数学理卷·2018届广东省惠州市高三第二次调研考试(2017

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数学理卷·2018届广东省惠州市高三第二次调研考试(2017

惠州市2018届高三第二次调研考试 理科数学 全卷满分150分,时间120分钟.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎(1)若(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在( )‎ ‎(A)第一象限   (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎(2)已知集合,,若,‎ 则实数的取值范围是(   ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)设为三条不同的直线,为一个平面,下列命题中正确的个数是( )‎ ‎ ①若,则与相交; ②若则;‎ ‎ ③若||,||,,则; ④若||,,,则||.‎ ‎ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎(4)“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)设随机变量服从正态分布,若,‎ 则实数等于(   ) ‎ ‎(A)7 (B)6 (C)5 (D)4‎ ‎(6)《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(7)已知等差数列的前项和为,且,,‎ 则数列的前10项和为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若甲景区不能最先旅游,乙景区和丁景区不能最后旅游,则小李旅游的方法数为( )‎ ‎(A)24 (B)18 (C)16 (D)10‎ ‎(9)已知,为双曲线的左右顶点,点在双曲线上,为等腰三角形,且顶角为,则双曲线的离心率为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(10)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,‎ 则最大值为(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(11)函数部分图像如图所示,且,对不同的,若,有,则( )‎ ‎ (A)在上是减函数 (B)在上是增函数 ‎ (C)在上是减函数 (D)在上是增函数 ‎(12)函数是定义在上的奇函数, 当时, ,则函数在上的所有零点之和为( )‎ ‎ (A)8 (B) (C) (D)0‎ 二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎(13)已知,且,则 ____________.‎ ‎(14)某班共有56人,学号依次为1,2,3,…,56,现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知学号为2,30,44的同学在样本中,则还有一位同学的学号应为_____.‎ ‎(15)已知数列满足,则数列的通项公式为 .‎ ‎(16)在四边形中,,已知,与的夹角为,且,,则___________.‎ 三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 已知中,角的对边分别为,.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,,求的面积.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 某学校为了丰富学生的业余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽取题目,背诵正确加10分,背诵错误减10分,背诵结果只有“正确”和“错误”两种。其中某班级背诵正确的概率为,背诵错误的概率为,现记“该班级完成首背诵后总得分为”.‎ ‎(1)求且的概率;‎ ‎(2)记,求的分布列及数学期望.‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径 上,且有点和上的点,满足,.‎ ‎(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;‎ ‎(2)若斜率为的直线与圆相切,与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点,是坐标原点,且时,求的取值范围.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(1)若函数的图象在处的切线与轴平行,求的值;‎ ‎(2)若,恒成立,求的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎(22)(本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 已知曲线(为参数)和定点,、是此曲线的左、右焦点,以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线的极坐标方程;‎ ‎(2)经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点,‎ 求的值.