甘肃省武威市第六中学2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题 含解析

甘肃省武威市第六中学2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题 含解析

武威六中 2019-2020 学年度第一学期第二次学段考试 高一数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】 ，则 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：设圆柱底面积半径为 r，则高为 2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2 这个圆柱全面积与侧面积的比为 ,故选 A 3.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 { }1,0,1,2,3U = − { }0,1,2A = { }1,0,1B = − U A B = { }1− { }0,1 { }1,2,3− { }1,0,1,3− ={ 1,3}UC A − ( ) { 1}UC A B = − 1 2 2 π π + 1 4 4 π π + 1 2π π + 1 4 2 π π + 1 2 2 π π + 2 1 2 3 2 xy x x −= − − ( ,1]−∞ 1 1, ,12 2    −∞ − ∪ −       ( ,2]−∞ 1 1, ,12 2    −∞ − −       根据分式的性质和二次根式性质求解即可 【详解】要使函数有意义，则应满足 ，解得 故选：D 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题 4.函数 的零点所在区间为（ ） A. （-1,0） B. （0,1） C. （1,2） D. （2,3） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，求得 ，根据函数的零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，函数 ， 可得 ，所以 ， 根据函数的零点的存在定理，可得函数 在区间 内有零点. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记函数的零点的存在定理是解答 的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5. 如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ） ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A. ④③② B. ②①③ C. ①②③ D. ③②④ 【答案】A 【解析】 试题分析：由三视图能判断甲是圆柱，乙是三棱锥，丙是圆锥. 2 1 0 2 3 2 0 x x x − ≥  − − ≠ 1 1, ,12 2x    ∈ −∞ − −       ( ) 2 xf x x e= − − + ( ) ( )0 1 0f f⋅ < ( ) 2 xf x x e= − − + 0 10,(0) 0 2 ( ) 2 01 1f e f e= − − + = − − +< > ( ) ( )0 1 0f f⋅ < ( )f x (0,1) 考点：空间几何体的三视图. 6.已知函数 则 的值是(　　) A. 0 B. 1 C. D. － 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定函数自变量 取值范围再代入分段函数解析式求解. 详解】∵ . ∴ ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 7.已知 ， ， ，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由指数函数 性质求得 ， ，再由对数函数的性质求得 ，即可得 到答案. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得 ， ， 由对数函数的性质，可得 ， 所以 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数 的 【 的 2log , 1,( ) (2 ),0 1, x xf x f x x =  < <  2 2f       1 2 1 2 2log , 1 2( ) ,0 1(2 ),0 1 2 x xf x f x x = < < < <  2 2 1( 2) log 22 2f f   = = =    20.3a = 0.32b = 1 2 log 2c = , ,a b c c b a> > c a b> > b a c> > a b c> > (0,1)a∈ (1, )b∈ +∞ 1c = − 20.3 (0,1)a = ∈ 0.32 (1, )b ∈ +∞= 1 2 log 2 1c = = − b a c> > 的图象与性质，求得 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基 础题. 8.已知奇函数 的定义域为 ，当 时， ，则函 数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 当 时,将函数写为分段函数形式得, ,即可得到 的图 象,再利用函数是奇函数得到另一半的图象即可 【详解】由题,当 时, 在 上单调递减,且当 时,函数的变化越来越平缓，图象为向上凸； 在 上单调递增,且当 时,函数的变化越来越平缓, 图象为向上凸； , ,a b c ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 0x > ( ) ln(| 1| 1)f x x= − + ( )f x 0x > ( ) ln , 1( ) ln 2 ,0 1 x xf x x x ≥=  − < < 0x > 0x > ( ) ( ) ( ) ln , 1ln[ 1 1], 1( ) ln 2 ,0 1ln[ 1 1],0 1 x xx xf x x xx x  ≥− + ≥ = =  − < <− + < <  ( )f x∴ ( )0,1 0x → [ )1,+∞ x → +∞ 又 是奇函数,关于原点对称, 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查分段函数,考查对数函数的图象 9.