海南省海口市第一中学2020届高三9月月考数学试题（B卷）

海南省海口市第一中学2020届高三9月月考数学试题（B卷）

海口市一中2020届高三年级9月月考数学（B）卷试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 设集合A ={x|y=lg（x-3）}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B等于（　　）‎ A. B. R C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第三象限 D. 第二象限 3. 函数f（x）=的图象大致是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知a=，b=log2，c=，则（ ）‎ A. B. C. D. 5. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ t ‎4‎ ‎4.5‎ A. 3 B. C. D. 6. ‎（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（　　）‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 20 D. 35‎ 海口市一中2020届高三年级9月月考数学（B）卷试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 设集合A ={x|y=lg（x-3）}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∪B等于（　　）‎ A. B. R C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第三象限 D. 第二象限 3. 函数f（x）=的图象大致是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知a=，b=log2，c=，则（ ）‎ A. B. C. D. 5. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ t ‎4‎ ‎4.5‎ A. 3 B. C. D. 6. ‎（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（　　）‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 20 D. 35‎ 1. 若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是 A. 9 B. ‎4 ‎C. D. 2. f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R总有f（x +）=- f（x），则f（-）的值为（　　）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. 0 ‎ 3. 如图，已知△OAB，若点C满足，则=（  ）‎ A. B. C. D. 4. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ）‎ A. B. C. D. 5. 已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ 6. 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）的解集为（　　）‎ A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 7. 在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为______．‎ 1. 设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则__________‎ 2. 已知函数的零点的区间是，则的值为__________.‎ 3. 已知是公差不为零的等差数列，同时，，成等比数列，且，则______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 4. 设数列的前n项和为，，满足，，． 求证：数列为等比数列； 求数列的前n项和．‎ ‎ ‎ 5. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asinC－ccosA (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c. ‎ 1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值． ‎ 2. 某高中社团进行社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 完成以下问题： Ⅰ补全频率分布直方图并求n，a，p的值； Ⅱ从岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁的人数为X，求X的分布列和期望． ‎ 1. 已知函数f（x）=x•lnx． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax-1，求实数a的取值范围． ‎ 2. 如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．‎ ‎ ‎ 答案和解析 选择题 ABCDA BADCA BC 填空题 13. 14. ​ 15. 4 16. 28‎ 解答题 ‎17.（1）证明∵ ∴n()=2, ∴, ∴,, ∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列; (2)解：由（1）可知， ∴, ∴, ∴, 由错位相减得 ‎=, ∴. 18.解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC-ccosA. ​由正弦定理得， sinC=sinAsinC-sinCcosA，因为sinC≠0， 所以．即：， 由于：0＜A＜π，解得：A=． （2）因为△ABC的面积为，所以， 所以bc=4①， ​在△ABC中，应用余弦定理知， ‎ a2=b2+c2-2bccosA，所以b2+c2=8②； 联立①②两式可得，b=c=2．‎ ‎19.（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD， 又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD； ‎ ‎（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形， 在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a，则AD=． 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE， 以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则：D（），B（），P（0，0，），C（）． ，，． 设平面PBC的一个法向量为， 由，得，取y=1，得． ∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，． ∴cos＜＞==．由图可知，二面角A-PB-C为钝角， ∴二面角A-PB-C的余弦值为． 20.解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3， 所以高为． 频率直方图如下： ‎ ‎ 第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以． 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300， 所以． 第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150， 所以a=150×0.4=60． （Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值 为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人． 随机变量X服从超几何分布．，，，． 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ∴数学期望 ‎ ‎21.解：（Ⅰ）因为函数f（x）=xlnx， 所以，f'（1）=ln1+1=1． 又因为f（1）=0‎ ‎， 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1； （Ⅱ）函数f（x）=xlnx定义域为（0，+∞）， 由（Ⅰ）可知，f'（x）=lnx+1． 令f′（x）=0，解得． f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：‎ x f′（x）‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 减 极小值 增 所以f（x）的单调递增区间是，f（x）的单调递减区间是； （Ⅲ）当时，“f（x）≤ax-1”等价于“”． 令，， ，． 当时，g'（x）＜0，所以以g（x）在区间单调递减． 当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，所以g（x）在区间（1，e）单调递增． 而， ． 所以g（x）在区间上的最大值为． 所以当a≥e-1时，对于任意，都有f（x）≤ax-1． ‎ ‎22. （Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，且 ，‎ 解得 a2=4． 所以，椭圆C的方程是．‎ ‎（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4， 消去y，整理得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．‎ 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则 ，．①‎ 因为 BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在， 所以 ，整理得 x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0．②‎ 因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m， 所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③ 将③代入②，整理得．④‎ 将①代入④，整理得 5m2-2m-3=0．‎ 解得 ，或m=1（舍去）． 所以，直线PQ恒过定点．‎ 证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1． 将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得 （1+4k2）x2+8kx=0． 解得 x=0，或． 设 P（x1，y1），所以，， 所以 ．‎ 以替换点P坐标中的k，可得 ．‎ 从而，直线PQ的方程是 ． 依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．‎ 在上述方程中，令x=0，解得． 所以，直线PQ恒过定点．‎