高考数学专题复习：计数原理 习题课(三)

高考数学专题复习：计数原理 习题课(三)

第一章　计数原理 习题课(三)‎ 一、选择题 ‎1、6人被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定．若最终有n个人去的方法是15种，则n的值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．2或4 D．2或3‎ ‎2、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有(　　)‎ A．140种 B．84种 C．70种 D．35种 ‎3、从正方体ABCD－A1B‎1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数是(　　)‎ A．C－12 B．C－8‎ C．C－6 D．C－4‎ ‎4、8名运动员参加男子‎100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(　　)‎ A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种 ‎5、8人排成一排，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有几种(　　)‎ A．AA B．A－AA C．AA D．A－A 二、填空题 ‎6、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．‎ ‎7、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．‎ ‎8、8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)‎ 三、解答题 ‎9、某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2‎ 个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？‎ ‎10、从集合{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？‎ ‎11、某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：‎ ‎(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；‎ ‎(2)两个唱歌节目不相邻；‎ ‎(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．‎ ‎12、从6名运动员中选出4个参加4×‎100 m的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎2、C　[分两类：(1)甲型1台，乙型2台：CC；(2)甲型2台，乙型1台：CC.所以一共有CC＋CC ‎＝70(种)．]‎ ‎3、A　[在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体，所以一共有C－12.]‎ ‎4、B　[三个连续数字的可能情况是6种，被选中的运动员全排，剩下的5名运动员全排，所以这8名运动员安排跑道的方式共有‎6AA＝4 320(种)．]‎ ‎5、A　[使用插空法，先排甲、乙、丙外的5人，共A种方法．然后在形成的6个空中插入甲、乙、丙共有A种方法．‎ ‎∴共有A×A种排法．]‎ 二、填空题 ‎6、30‎ 解析　方法一　可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)选法．‎ 方法二　总共有C＝35(种)选法，减去只选A类的C＝1(种)，再减去只选B类的C＝4(种)，故有30种选法．‎ ‎7、126‎ 解析　分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C×A＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C×C×A＝108(种)，‎ 所以共有18＋108＝126(种)．‎ ‎8、AA 解析　采用插空法，先排8名学生，共有A种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A种排法，‎ ‎∴共有排法：A×A种．‎ 三、解答题 ‎9、解　方法一　若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法；但是原先的节目已经定好顺序，需要消除，故有＝A＝72(种)排法．‎ 方法二　共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A种排法；再将剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有AC＝72(种)排法．‎ ‎10、解　设a、b、c∈N，且a、b、c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．‎ ‎(1)第一、三个数都是偶数，有A种选法；‎ ‎(2)第一、三个数都是奇数，有A种选法；‎ 于是，选出3个数成等差数列的个数为 A＋A＝180(个)．‎ ‎11、解　(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．‎ ‎(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有 A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．‎ ‎(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，由分步乘法计数原理，符合要求的排法有：A·A·A＝2 880(种)．‎ ‎12、解　分两类：若乙跑第一棒，共有A＝60(种)；‎ 若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C种，此时跑第四棒的选择有C种，余下的第