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为（ ） A. （1，+ ） B. （- ， ］ C. （ ，+ ） D. （- ， ］ 【答案】A 【解析】 ，所以当 时， 当 时， ，即递减区间为（1，+ ），选 A. 点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2) 图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集： 二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利 用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调 性. 10.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c ）为( ) A. 48+12 B. 48+24 C. 36+12 D. 36+24  ( )f x 1 2 ∞ ∞ 3 4 1 2 ∞ ∞ 1 2 2 1 2 log , 2 3 1 0y u u x x= = − + > 1 2x < ( ) , ( ) ( )u x y u y x⇒   1x > ( ) , ( ) ( )u x y u y x  ⇒ ∞ 2m 2 2 2 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其底面是腰长为 6 的等腰直角三角形，顶 点在底面的投影是斜边的中点，由底面是腰长为 6 的等腰直角三角形知其底面积是 ×6×6=18，又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是 3，棱锥高为 4，， 所以三个侧 面中与底面垂直的侧面三角形高是 4，底面边长为 6 ，其余两个侧面的斜高 5，故三个 侧面中与底面垂直的三角形的面积为， ×4×6 =12 另两个侧面三角形的面积都是 ×6×5=15，故此几何体的全面积是 18+2×15+12=48+12 故选 A 点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查 三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求 表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主 视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中， 应予以重视 【此处有视频，请去附件查看】 11.已知函数 （ 且 ）在 上单调递减，则 的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 4 3 3 , 0{ log 1 1, 0a x a x a xf x x x + − + <= + + ≥ 0a > 1a ≠ R a 3 ,14     30, 4      1 3,3 4      10, 3      试题分析：由于函数在 上单调递增，所以 ，解得 . 考点：函数的单调性. 12. 若直角坐标平面内的亮点 P，Q 满足条件： P，Q 都在函数 y=f(x)的图像上， P，Q 关于 原点对称，则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好 点对”)。 已知函数 ，则此函数的“友好点对”有( ) A. 0 对 B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对 【答案】C 【解析】 因为根据新定义可知，作图可知函数 ，则此函数的“友好点对”有 2 对，选 C 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知幂函数 的图象过点 ，则 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】 先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数 的解析式，再求 的值. 【详解】设 ，由于图象过点 , 得 ， ， ，故答案为 3. 【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握 与应用，属于基础题. R 4 3 02 { 1 3 1 a a a −− ≥ > ≥ 1 3,3 4a  ∈   2 2 log , 0( ) { 4 , 0 x xf x x x x >= − − ≤ 2 2 log ( 0)( ) { 4 ( 0) x xf x x x x >= − − ≤ ( )y f x= ( )2, 2 ( )9f = ( )y f x= ( )9f ( ) ay f x x= = ( )2, 2 12 2 , 2 a a= = ( ) 1 2y f x x∴ = = ( ) 1 29 9 3f∴ = = 14.函数 的图像必经过定点__________． 【答案】 【解析】 【分析】 令 代入函数解析式即可求解 【详解】令 ，解得 ，代入 得 ， 则函数 的图像必经过定点 故答案为： 【点睛】本题考查对数型函数过定点的求法，熟记 恒过定点 ， 再采用整体代换法求解对应对数型函数即可，如本题中令 ，属于基础题 15.方程 的解的个数为____________个． 【答案】 【解析】 【分析】 可采用数形结合法，先去绝对值，再画出函数图像，观察交点个数即可 【详解】 ， 令 ，画出函数图像，如图： ( )y log (2 1) 3 0, 1a x a a= − + > ≠ ( )1,3 2 1 1x − = 2 1 1x − = 1x = y log (2 1) 3a x= − + 3y = ( )y log (2 1) 3 0, 1a x a a= − + > ≠ ( )1,3 ( )1,3 ( ) ( )0, 1logag a ax x >= ≠ ( )1,0 2 1 1x − = 2 3log 2x x= − 2 ( ) ) 2 2 3 2 2 , 0, 2 log 2 2, 2, x x x x x x  − ∈= − =  − ∈ +∞  ( ) ( ) 2 3log , 2f x x g x x= = − 观察可知， 与 有两个交点，故方程 的解的个数为 2 个 故答案为：2 【点睛】本题考查方程零点个数的求解，数形结合思想与构造函数法的应用，属于中档题 16.若函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】 明确函数的奇偶性与单调性，化抽象不等式为具体不等式，解之即可. 【详解】函数 为奇函数，且在在 上单调递增， 则 可化为： 即 ∴ ， ∴ 或 ∴实数 的取值范围是 . 