【数学】2019届一轮复习人教A版计数原理、二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习人教A版计数原理、二项式定理学案

二项式定理 概　念　篇 ‎【例1】求二项式(a－2b)4的展开式.‎ 分析：直接利用二项式定理展开.‎ 解：根据二项式定理得(a－2b)4=Ca4+Ca3(－2b)+Ca2(－2b)2+Ca(－2b)3+C(－2b)4‎ ‎=a4－‎8a3b+‎24a2b2－32ab3+16b4.‎ 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b中的符号“－”忽略.‎ ‎【例2】展开(2x－)5.‎ 分析一：直接用二项式定理展开式.‎ 解法一：(2x－)5=C(2x)5+C(2x)4(－)+C(2x)3(－)2+C(2x)2(－)3+‎ C (2x)(－)4+C(－)5‎ ‎=32x5－120x2+－+－.‎ 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.‎ 解法二：(2x－)5=‎ ‎=［C(4x3)5+C(4x3)4(－3)+C(4x3)3(－3)2+C(4x3)2(－3)3+C(4x3)(－3)4+‎ C(－3)5］‎ ‎=(1024x15－3840x12+5760x9－4320x6+1620x3－243)‎ ‎=32x5－120x2+－+－.‎ 说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.‎ ‎【例3】在(x－)10的展开式中，x6的系数是 .‎ 解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C.‎ 解法二：(x－)10的展开式的通项是Tr+1=Cx10－r(－)r.‎ 令10－r=6，即r=4，由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=Cx6(－)4=‎9Cx6.‎ ‎∴x6的系数为‎9C.‎ 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？‎ 问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C.‎ 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.‎ 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.‎ ‎【例4】已知二项式(3－)10，‎ ‎(1)求其展开式第四项的二项式系数；‎ ‎(2)求其展开式第四项的系数；‎ ‎(3)求其第四项.‎ 分析：直接用二项式定理展开式.‎ 解：(3－)10的展开式的通项是Tr+1=C(3)10－r(－)r(r=0，1，…，10).‎ ‎(1)展开式的第4项的二项式系数为C=120.‎ ‎(2)展开式的第4项的系数为C37(－)3=－77760.‎ ‎(3)展开式的第4项为－77760()7，即－77760.‎ 说明：注意把(3－)10写成［3+(－)］10，从而凑成二项式定理的形式.‎ ‎【例5】求二项式(x2+)10的展开式中的常数项.‎ 分析：展开式中第r+1项为C(x2)10－r()r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0=1，x≠0.‎ 解：设第r+1项为常数项，则 Tr+1=C(x2)10－r()r=Cx()r(r=0，1，…，10)，令20－r=0，得r=8.‎ ‎∴T9=C()8=.‎ ‎∴第9项为常数项，其值为.‎ 说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.‎ ‎【例6】 (1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；‎ ‎(2)求(1－2x)7展开式中系数最大项.‎ 分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.‎ 解：(1)设第r+1项系数最大，则有 即 化简得又∵0≤r≤7，∴r=5.‎ ‎∴系数最大项为T6=C25x5=672x5.‎ ‎(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1－2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T5和T7两项系数的大小即可.=＞1，所以系数最大项为第五项，即T5=560x4.‎ 说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.‎ ‎【例7】 (1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.‎ 分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.‎ 解：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，依题意有C25=C26，解得n=8. (1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C(2x)4=1120x4.‎ 设第r+1项系数最大，则有 ‎∴5≤r≤6.∴r=5或r=6.