‎ ‎(23)(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若二次函数与函数的图象恒有公共点,‎ 求实数的取值范围. ‎ ‎ 惠州市2018届高三第二次调研考试 理科数学参考答案 一、选择题:(每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C C B B B D D C B A ‎1.【解析】由题意知,其对应点的坐标为,在第一象限.‎ ‎2.【解析】集合,由可得,.‎ ‎3.【解析】②错,①③④正确.‎ ‎4.【解析】“不等式在上恒成立”即,,‎ 同时要满足“必要不充分”,在选项中只有“”符合.‎ ‎5.【解析】由随机变量服从正态分布可得对称轴为,又 ‎,与关于对称,,‎ 即.‎ ‎6.【解析】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的,‎ 转化为十进制数的计算为 ‎7.【解析】由及等差数列通项公式得,又,,,,,‎ ‎8.【解析】第1种:甲在最后一个体验,则有种方法;第2种:甲不在最后体验,则有 种方法,所以小明共有.‎ ‎9.【解析】设双曲线方程为,不妨设点M在第一象限,所以,,作轴于点,则,故,,所以,将点代入双曲线方程,得,所以.‎ ‎10.【解析】依题意,题中的几何体是三棱锥PABC(如图所示),‎ 其中底面ABC是直角三角形,,面ABC,‎ ‎,,,因此 ‎,‎ 当且仅当,即时取等号,因此xy的最大值是64.‎ ‎11.【解析】由题意,,,又,有,,即,且,即,解得,‎ ‎,,单调递增.解得.所以选项B符合.‎ ‎12.【解析】令,所以求的零点之和和的交点横坐标之和,分别作出时,和图象,如图 ‎ 由于和都关于原点对称,因此的零点之和为0,而当时,,即两函数刚好有1个交点,而当时的图象都在的上方,因此零点之和为8.‎ 二.填空题:本题共4小题,每小题5分。‎ ‎13. 14. 16 15. 16. 2‎ ‎13.【解析】;,由且可得.‎ ‎14.【解析】由题意得,需要从56人中分成4组,每组的第2位学号为抽出的同学,所以有.‎ ‎15.【解析】由两边同除可得,又,成以为首,公差为的等差数列,,.‎ ‎16.【解析】,,,又,,代入式子可得 三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.解:(1), ‎ 由正弦定理可得 …………2分 ‎,即 又,,,即. …………6分 ‎(2)由余弦定理可得, …………9分 ‎ 又,,,的面积为.………12分 ‎18.解:(1)取中点,连接、、,‎ ‎∵四边形是边长为的菱形,∴.‎ ‎∵,∴是等边三角形.‎ ‎∴,. ……2分 ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴.∴. ……4分 ‎∵,∴平面.‎ ‎∵平面,∴平面平面. ……5分 ‎(2)∵,∴.‎ 由(1)知,平面平面,∴平面,‎ ‎∴直线两两垂直.以为原点建立空间直角坐标系,如图,‎ 则.‎ ‎∴. ……6分 设平面的法向量为,‎ 由,得,取,得, ……8分 设平面的法向量为,由,得,‎ 取,得, ……10分 ‎∴,由图可知二面角为锐二面角,∴二面角的的余弦值为. ……12分 ‎ ‎19.解:(Ⅰ)当时,即背诵6首后,正确个数为4首,错误2首;‎ 由可得:若第一首和第二首背诵正确,则其余4首可任意背诵对2首;‎ 若第一首正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余3首可任意背诵对2首,‎ 此时的概率为:;……4分 ‎(Ⅱ)∵的取值为10,30,50,又,, ‎ ‎∴, ……6分 ‎ ‎, ……8分 ‎ ……10分 ξ ‎30‎ ‎50‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎∴. ……12分 ‎ ‎20.解:(1)由题意知中线段的垂直平分线,所以 ‎ ‎ ‎ 所以点的轨迹是以点,为焦点,焦距为2,长轴为的椭圆,……2分 ‎,, ……3分 故点的轨迹方程是 ……4分 ‎ (2)设直线,‎ 直线与圆相切 联立 ……6分 ‎ ……7分 ‎ ……8分 ‎ ……9分 ‎ ‎ ‎ ……10分 所以 为所求. ……12分 ‎21.解:(1),的图象在处的切线与轴平行,‎ 即在处的切线的斜率为0,即, ……4分 ‎(2)f′(x)=2(ex-x+a),又令h(x)=2(ex-x+a),则h′(x)=2(ex-1)≥0,‎ ‎∴h(x)在[0,+∞)上单调递增,且h(0)=2(a+1). ……5分 ‎①当a≥-1时,f′(x)≥0恒成立,即函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,‎ 从而必须满足f(0)=5-a2≥0,解得-≤a≤,又a≥-1,∴-1≤a≤. ……8分 ‎②当a<-1时,则存在x0>0,使h(x0)=0且x∈(0,x0)时,h(x)<0,即f′(x)<0,‎ 即f(x)单调递减,x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即f′(x)>0,即f(x)单调递增.‎ ‎∴f(x)min=f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3≥0,‎ 又h(x0)=2(ex0-x0+a)=0,从而2 ex0-(ex0)2+3≥0, 解得0
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