量单位，其中常数 ke 和国际单位制中的静电力常量取值相同．按如上定义规定了质量、电荷量和角 动量的基本单位后， 在 “原子单位制” 中其它物理量的单位可用相关物理公式导出． 如果在 “原子单位制” 下，长度、时间和能量的单位用符号 Lau、Tau 和 Eau 表示，试从玻尔氢原子模型推出三者分别与米、秒 和焦耳的换算关系．结果用 ke、me、e 和 等常量表示．