故答案为： 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是把抽象不等式转化为具体不等 式，属于基础题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 17.计算：（1） ； （2） . 【答案】(1) ；(2)4 【解析】 【分析】 ( )f x ( )g x 2 3log 2x x= − ( ) 3f x x x= + ( ) ( )22 0f a f a− + ≥ a ( ] [ ), 2 1,−∞ − +∞ ( ) 3f x x x= + ( ),−∞ +∞ ( ) ( )22 0f a f a− + ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2f a f a f a≥ − − = − 2 2a a≥ − 2 2 0a a+ − ≥ 2,a ≤ − 1a ≥ a ( ] [ ), 2 1,−∞ − +∞ ( ] [ ), 2 1,−∞ − +∞ 11 3 0 32 27 10(2 ) (2 3 ) (2 ) 0.259 27 π − −− − − + 2 2log 4 log 1 32 3 lg3 log 2 lg5+ − ⋅ − 95 12 （1）由实数指数幂的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案； （2）根据对数的运算性质，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得： 原式 . （2）根据对数 运算性质，可得： 原式 . 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简求值问题，其 中解答中熟记指数幂和度数的运算性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能 力，属于基础题. 18.设全集 ，集合 ， ． （1）求 ； （2）若函数 的定义域为集合 ，满足 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】 （1）先化简集合 ，再根据集合的交并补运算求解即可； （2）函数 定义域对应集合可化简为 ，又 ，故由 包含关系建立不等式即可求解； 【详解】（1）由题知， ， （2）函数 的定义域为集合 ， ， ， 的 【 1 11 3 1 3 2 3 23 32 2 2 225 64 1 5 4( ) 1 ( ) ( ) ( ) ] 1 [ 5 3 95( ) ] [(2) ]9 27 4 3 3[ 1 83 4 12 − −− −−= − − + − = − − + =− += 0 lg 24 3 lg3 lg5 4 1 (lg 2 lg5) 4lg3 = + − ⋅ − = + − + = U = R { }1 3A x x= − ≤ < { }2 4 2B x x x= − ≤ − ( )UA C B∩ ( ) lg(2 )f x x a= + C A C⊆ a { }2 3x x< < ( )2,+∞ B ( ) lg(2 )f x x a= + 2 aC x x = > −   A C⊆ { }2B x x= ≤ { }2UC B x x∴ = > { }1 3A x x= − ≤ < ( ) { }2 3UA C B x x∴ ∩ = < < ( ) lg(2 )f x x a= + 2 aC x x = > −   A C⊆ 12 a∴− < − . 故实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算，由集合的包含关系求参数范围，属于基础题 19.如图所示，为一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆 ，问需要油漆多少千克？(尺寸如图所示，单位： ， 取 ，结果精确到 ) 【答案】需要油漆约 . 【解析】 【分析】 先由三视图确定建筑物为圆锥和长方体组合而成，需涂漆部分为圆锥的侧面，长方体的侧面， 圆锥的底面除去一个边长为 的正方形的剩余部分，结合线段关系和面积公式求解即可 【详解】油漆粉刷部位有三部分组成，一是圆锥的侧面(面积记为 )，二是长方体的侧面(面 积记为 )，三是圆锥的底面除去一个边长为 的正方形(面积记为 )， 则 ， ， 2a∴ > a ( )2,+∞ 0.2kg m π 3.14 0.01 kg 22.88kg 3 1S 2S 3 3S ( )2 1 3 5 15 mS π π= × × = ( )2 2 4 3 4 48 mS = × × = ( )2 2 3 3 3 3 9 9 mS π π= × − × = − 记油漆粉刷面积为 ，则 记油漆重量为 ,则 答：需要油漆约 【点睛】本题考查由三视图还原立体图形，实际问题中的表面积求法，属于中档题 20.某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为 和 （万元），它们与投入资金（万 元）的关系有经验公式 ， ．今将 120 万元资金投入 生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于 20 万元． （Ⅰ）设对乙产品投入资金 万元，求总利润 （万元）关于 的函数关系式及其定义 域； （Ⅱ）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）当对甲产品投入资金 84 万 元，对乙产品投入资金 万元时，所得总利润最大，最大利润为 71 万元. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题得 ，再求函数的定义域；（Ⅱ） 令 ， 则 ， 则 原 函 数 化 为 关 于 的 函 数 ： 再利用二次函数求最大利润. 【详解】(Ⅰ)对乙产品投入资金 万元，则对甲产品投入资 万元； 所以， ， 由 ，解得 ，所以其定义域为 . S ( )2 1 2 3 24 39 mS S S S π= + + = + ykg (24 39) 0.2 22.872y π= + × = 22.88kg≈ 22.88kg 1( )f x 2 ( )f x 1 1( ) 106 = +f x x 2 ( ) 2 35= +f x x x ( )W x x [ ]1( ) 2 65, 20,1006W x x x x= − + + ∈ ( ) ( ) ( )1 2 1120 2 656W x f x f x x x= − + =− + + t x= 2 5,10 ∈ t t 21 2 65, 2 5,106  = − + + ∈ y t t t x ( )120 x− ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1120 120 10 2 356W x f x f x x x= − + = − + + + ( ) 1 2 656W x x x= − + +即 20 120 120 20 120 x x ≤ − ≤  ≤ ≤ 20 100x≤ ≤ [ ]20,100 (Ⅱ)令 ，则 ，则原函数化为关于的函数 ： , 所以当 ，即 时， （万元）， 答：当对甲产品投入资金 84 万元，对乙产品投入资金 万元时，所得总利润最大，最大利 润为 71 万元. