2019届二轮复习第6讲 三角函数图象与性质学案(全国通用)

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2019届二轮复习第6讲 三角函数图象与性质学案(全国通用)

‎(这是边文,请据需要手工删加)‎ 名师导学·高考二轮总复习·理科数学 ‎(这是边文,请据需要手工删加)‎ ‎ 专题三 三角函数图象与性质 ‎(这是边文,请据需要手工删加)‎ ‎                                      专  题   三 三角函数图象与性质 第6讲 三角函数图象与性质  【p23】‎  【p23】‎ 年份 卷别 题号 考查内容 命题规律 ‎2018‎ Ⅰ ‎16‎ 同角三角函数基本关系式、三角恒等变换、利用导数求函数的最值 Ⅱ ‎10‎ 三角函数的图象与性质 Ⅲ ‎15‎ 三角函数的性质、函数的零点 ‎2017‎ Ⅰ ‎9‎ 三角函数图象的变换 Ⅱ ‎14‎ 同角三角函数的基本关系式、三角函数的性质 Ⅲ ‎6‎ 三角函数的图象与性质 ‎2016‎ Ⅰ ‎12‎ 三角函数的图象与性质 Ⅱ ‎7‎ 三角函数图象的变换、图象对称轴的求法 Ⅲ ‎14‎ 三角恒等变换、三角函数图象的平移 ‎  利用常见三角公式变形并根据三角函数图象或性质,求三角函数图象、性质或求值.‎ 题型1:已知一个含参数的正(余)弦型函数或图象,求函数的性质和图象.‎ 题型2:给一个有周期变化背景的问题,求刻画该问题变化规律函数的图象或性质.‎ 备 考 建 议 【p23】‎ 三角函数的图象与性质的研究要充分运用数形结合的思想,把图象与性质紧密结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,其试题难度属中档题.在复习过程中既要注重三角函数知识的基础性,突出三角函数的图象、性质以及化简、求值、最值等重点内容的复习,又要注重三角函数知识的工具性,突出三角函数与代数、几何、向量的综合联系以及三角函数知识的实际应用意识. ‎ 典 例 剖 析 【p23】‎ 探究一 三角函数图象变换 ‎                  ‎ 例1已知曲线C1:y=cos x,C2:y=‎ cos,则下面结论正确的是(  )‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ ‎【解析】选C.‎ 把C1各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos 2x的图象,再把得到的曲线向右平移个单位长度后,得到y=cos=cos的图象,故选C.‎ ‎【点评】对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变换其自变量x,如果x的系数不是1,则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把ωx+φ变成ω,最后确定平移的单位并根据的符号确定平移的方向.‎ 探究二 由三角函数图象求解析式 例2 已知奇函数f(x)=Acos(A>0,ω>0,0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示,E是最高点,且△MNE是边长为1的正三角形,那么f=(  )‎ A.- B.- C. D.- ‎【解析】选D.‎ 由奇函数f(0)=0⇒φ=,△MNE是边长为1的正三角形,可得=1⇒T=2⇒ω=π,E 是最高点且yE=,f′(x)=-Aωcos ωx得A=,所以f(x)=cos⇒f=-.‎ ‎【点评】已知函数图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.‎ 探究三 讨论三角函数的单调性 例3 已知ω>0,函数f(x)=sin在区间上单调递减,则ω的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.(0,2]‎ ‎【解析】选A.‎ 解法一:(淘汰法)取ω=,f(x)=sin,‎ 其减区间为(k∈Z).‎ 由⊆(k∈Z)排除B、C,‎ 取ω=2.同理排除D,故选A.‎ 解法二:由题设x∈时,‎ f′(x)=ωcos≤0,‎ 即cos≤0恒成立.‎ 又x∈时,‎ ωx+∈,‎ 则⊆(k∈Z).‎ 当k=0时,由 求得≤ω≤,故选A.‎ ‎【点评】分析研究函数的周期性或单调性,应将题设三角函数解析式恒等变形为y=‎ Asin(ωx+φ)(ω>0)型(或y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)型),然后再应用相关方法求解.‎ 例4 设函数f(x)=sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<.若f=1,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析表达式;‎ ‎(2)讨论f(x)在区间内的单调性.‎ ‎【解析】(1)由f(x)的最小正周期大于2π,得>,‎ 又f=1,f=0得=+=,‎ ‎∴T=3π,则=3π,ω=.‎ ‎∴f(x)=sin(ωx+φ)=sin,‎ 由f=1,即sin=1,‎ 得sin=1.‎ ‎∴+φ=+2kπ,k∈Z.取k=0,得φ=<,满足题意.‎ ‎∴ω=,φ=.∴函数解析式为f(x)=sin.‎ ‎(2)当x∈时,x+∈,‎ ‎∴由-≤x+≤,得-≤x≤;‎ 由≤x+≤,得≤x≤,‎ ‎∴ 当x∈时,f(x)的单调递增区间为;单调递减区间为.‎ ‎【点评】研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质的“两种”意识 ‎(1)转化意识:利用三角恒等变换把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式.