2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若集合A={x|x2+5x+4＜0}，集合B={x|x＜﹣2}，则A∩（∁RB）等于（　　）‎ A. （﹣2，﹣1） B. [﹣2，4） C. [﹣2，﹣1） D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，∁RB=故A∩（∁RB）=[﹣2，﹣1）‎ ‎2．抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】先化为标准方程： 故焦点坐标为 ‎3．已知向量， ， ，若与共线，则的值为（　　）‎ A. 4 B. 8 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可知： =， =，因为共线故： ‎ ‎4．已知平面α∩平面β=m，直线l⊂α，则“l⊥m”是“l⊥β”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可知l⊥m只有一条线垂直故缺乏条件得出l⊥β，而l⊥β则垂直面内所有的线，因为，所以l⊥m故“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件 ‎5．已知函数的图象经过定点，若幂函数的图象过点，则的值等于 A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得函数过点M（4,2），又幂函数的图象过点，故的值等于 ‎6．几何体的三视图如图，则该几何体的体积是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据该三视图可知，该几何体由一个半球和一个半圆柱组合而成，故体积为： ‎ ‎7．设数列的前项和， （ ）‎ A. 124 B. 120 C. 128 D. 121‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时， ，当时， ， 不符合，则 ， ，选D.‎ ‎【点睛】已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，本题求和要注意首项不满足，数列从第二项开始成等差数列，从第二项以后利用等差数列前n项和公式求和，而第一项要要单独相加.‎ ‎8．双曲线离心率为，左右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的平分线为，点关于的对称点为,，则双曲线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得： 是线段的中垂线，则,则a=1，由离心率为，得c=，故，所以选C ‎9．已知， ，则的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由， ，得，而= ，由， ， ，故代入得原式=‎ 点睛：此题关键是要将问题简化，根据二倍角公式和和差公式将其同一角度化简，然后根据三角函数的计算关系及所给角度范围确定的值即可得出答案.‎ ‎10．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设 ‎,故选C.‎ ‎【考点】解三角形.‎ ‎11．已知在矩形中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P，使满足，则P点出现的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】依题意可得， 点在以为直径的圆内，如图 所以点出现的概率为，故选A ‎12．设椭圆 与直线 相交于， 两点，若在椭圆上存在点，使得直线， 斜率之积为 ，则椭圆离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，在直线MP,NP的斜率分别为： ，则，因为M,P在椭圆上代入椭圆得： ，两式相减可得： ，故离心率为： ‎ 点睛：本题根据题意要注意直线，故M,N两点具有对称性，然后射出坐标表示出MP,NP的斜率求出，从而得出结论 二、填空题 ‎13．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可知：A=1, ,将点代入f(x)得，将的图象向右平移个单位后得 ‎14．已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由题可得： ，故 ‎15．已知三棱锥中， ， ， ， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图：AD=2,AB=1, ,满足勾股定理，所以,因为， ，所以 ‎,故,所以CD是三棱锥的外接球的直径，因为AD=2,AC=,所以CD=,所以三棱锥的外接球表面积为 ‎16．函数，且， ，则 的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得： ，如图表示的可行域：则可得，又b=1,a=0成立，此时，可得 点睛：此题解题关键在于要能将其转化为线性规划的问题来理解，然后将目标函数变形整理为所熟悉的表达形式，从而轻松求解.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数（其中），若 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中角、、的对边分别是满足恰是的最大值，试判断的形状．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）等边三角形．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先用倍角与两角和与差的正弦公式化简函数表达式，然后根据对称轴离最近的对称中心的距离为 求得，从而求得 ，进而由正弦函数的图象与性质求得单调增区间；（Ⅱ）先用正弦定理将条件等式中的边化为角，求得角，从而得到角的范围，然后根据正弦函数的图象求得的最大值，从而求得角，进而判断出三角形的形状．试题分析：因为（Ⅰ）‎ 因为的对称轴离最近的对称中心的距离为 所以，所以，所以，所以 由，得 所以函数单调增区间为 ‎（Ⅱ）因为，‎ 由正弦定理，得，‎ 即，‎ 因为，所以，所以 所以，，．‎ 根据正弦函数的图象可以看出，无最小值，有最大值，‎ 此时，即，所以，‎ 所以为等边三角形 ‎【考点】1、三角函数的图象与性质；2二倍角；3、两角和与差的正弦；4、正弦定理．‎ ‎18．某高中有高一新生500名，分成水平相同的两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试 ‎（1）求该学校高一新生两类学生各多少人？