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法和定义域的求法，考查函数最值的计算和函数的应 用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21.已知函数 的最小值记为 . （1）求 解析式； （2）求 的最大值. 【答案】（1） ；（2）1. 【解析】 试题分析：（1）根据函数 的图象的对称轴 在所给区间 的左侧、中间、右 侧三种情况，分别求得 ，综合可得结论；（2）根据函数 的解析式，画出函数 的图象，数形结合求得函数 取得最大值. 试题解析：（1） ，函数图象对称轴为 ，当 时， 的最小值在 处取得 ；当 时， 的最小值在 处 取得 ，当 时， 的最小值在 处取得 综上， 。 t x= 2 5,10 ∈ t t 21 2 65, 2 5,106  = − + + ∈ y t t t ( )221 12 65 6 716 6y t t t∴ = − + + = − − + 6t = 36x = max 71y = [ ]2( ) 2 1 -1,1f x x ax= − + 在闭区间 ( )g a ( )g a ( )g a 2 2-2 , 1 ( ) 1- , 1 1 2+2 1 a a g a a a a a > = − ≤ ≤  < − ， ( )f x x a= [ ]-1,1 ( )g a ( )g a ( )g a ( )g a ( ) ( )2 21f x x a a= − + − x a= 1a > ( )f x 1x = ( ) ( )= 1 =2-2g a f a 1 1a− ≤ ≤ ( )f x x a= ( ) ( ) 2= =1-g a f a a 1a < − ( )f x 1x = − ( ) ( )= 1 =2+2g a f a− ( ) 2 2-2 , 1 1- , 1 1 2+2 1 a a g a a a a a > = − ≤ ≤  < − ， （2）根据 ，作出函数图像，如图 当 时， 的最大值为 1. 点睛：本题主要考查了二次函数的单调性及解关于分段函数对应的方程，较基础；对于含有 参数的一元二次函数，常见的讨论形式有：1、对二项式系数进行讨论，分为等于 0，大于 0，小于 0；2、对函数的对称轴和所给区间进行讨论；或者利用数形结合思想；解出分段函 数形式的方程，主要注意定义域. 22.已知定义域为 的函数 是奇函数. （1）求 ， 的值； （2）用定义法证明函数 在定义域的单调性； （3）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ， （2）证明见解析（3） 【解析】 【分析】 （1）根据奇函数性质由 ，可求得 ，再结合 ，令 可求得 ； （2）结合定义法证明即可； （3）由（2）得函数 为减函数，则 可转化为 ，即 ，变形成关于 的一元二次不 等式恒成立问题求解即可 【详解】 ，即 ，解得 ( ) 2 2-2 , 1 1- , 1 1 2+2 1 a a g a a a a a > = − ≤ ≤  < − ， 0a = ( )g a R 1 2( ) 2 x x bf x a+ − += + a b ( )f x ( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − < k 2a = 1b = 1, 3  −∞ −   ( )0 0f = b ( ) ( )f x f x− = − 1x = a ( )f x ( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − < ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2f t t f t k f k t− < − − = − 2 22 2t t t k− > − + t ( )0 0f∴ = 1 02 b a − + =+ 1b = 又 即 ，解得 （2）由（1）知， 设 ， 是 上任意两个实数，且 ，则 ， ， 又 ， 即 在 上是减函数 （3）由（2）， 为 上的减函数和奇函数 故不等式 可化为 ，即原问题转化为对任意的 有 恒成立， 实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求解具体的解析式，函数单调性的证明，由奇偶性和增减 性解不等式，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题 1 2 1( ) 2 x xf x a+ − +∴ = + (1) ( 1)= − −f f 2 1 12 1 2 2 1 − +− + = −+ +a a 2a = 1 2 1 1 1( ) 2 2 2 2 1 x x xf x + − += = − ++ + 1x 2x R 1 2x x< ( ) ( ) 1 21 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1x xf x f x− = − + + −+ + ( )( ) 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 x x x x −= + + 1 2x x< 1 22 2x x∴ < 2 12 2 0x x∴ − > ( )( )1 22 1 2 1 0x x+ + > ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x> 1 2 1( ) 2 2 x xf x + − +∴ = + R ( )f x R ( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − < ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2f t t f t k f k t− < − − = − 2 22 2t t t k∴ − > − + t R∈ 23 2 0t t k− − > 12 4 0k∴∆ = + < 1 3k∴ < − ∴ k 1, 3  −∞ −  