‎ ‎∴系数最大的项为T6=1792x5，T7=1792x6.‎ 说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.‎ ‎(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.‎ 应　用　篇 ‎【例8】若n∈N*，(+1)n=an+bn(an、bn∈ )，则bn的值(　　)‎ A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.与bn的奇偶性相反 D.与a有相同的奇偶性 分析一：形如二项式定理可以展开后考查.‎ 解法一：由(+1)n=an+bn，知an+bn=(1+)n ‎=C+C+C()2+C()3+ … +C()n.‎ ‎∴bn=1+C()2+C()4+ …‎ ‎∴bn为奇数.‎ 答案：A 分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.‎ 解法二：n∈N*，取n=1时，(+1)1=(+1)，有b1=1为奇数.‎ 取n=2时，(+1)2=2+5，有b2=5为奇数.‎ 答案：A ‎【例9】若将(x+y+ )10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为(　　)‎ A.11 B‎.33 ‎ C.55 D.66‎ 分析：(x+y+ )10看作二项式展开.‎ 解：我们把x+y+ 看成(x+y)+ ，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x+y+ )10=‎ ‎=(x+y)10－ .‎ 这时，由于“和”中各项 的指数各不相同，因此再将各个二项式(x+y) 10－ 展开，不同的乘积C(x+y)10－ ( =0，1，…，10)展开后，都不会出现同类项.‎ 下面，再分别考虑每一个乘积C(x+y)10－ ( =0，1，…，10).‎ 其中每一个乘积展开后的项数由(x+y)10－ 决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+…+1=66.‎ 答案：D 说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.‎ ‎【例10】求(｜x｜+－2)3展开式中的常数项.‎ 分析：把原式变形为二项式定理标准形状.‎ 解：∵(｜x｜+－2)3=(－)6，‎ ‎∴展开式的通项是Tr+1=C()6－r(－)r=(－1)rC()6－2r.‎ 若Tr+1为常数项，则6－2r=0，r=3.‎ ‎∴展开式的第4项为常数项，即T4=－C=－20.‎ 说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解.‎ ‎【例11】求(－)9展开式中的有理项.‎ 分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x的指数为整数的项.‎ 解：∵Tr+1=C(x)9－r(－x)r=(－1)rCx.‎ 令∈ ，即4+∈ ，且r=0，1，2，…，9.‎ ‎∴r=3或r=9.‎ 当r=3时，=4，T4=(－1)‎3Cx4=－84x4.‎ 当r=9时，=3，T10=(－1)‎9Cx3=－x3.‎ ‎∴(－)9的展开式中的有理项是第4项－84x4，第10项－x3.‎ 说明：利用二项展开式的通项Tr+1可求展开式中某些特定项.‎ ‎【例12】若(3x－1)7=a7x7+a6x6+ … +a1x+a0，求 ‎(1)a1+a2…+a7；‎ ‎(2)a1+a3+a5+a7；‎ ‎(3)a0+a2+a4+a6.‎ 分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决.‎ 解：(1)令x=0，则a0=－1，令x=1，则a7+a6+ … +a1+a0=27=128. ①‎ ‎∴a1+a2+…+a7=129.‎ ‎(2)令x=－1，则a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(－4)7. ②‎ 由得：a1+a3+a5+a7=［128－(－4)7］=8256.‎ ‎(3)由得a0+a2+a4+a6=［128+(－4)7］=－8128.‎ 说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.‎ ‎(2)一般地，对于多项式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，g(x)各项的系数和为g(1)，g(x)的奇数项的系数和为［g(1)+g(－1)］，g(x)的偶数项的系数和为［g(1)－g(－1)］.‎ ‎【例13】证明下列各式 ‎(1)1+‎2C+‎4C+ … +2n－‎1C+2nC=3n；‎ ‎(2)(C)2+(C)2+ … +(C)2=C；‎ ‎(3)C+‎2C+‎3C+ … +nC=n2n－1.‎ 分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通项寻求规律.‎ 证明：(1)在二项展开式(a+b)n=Can+Can－1b+Can－2b2+ … +Cabn－1+Cbn中，‎ 令a=1，b=2，得(1+2)n=1+‎2C+‎4C+ … +2n－‎1C+2nC，即 ‎1+‎2C+‎4C+ … +2n－‎1C+2nC=3n.