2017-2018学年北京师大附中高二年级下学期期中考试数学试题（理科）（Word版）

2017-2018学年北京师大附中高二年级下学期期中考试数学试题（理科）（Word版）

北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）‎ 说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于 ( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．计算定积分 ( )‎ A．1 B．e-1 C．e D．e+1‎ ‎5．下面为函数的递增区间的是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．‎ ‎10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．‎ ‎11．如图，圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_____________．‎ ‎12．设曲线过点(0，0)的切线与曲线上点P处的切线垂直，则P的坐标为____________．‎ ‎13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。‎ ‎14．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果，使得 ‎，则称为区间[a,b]上的“中值点”．‎ 下列函数：①；②；③；④中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________．（写出所有满足条件的函数的序号）‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．己知函数．‎ ‎( I)求函数f(x)的极值：‎ ‎(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；‎ ‎16．设F为抛物线的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．‎ ‎(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；‎ ‎(II)当OA⊥OB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)．‎ ‎17．已知函数，k∈R．‎ ‎(I)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围．‎ ‎18．已知椭圆，点P(2，0)．‎ ‎(I)求椭圆C的短轴长与离心率；‎ ‎( II)过(1，0)的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．‎ ‎19．已知函数 ‎(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；‎ ‎(II)设实数k使得f(x)< kx恒成立，求k的范围；‎ ‎(III)设函数，求函数h(x)在区间上的零点个数．‎ ‎20．数列 满足：或1（k=1,2,…,n－1）．‎ 对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．‎ ‎（I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；‎ ‎①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2‎ ‎（II）记．若m=3，求S的最小值；‎ ‎（III）若m=2018，求n的最小值．‎ 参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项/）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ A C C C B D A B 二、填空，题（每小题5分，共30分）‎ ‎9．； 10．； 11．； 12．；‎ ‎13．； 14．①④；‎ 三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．解：（I）极大值，极小值；（II）最大值 ‎16．解：（I）由题意，得F（1,0），则直线AB的方程为．‎ 由，消去y，得．‎ 设点，则△>0，且,‎ 所以．‎ ‎（II）因为A，B是抛物线C上的两点，所以设，‎ 由OA⊥OB，得，所以．‎ 由，知 ‎，即直线AB经过定点M（4,0）．‎ ‎17．解：（I）函数的定义域为．‎ ‎（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；‎ 令，解得，此时函数为单调递减函数．‎ ‎（2）当时，‎ ‎①当，即时，‎ 令，解得或，此时函数为单调递增函数；‎ 令，解得，此时函数为单调递减函数．‎ ‎②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；‎ ‎③当，即时，‎ 令，解得或，此时函数为单调递增函数；‎ 令，解得，此时函数为单调递减函数．‎ 综上所述，‎ 当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为（0,1），，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．‎ ‎（II）．‎ 因为函数在（1，2）内单调递减，所以不等式在在（1,2）上成立．‎ 因为，则，所以等价于，即，所以．‎ ‎18．解：（I），故 有，．‎ 椭圆C的短轴长为，离心率为．‎ ‎（II）方法1：结论是：．‎ 当直线斜率不存在时，‎ 当直线斜率存在时，设直线 ‎，整理得：‎ 故 故，即点P在以MN为直径的圆内，故．‎ ‎（II）方法2,：结论是．‎ 当直线斜率不存在时，‎ 当直线斜率存在时，设直线 ‎，整理得：‎ 故 此时，‎ 故 ‎19．解：（I）；‎ ‎（II）因为，所以恒成立等价于恒成立，‎ 令，再求函数的最大值，得k的范围是；‎ ‎（III）由，得，即，，‎ 研究函数，的最大值，，‎ 所以，当或者时，有0个零点；‎ 当或者时，有1个零点；‎ 当时，有2个零点；‎ ‎20．解：（I）②③．‎ ‎（II）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意．‎ ‎①假设，则有（对任意），‎ 与已知矛盾，所以．同理可证：．‎ ‎②假设，则存在唯一的，使得．‎ 那么，对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以．‎ 综上：，，，所以．‎ ‎（III）设1，2，…，2018出现频数依次为．‎ 同（II）的证明，可得，则．‎ 取，，得到的数列为：‎ 下面证明满足题目要求．对，不妨令，‎ ‎①如果或，由于，所以符合条件；‎ ‎②如果或，由于，，所以也成立；‎ ‎③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且i，j，s，t两两不相等；‎ ‎④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．‎ 综上，对任意i，j，总存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．因此满足题目要求，所以n的最小值为2026．‎