‎ ‎(2)团体意识:类比研究y=sin x的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sin x中的“x”代入求解便可.‎ 提醒:在求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意A和ω的符号,必要时通过诱导公式先将ω的符号化为正的.‎ 探究四 求三角函数在闭区间上的最值 ‎(或值域)‎ 例5 已知函数f(x)=4sin2-2cos 2x-1,且给定条件p:“≤x≤”.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及最小值;‎ ‎(2)若又给条件q:“|f(x)-m|<‎2”‎且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)∵f(x)=2-2cos 2x-1=2sin 2x-2cos 2x+1‎ ‎=4sin+1.‎ 又∵≤x≤,∴≤2x-≤,‎ ‎∴3≤4sin+1≤5.‎ ‎∴f(x)max=5,f(x)min=3.‎ ‎(2)∵|f(x)-m|<2,‎ ‎∴m-2<f(x)<m+2.‎ 又p是q的充分条件,‎ ‎∵ ‎∴3<m<5.‎ 例6 已知函数f(x)=cos+sin2x-cos2x.设函数g(x)=[f(x)]2+f(x),求g(x)的值域.‎ ‎【解析】f(x)=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin.‎ 故g(x)=[f(x)]2+f(x)‎ ‎=sin2+sin ‎=-.‎ 当sin=-时,‎ g(x)取得最小值-,‎ 当sin=1时,g(x)取得最大值2,‎ 所以g(x)的值域为.‎ ‎【点评】求三角函数最值的两种思路:(1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,结合三角函数的性质或图象求解;(2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式,借助二次函数的性质或图象求解.‎ 规 律 总 结 【p25】‎ ‎1.三角函数的图象与性质的应用问题中用到数形结合思想的常见题型:‎ ‎(1)确定函数的性质;确定某些三角函数的最值(值域)、周期性等性质时,常根据条件作出函数的图象数形结合求解.‎ ‎(2)由图象特点求解析式;求解时根据所给图象由最值点求A,由周期求ω,由特殊点求φ,实现“以形助数”.‎ ‎(3)三角函数零点(或三角方程解)的问题;求解此类问题时,常作出符合要求的图象,‎ 由数形结合法求解.‎ ‎(4)变换法作图;结合函数解析式特征,通过平移变换、伸缩变换、对称变换作出图象,实现“以数辅形”.‎ ‎2.求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ))的单调区间的步骤:‎ ‎(1)将ω化为正.‎ ‎(2)将ωx+φ看成一个整体,由三角函数的单调性求解.‎ ‎3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式的步骤:‎ ‎(1)A=,B=.‎ ‎(2)由函数的周期T求ω.‎ ‎(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.‎ ‎4.三角函数图象与性质解题中失分误区:‎ ‎(1)忽视定义域和名称;求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时,要注意函数的定义域和名称.‎ ‎(2)忽视平移单位;要重视图象变换顺序,在图象变换过程中,注意分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.‎ ‎(3)忽视A,ω的符号,忽视注明k∈Z;在求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意A和ω的符号,若ω<0,需先通过诱导公式将x的系数化为正的.‎ 高 考 回 眸 【p25】‎ ‎                  ‎ 考题1[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是________.‎ ‎【解析】- f′(x)=2cos x+2cos 2x=2(2cos x-1)(cos x+1),‎ 当cos x<时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 当cos x>时,f′(x)>0,f(x)单调递增;‎ 所以当cos x=时,f(x)有最小值.‎ 又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),‎ 所以当sin x=-时,f(x)有最小值.‎ 即f(x)min=2××=-.‎ ‎【命题立意】本题主要考查了三角函数的最值,导数的应用,考查了考生的转化化归能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.‎ 考题2[2018·全国卷Ⅱ]若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(  )‎ A. B. C. D.π ‎【解析】选A.‎ f(x)=cos x-sin x=-sin,‎ 当x∈,即x-∈时,函数f(x)单调递减,‎ 因为f(x)在[-a,a]是减函数,所以[-a,a]⊆,故a的最大值为,选A.‎ ‎【命题立意】本题考查了三角函数的单调性,三角恒等变换,意在考查考生的逻辑思维能力、等价转换能力、运算求解能力.考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.‎ 考题3[2018·全国卷Ⅲ]函数f(x)=‎ cos在[0,π]上的零点的个数为________.‎ ‎【解析】3‎ 由题意可知,当3x+=kπ+(k∈Z)时,‎ f(x)=cos=0.