‎ ‎(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，‎ ‎∴(1+Cx+Cx2+ … +Cxr+ … +xn)(1+Cx+Cx2+ … +Cxr+ … +xn)=(1+x)2n.‎ 而C是(1+x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理，得 CC+CC+ … +CC+CC=C.‎ ‎∵C=C，0≤m≤n，‎ ‎∴(C)2+(C)2+ … +(C)2=C.‎ ‎(3)证法一：令S=C+‎2C+‎3C+ … +nC. ①‎ 令S=C+‎2C+ … +(n－1)C+nC ‎=nC+(n－1)C+ … +‎2C+C ‎=nC+(n－1)C+ … +‎2C+C. ②‎ 由①+②得2S=nC+nC+nC+ … +nC=n(C+C+C+C+ … +C)‎ ‎=n(C +C+C+C+ … +C)=n2n.‎ ‎∴S=n2n－1，即C+‎2C+‎3C+ … +nC=n2n－1.‎ 证法二：观察通项： C= .‎ ‎∴原式=nC+nC+nC+nC+ … +nC=n(C+C+C+C+…+C)=n2n－1，‎ 即C+‎2C+‎3C+ … +nC=n2n－1.‎ 说明：解法二中 C=nC可作为性质记住.‎ ‎【例14】求1.9975精确到0.001的近似值.‎ 分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=2－0.003.‎ 解：1.9975=(2－0.003)5‎ ‎=25－C240.003+C230.0032－C220.0033+…‎ ‎≈32－0.24+0.00072≈31.761.‎ 说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.‎ ‎【例15】求证：5151－1能被7整除.‎ 分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.‎ 证明：5151－1=(49+2)51－1=C4951+C49502+ … +C49·250+C251－1，‎ 易知除C251－1以外各项都能被7整除.‎ 又251－1=(23)17－1=(7+1)17－1=C717+C716+ … +C7+C－1=7(C716+C715+…+C).‎ 显然能被7整除，所以5151－1能被7整除.‎ 说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.‎ 创　新　篇 ‎【例16】已知(xlgx+1)n的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为20000.求x.‎ 分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！‎ 解：由已知C+C+C=22，即n2+n－42=0. 又n∈N*，∴n=6.‎ T4为中间一项，T4=C (xlgx)3=20000，即(xlgx)3=1000. xlgx=10.‎ 两边取常用对数，有lg2x=1，lgx=±1，∴x=10或x=.‎ 说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.‎ ‎【例17】设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，n∈N*)，若其展开式中关于x的一次项的系数和为11，问m，n为何值时，含x2项的系数取最小值？并求这个最小值.‎ 分析：根据已知条件得到x2的系数是关于x的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.‎ 解：C+C=n+m=11. C +C=(m2－m+n2－n)=，‎ ‎∵n∈N*，‎ ‎∴n=6或5，m=5或6时，x2项系数最小，最小值为25.‎ 说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题.‎ ‎【例18】若(x+－2)n的展开式的常数项为－20，求n.‎ 分析：题中x≠0，当x＞0时，把三项式(x+－2)n转化为(－)2n；当x＜0时，同理(x+－2)n=(－1)n(－)2n.然后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n.‎ 解：当x＞0时，(x+－2)n=(－)2n，‎ 其通项为Tr+1=C()2n－r(－)r=(－1)rC()2n－2r.‎ 令2n－2r=0，得n=r，∴展开式的常数项为(－1)rC；‎ 当x＜0时，(x+－2)n=(－1)n(－)2n.同理可得，展开式的常数项为(－1)rC.‎ 无论哪一种情况，常数项均为(－1)rC.‎ 令(－1)rC=20.以n=1，2，3，…，逐个代入，得n=3.‎ 说明：本题易忽略x＜0的情况.‎ ‎【例19】利用二项式定理证明()n－1＜.‎ 分析：不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数.‎ 证明：欲证()n－1＜成立，只需证()n－1＜成立.‎ 而()n－1=(1+)n－1=C+C+C()2+ … +C()n－1‎ ‎=1++C()2+ … +C()n－1‎ ‎＞.‎ 说明：本题目的证明过程中将()n－1转化为(1+)n－1，然后利用二项式定理展开式是解决本问题的关键.‎ ‎【例20】求证：2≤(1+)n＜3(n∈N*).‎ 分析：(1+)n与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析.‎ 证明：当n=1时，(1+)n=2.