‎ ‎（2）经过测试，得到以下三个数据图表：‎ 图1：75分以上两类参加测试学生成绩的茎叶图 图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图 下图表格：100名学生成绩分布表：‎ ‎①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；‎ ‎②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）A类学生200人，B类学生有300人；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知A类学生有（人）‎ 则B类学生有500－200=300（人）. ‎ ‎（2）①表一 图二 组号 分组 频数 频率 ‎1‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎2‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎4‎ ‎35‎ ‎0.35‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎0.10‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎②79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是，79分的学生为.‎ 从中抽取2人，有（12）、（13）、（1a）、（23）、（2a）、（3a）共6种抽法； ‎ 抽出2人均在80分以上有：（12）、（13）、（23）共3种抽法 则抽到2人均在80分以上的概率为 ‎ ‎19．已知数列的各项均为正数的等比数列，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足（n∈N），求设数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等比数列的定义和性质先求出首项和公比（2）根据第二问已知条件可知：数列满足，只需将原式退一项然后两式相减即可得， ，（） ，然后检验首项是否成立从而确定通项公式，在根据通项特点可知为错位相减法求和.‎ 解析：（1）设等比数列的公比为，由已知得 又∵，解得3分 ∴； ‎ ‎（2）由题意可得①‎ ‎ ②‎ 相减得， ，（） ‎ 当时， ，符合上式， ‎ 设 则，‎ 两式相减得： ‎ ‎∴．‎ 点睛：考察对等比数列的通项的求法的理解及求和中所用的一些技巧：例如错位相减法，裂项相消法，分组求和法都是必须要掌握的方法 ‎20．在如图所示的几何体中，正方形所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直， ，且， 是的中点．‎ ‎（1）求证： ∥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：证明线面平则只需在平面内找一线与之平行即可，通常找中位线和建立平行四边形来证明，本题中可以容易发现连接AE交BF于点N，连接MN，‎ 可证MN为中位线；（2）二面角的问题通常借助于空间坐标系来求解，本题中可建立如图的坐标系，然后求出各面的法向量，再根据向量的夹角公式即可得出结论 解析：（1）连接AE交BF于点N，连接MN．‎ 因为ABEF是正方形，所以N是AE的中点，‎ 又M是ED的中点，所以MN∥AD．‎ 因为AD⊄平面BFM，MN平面BFM，‎ 所以AD∥平面BFM．‎ ‎（2）因为ABEF是正方形，所以BE⊥AB，‎ 因为平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，‎ 所以BE⊥平面ABC，因为CD∥BE，所以取BC的中点O，‎ 连接OM，则OM⊥平面ABC，因为△ABC是正三角形，所以OA⊥BC，‎ 所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：‎ 设CD=1，则B（0，1，0），E（0，1，2），D（0，﹣1，1），‎ ‎，．‎ 设平面BMF的一个法向量为，‎ 则，所以，‎ 令，则z=﹣6，y=﹣9，所以．‎ 又因为是平面BME的法向量，‎ 所以．‎ 所以二面角E﹣BM﹣F的余弦值为．‎ ‎21．已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切．‎ ‎（1）求直线被圆所截得的弦的长；‎ ‎（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为求直线的方程；‎ ‎（3）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若为钝角，求直线 在轴上的截距的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）;（3），且.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设先求圆的半径和方程，再运用弦心距、半弦长、半径之间的关系进行分析求解；（2）依据题设条件构造圆以的方程，再运用两圆的相交弦所在直线即为所求；（3）依据题设条件借助题设条件“为钝角”建立不等式分析探求：‎ ‎（1）由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，‎ ‎，所以圆的标准方程为： ‎ 所以圆心到直线的距离 ‎ ‎ ‎ ‎（2）因为点,所以,‎ 所以以点为圆心，线段长为半径的圆方程： （1）‎ 又圆方程为： （2），由得直线方程： ‎ ‎（3）设直线的方程为： 联立得： ，‎ 设直线与圆的交点， ‎ 由，得， （3） ‎ 因为为钝角，所以,‎ 即满足，且与不是反向共线，‎ 又，所以 （4）‎ 由（3）（4）得，满足，即， ‎ 当与反向共线时，直线过原点，此时，不满足题意，‎ 故直线在轴上的截距的取值范围是，且 ‎22．已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线的方程为或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求点的坐标，再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值，从而可得抛物线C的方程；（2）由已知条件可知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的点参式方程：，代入消元得．设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长，同理可得的中点的坐标及的长．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，由此列方程可求得的值，进而可得直线的方程．‎ 试题解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则 ‎．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．‎ 由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．‎ ‎【考点】1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系．‎