‎ 因为x∈[0,π],‎ 所以3x+∈,‎ 故当3x+取值为,,时,‎ f(x)=cos=0,‎ 即函数f(x)=cos在[0,π]上的零点的个数为3.‎ ‎【命题立意】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了数形结合思想和考生的运算求解能力.考查的数学核心素养是数学运算.‎ 考点限时训练 【p119】‎ A组 基础演练 ‎1.在区间 范围内,函数y=tan x与函数y=sin x的图象交点的个数为(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎【解析】选A.‎ 在同一坐标系中,作出y=sin x与y=tan x在内的图象,很难做到精确,容易误认为3个交点.联想到不等式“sin xf(π),则φ等于(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】选C.‎ 由f(x)≤可知是函数f(x)的对称轴,所以2×+φ=+kπ,所以φ=+kπ,由f>f(π),得sin(π+φ)>sin(2π+φ),即-sin φ>sin φ,所以sin φ<0,又0<φ<2π,所以π<φ<2π,所以当k=1时,φ=.‎ ‎*4.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】选B.‎ 由2kπ+≤ωx+≤2kπ+,即2kπ+≤ωx≤2kπ+,由0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是________.‎ ‎【解析】2‎ 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=f=sin=sin的图象,‎ 因为此时函数图象过点,‎ 所以sin ω=0,‎ 即ω==kπ(k∈Z),‎ 所以ω=2k(k∈Z),‎ 又ω>0,所以ω的最小值为2.‎ ‎*14.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示,与x轴交于A、B两点,与y轴交于P点,其一条对称轴与x轴交于C点,且PA=PC=2,PB=BC,则ω=________.‎ ‎【解析】 函数周期为,故AB=T=,PB=BC==,AC=,OA=OC=,OB=OC-BC=,由于OB=PB,所以∠OPB=∠PCB=∠BPC=,∠OBP=,所以=OC=PCcos=3,故ω=.‎ ‎15.已知函数f(x)=2sinsin+sin 2ωx+a(ω>0)的图象与直线y=m(m>0)相切,并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列,且f(x)的最大值为1.‎ ‎(1)若x∈[0,π],求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)将f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,若函数y=g(x)-m在上有零点,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)∵f(x)=sin+sin 2ωx+a ‎=cos 2ωx+sin 2ωx+a=2sin+a,‎ 由题意得ω=1,‎ ‎∴2+a=1,所以a=-1,‎ 所以f(x)=2sin-1,‎ 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,‎ 解得-+kπ≤x≤+kπ,‎ 所以函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是和.‎ ‎(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,‎ ‎∴g(x)=f=2sin-1‎ ‎=2sin-1,‎ ‎∵x∈,∴2x+∈,‎ ‎∴当2x+=时,sin=,g(x)取最大值-1;‎ 当2x+=时,sin=-1,g(x)取最小值-3.‎ 若函数y=g(x)-m在x∈上有零点,‎ 则-3≤m≤-1.‎ ‎16.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:‎ x x1‎ x2‎ x3‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π Asin(ωx+φ)+B ‎0‎ ‎0‎ ‎- ‎0‎ ‎(1)请求出上表中的x1,x2,x3的值,并写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,m](30.‎ ‎(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;‎ ‎(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a0,根据题意有 ‎ ⇒0<ω≤.‎ ‎(2)f(x)=2sin 2x,‎ g(x)=2sin+1=2sin+1.‎ g(x)=0⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,‎ 即g(x)的零点相离间隔依次为和,‎ 故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.‎ 另一种解法:若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N*)上分别恰有3,5,…,‎2m+1个零点,‎ 所以在区间[a,14π+a]上恰有29个零点,从而在区间(14π+a,b]上至少有一个零点,‎ b-a-14π≥,‎ 另一方面,在区间上恰有30个零点,‎ 因此b-a的最小值为14π+=.‎
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