‎ 当n≥2时，(1+)n=1+C+C+ … +C()n=1+1+C+ … +C()n＞2.‎ 又C() =≤，‎ 所以(1+)n≤2+++ … +＜2+++ … +‎ ‎=2+(1－)+(－)+ … +(－)‎ ‎=3－＜3.‎ 综上有2≤(1+)n＜3.‎ 说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.‎ ‎【例21】求证：对于n∈N*，(1+)n＜(1+)n+1.‎ 分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法.‎ 证明：(1+)n展开式的通项Tr+1=C=‎ ‎=‎ ‎=(1－)(1－)…(1－).‎ ‎(1+)n+1展开式的通项T′r+1=C=‎ ‎=‎ ‎=(1－)(1－)…(1－).‎ 由二项式展开式的通项可明显地看出Tr+1＜T′r+1‎ 所以(1+)n＜(1+)n+1‎ 说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同.证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.‎ ‎【例22】设a、b、c是互不相等的正数，且a、b、c成等差数列，n∈N*，求证：an+cn＞2bn.‎ 分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、b、c成等差数列创造条件使用二项式定理.‎ 证明：设公差为d，则a=b－d，c=b+d.‎ an+cn－2bn=(b－d)n+(b+d)n－2bn ‎=［bn－Cbn－1d+Cbn－2d2+ … +(－1)ndn］+［bn+Cbn－1d+Cbn－2d2+ … +dn］‎ ‎=2(Cbn－2d2+Cbn－4d4…)＞0.‎ 说明：由a、b、c成等差，公差为d，可得a=b－d，c=b+d，这就给利用二项式定理证明此问题创造了可能性.问题即变为(b－d)n+(b+d)n＞2bn，然后用作差法改证(b－d)n+(b+d)n ‎－2bn＞0.‎ ‎【例23】求(1+2x－3x2)6的展开式中x5项的系数.‎ 分析：先将1+2x－3x2分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x－3x2)6=(1+3x)6‎ ‎(1－x)6.‎ 然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x5的系数，问题可得到解决.‎ 解：原式=(1+3x)6(1－x)6，其中(1+3x)6展开式之通项为T +1=C3 x ，(1－x)6展开式之通项为Tr+1=C(－x)r.‎ 原式=(1+3x)6(1－x)6展开式的通项为CC(－1)r3 x +r.‎ 现要使 +r=5，又∵ ∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，‎ 必须或 故x5项系数为C‎30C(－1)5+C‎31C(－1)4+C‎32C(－1)3+C‎33C(－1)4+C‎34C (－1)+C‎35C(－1)0=－168.‎ 说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键.‎ ‎【例24】(2004年全国必修+选修1)(－)6展开式中的常数项为(　　)‎ A.15 B.－‎15 ‎ C.20 D.－20‎ 解析：Tr+1=(－1)rC()6－rx－r=(－1)rCx，当r=2时，3－r=0，T3=(－1)‎2C=15.‎ 答案：A ‎【例25】 (2004年江苏)(2x+)4的展开式中x3的系数是(　　)‎ A.6 B‎.12 ‎ C.24 D.48‎ 解析：Tr+1=(－1)rC()4－r(2x)r=(－1)r2rCx，当r=2时，2+=3，T3=(－2)‎2C=24.‎ 答案：C ‎【例26】 (2004年福建理)若(1－2x)9展开式的第3项为288，则(++ … +)的值是(　　)‎ A.2 B‎.1 ‎ C. D.‎ 解析：Tr+1=(－1)rC(2x)r=(－1)rC2xr，当r=2时，T3=(－1)‎2C22x=288.‎ ‎∴x=.‎ ‎∴(++ … +)==2.‎ 答案：A ‎【例27】 (2004年福建文)已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是(　　)‎ A.28 B‎.38 ‎ C.1或38 D.1或28‎ 解析：Tr+1=(－1)rCx8－r()r=(－a)rCx8－2r，当r=4时，T3=(－a)‎4C=1120，∴a=±2.‎ ‎∴有函数f(x)=(x－)8.令x=1，则f(1)=1或38.‎ 答案：C ‎【例28】 (2004年天津)若(1－2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(x∈R)，则(a0+a1)+(a0+a2)+‎ ‎(a0+a3)+ … +(a0+a2004)= .(用数字作答)‎ 解析：在函数f(x)=(1－2x)2004中，f(0)=a0=1，f(1)=a0+a1+a2+ … +a2004=1，‎ ‎(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)‎ ‎=‎2004a0+a1+a2+ … +a2004‎ ‎=‎2003a0+a0+a1+a2+ … +a2004‎ ‎=‎2003f(0)+f(1)‎ ‎=2004.‎ 答案：2004‎