2017-2018学年福建省闽侯第二中学五校教学联合体高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年福建省闽侯第二中学五校教学联合体高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

闽侯二中五校教学联合体 ‎2017—2018学年第一学期高 二 年段数学（理科）‎ 期末联考试卷(考试时间:2018年1月30日下午)‎ ‎ 分 值：150分 完卷时间：120分钟 ‎ ‎ ‎ ‎ 一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题： 的否定是（　　）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2．抛物线的焦点到准线的距离是（　　）‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的 (　　)‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．双曲线的渐近线方程和离心率分别是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5．若不共线，对于空间任意一点都有，当四 点共面时，（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．θ是任意实数，则方程x2sinθ＋y2cos θ＝4的曲线不可能是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎7．椭圆的焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么 是的（ ）‎ A. 3倍 B. 4倍 C. 5倍 D. 7倍 ‎8．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．若且为共线向量，则的值为（ ）‎ A．7 B． C．6 D．‎ ‎10．已知圆： ，定点， 是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎12．设双曲线的左、右焦点分别为， ， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（共4小题，每小5分，共20分）‎ ‎13．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为________．‎ ‎14．双曲线的离心率大于的充分必要条件是________．‎ 15． 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，‎ AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异 面直线A1E与GF所成的角的大小是________．‎ ‎16．已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为__________________.‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）‎ ‎17．(10分)命题:；命题:方程表示焦点在轴上的双曲线.若“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.（12分）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线上．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程．‎ 19. ‎(12分)已知抛物线与直线相交于点,且.‎ (1) 求的值；‎ (2) 以弦为底边，以轴上的点为顶点组成,当时，求点的坐标。‎ ‎20．(12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD；AD＝PD，E、F分别为CD，PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥平面PAB；‎ ‎(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF夹角的正弦值．‎ ‎ 21．(12分)已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设，过点作斜率不为 的直线与曲线交于两点，设直线的斜率分别是，求的值．‎ ‎22．在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形， ， ， ， ．‎ ‎（I）求证：平面．‎ ‎（II）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．‎ 闽侯二中五校教学联合体2017—2018学年第一学期 ‎ 高 二 年段数学（理科）期末联考参考答案 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1—12 BCAADC DACBCA 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 14.m>1 15. 16. ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17、解：若命题为真，则 为真， ‎ ‎ …………2分 ‎ 若命题为真，则 …………4分 ‎ ‎ 又 “且”是假命题，“或”是真命题 ‎ 是真命题且是假命题，或是假命题且是真命题…………6分 ‎ ‎ 或 …………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ 的取值范围是…………10分 ‎18.解：（1）法一：由已知双曲线C的焦点为……………………1分 ‎ 由双曲线定义 ‎ ……………………5分 所求双曲线为…………………6分 法二：由已知双曲线C的焦点为……………………1分 ‎ 因为，……………………3分 ‎ 解得……………………5分 ‎ 所求双曲线为………6分 （2） 设，则 ……………………7分 因为、在双曲线上 ……………………8分 ‎ ①－②得 ‎ …………………………10分 弦的方程为即 ‎ 经检验为所求直线方程．…………………………12分 ‎19解：（1）由 …………………………2分 ‎ …………………………6分 ‎ （2）‎ ‎ …………………………8分 ‎ …………………………11分 ‎ …………………………12分 ‎20.　(1)证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD＝1，AB＝a. …………………………1分 则C(0，a,0)，A(1,0,0)，E，B(1，a,0)，F，P(0,0,1)，‎ ‎∴＝，＝(0，a,0)，＝(1,0，－1)，…………………………3分 ‎∴·＝0，·＝0，即EF⊥AB，EF⊥PA，‎ 又AB∩PA＝A，∴EF⊥平面PAB …………………………6分 ‎(2)∵AB＝BC，∴a＝，＝ (－1，，0)，‎ ＝，＝. …………………………7分 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则n·＝0⇒x＋z＝0，‎ n·＝0⇒－x＋y＝0，令y＝，则x＝1，z＝－1，‎ ‎∴平面AEF的一个法向量n＝(1，，－1)． …………………………9分 ‎ 设AC与平面AEF的夹角为α，sin α＝|cos〈，n〉|＝，…………………11分 所以AC与平面AEF的夹角正弦值为. …………………………12分 21. 解：（I）设,则依题意有，…………………3分 整理得,即为曲线的方程. …………………………6分 ‎ ‎（Ⅱ）设直线,则 ………………7分 由联立得： …………………………8分 ‎ …………………………9分 ‎∴‎ 即 …………………………12分 ‎22.解：证明：不妨设BC=1，∵AB=2BC,∠ABC=60∘,‎ 在△ABC中,由余弦定理可得 AC2=22+12−2×2×1×cos60∘=3，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC. …………………………2分 又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，∴AC⊥平面FBC. …………………………4分 ‎(Ⅱ)‎ 线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC. …………………………5分 证明如下：‎ ‎∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.‎ ‎∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD. …………………………6分 ‎∴CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C−xyz. ‎ 在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD.‎ 设BC=1,所以C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),E(,−,1).‎ 假设线段ED上存在点Q,设Q(,,t)(0⩽t⩽1),所以=(,−,t).‎ 设平面QBC的法向量为=(a,b,c),则有，‎ 所以.取c=1,得=(−t,0,1). …………………………9分 同理可得平面EAC的法向量为=（0，2，1） …………………………11分 要使平面EAC⊥平面QBC,只需⋅=0，‎ 即 −t×0+0×2+1×1=0，此方程无解。 ‎ 所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC. ………………………12分