2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（理）试题 Word版

2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（理）试题 Word版

龙岩市非一级达标校2018～2019学年第一学期期末高二教学质量检查 数学（理科）试题 ‎（考试时间：120分钟 满分150分）‎ 注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．‎ ‎ 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填写在答题卡的相应位置．）‎ ‎1．已知命题，命题，则 A．命题是假命题 B．命题是真命题 C．命题是真命题 D．命题是真命题 ‎2．在中，,,,则边等于 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知命题“”，“”，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若实数满足约束条件，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于 A． B． C． D． ‎ ‎（第6题图）‎ ‎6．在四面体中，设，，，‎ 为的中点，为的中点，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯 A．盏 B．盏 C．盏 D．盏 ‎8．已知正数的等差中项是，且，则的最小值是 ‎（第9题图）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知四棱锥的底面是正方形，且底面，，则异面直线与所成的角为 A． B．‎ C． D． ‎ ‎10．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 A．或 B．或 C． D． ‎ ‎11．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为，则 A． B． C． D．‎ ‎（第12题图）‎ ‎12．如图，已知顶角为的三角形满足，点分别在线段和上，且满足，当的面积取得最大值时，的最小值为 A． B．‎ C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置．）‎ ‎13．已知关于的不等式的解集为，则的值______．‎ ‎14．设等差数列的前项和为，若，则__________．‎ ‎（第16题图）‎ ‎15. 一艘轮船从港口处出发，以海里/小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，在港口处测得灯塔在北偏东方向，航行分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔与港口的距离为__________海里.‎ ‎16．如图，双曲线上有一点,它关于原点的对称点为,点为双曲线的右焦点，且满足,,则双曲线的离心率的值为_________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题实数满足，命题实数满足．‎ ‎（Ⅰ）当且为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）若的面积为，求的值;‎ ‎（Ⅱ）若求的面积．‎ ‎19. （本小题满分12分）设是公比为正数的等比数列，，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：数列的前项和．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某商家计划投入万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元时，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把万元全部投入经销乙商品时，所获收益为万元．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若该商家把万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（第21题图）‎ 如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的动直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值．‎ 龙岩市非一级达标校2018～2019学年第一学期期末高二教学质量检查 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A ‎ D C A B C B C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，第17小题10分，其它每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本题考查简易逻辑、解不等式及充要条件等基本知识，满分10分．‎ 解：（Ⅰ）当时，由得，∴ ………………1分 由 得 ∴ ………………2分 为真命题，真真 ‎ ‎ ……………4分 ‎∴实数的取值范围为 ………………5分 ‎（Ⅱ）当时，由 得 ………………7分 ‎ 设 是的必要不充分条件， 是的真子集 ………………8分 ‎ ………………9分 又 ∴ ………………10分 ‎∴实数的取值范围为 ‎ ‎18. 本题考查正弦、余弦定理与面积的基本知识，满分12分 解：（Ⅰ）由余弦定理可得：‎ 即 ………………2分 又 , ………………6分 ‎（Ⅱ）由正弦定理可得：，‎ 又 ………………9分 ‎ ………………12分 ‎19. 本题考查数列通项公式的求解、裂项求和与证不等式.满分12分 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，‎ 则由，得， ………………2分 即，解得或（舍去），∴. ………………4分 所以的通项为（） ………………6分 ‎（Ⅱ）由上知 ∵， ‎ ‎ ∴， ………………8分 ‎∴‎ ‎ ………………9分 ‎ ………………10分 ‎∴ ………………12分 即数列的前项和为． ‎ ‎20. 本题考查基本不等式的应用，考查分类讨论思想和学生的应用意识等．满分12分 解：（Ⅰ）依题意得 得 ………………3分 ‎（Ⅱ）设投入乙商品的资金为万元，则投入甲商品的资金为万元，设总收益为万元。 ‎ 当时， ，‎ 则 ‎ ‎ ………………6分 当且仅当 即时取等号 ………………8分 当时，‎ ‎∴当时， 的最大值为 ………………11分 ‎∵ ∴ 最大总收益为万元。 …………………12分 答：投入甲商品万元，乙商品万元时可获得最大收益，最大总收益为万元.‎ ‎21. 本题考查面面垂直、线面垂直、二面角等知识，考查空间向量的应用．满分12分 解：（Ⅰ）∵为矩形， ∴ ………………1分 又∵,,‎ ‎∴ ………………3分 又,‎ ‎∴ ………………4分 ‎ ‎ ‎∴ ………………6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∴，‎ 以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系.‎ 则 …………7分 ‎∴‎ 设的一个法向量为，‎ 则由 得，‎ 取得 ………………9分 由（Ⅰ）得 的法向量可取,…10分 设二面角的平面角为，‎ ‎ ‎ 即二面角的正弦值为 ………………12分 ‎22. 本题考查抛物线、椭圆的方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，根与系数的关系，考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力等．满分12分 解：（Ⅰ）∵的焦点坐标为 …………………1分 ‎∴ 即 …………………2分 又离心率为，∴，得 …………………3分 ‎∴ …………………4分 故所求椭圆的方程为： …………………5分 ‎（Ⅱ）易知直线的斜率存在，设直线的方程为. ‎ 设，．‎ 则由 消去得：，‎ 由，得.‎ 则，. …………………6分 ‎ 又原点到直线的距离为， …………………7分 且 所以……8分 ‎ [或（为直线与轴交点）] ‎ 因为…9分 设，则 ‎∴……11分 当且仅当，即，即，即时等号成立，‎ 所以面积取得最大值 ． …………………12分