列举法求概率

列举法求概率

课题: 25.2 列举法求概率 教学目标： ‎ 知识与技能目标 ‎ 学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。‎ 过程与方法目标 ‎ 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。‎ 情感与态度目标 ‎ 通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。‎ 教学重点：‎ 习运用列表法或树形图法计算事件的概率。‎ 教学难点：‎ 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。‎ 教学过程 ‎1.创设情景，发现新知 ‎ 教材是通过的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。‎ 例5（教材：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：‎ ‎(1) 两个骰子的点数相同；‎ ‎(2) 两个骰子的点数的和是9；‎ ‎(3) 至少有一个骰子的点数为2。‎ 这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。‎ ‎（1）创设情景 引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B 8‎ 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎8‎ A ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ B 图2 联欢晚会游戏转盘 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【设计意图】 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。‎ ‎（2）学生分组讨论，探索交流 在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：‎ ‎“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”‎ 由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘， 即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？‎ 实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格 ‎（3）指导学生构造表格 A B ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎8‎ 8‎ 首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个。接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。一共会产生9种不同的结果。‎ ‎【设计意图】　这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。‎ ‎（4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）‎ A B ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎（1，4）‎ ‎（1，5）‎ ‎（1，7）‎ ‎6‎ ‎（6，4）‎ ‎（6，5）‎ ‎（6，7）‎ ‎8‎ ‎（8，4）‎ ‎（8，5）‎ ‎（8，7）‎ 从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。‎ ‎∴P(A数较大)= , P(B数较大)=. ‎ ‎ ∴P(A数较大)＞ P(B数较大) ‎ ‎∴选择A装置的获胜可能性较大。‎ 在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。‎ 由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4，5，7三种结果。‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎8‎ 开始 A装置 ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ B装置 ‎（5）解法二：‎ ‎ ‎ ‎　　‎ 由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7），‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　（6，4），（6，5），（6，7），‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　（8，4），（8，5），（8，7）。共计9种。‎ 8‎ ‎∴P(A数较大)= , P(B数较大)=. ‎ ‎ ∴P(A数较大)＞ P(B数较大) ‎ ‎∴选择A装置的获胜可能性较大。‎ 然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。‎ ‎【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。‎ ‎2.自主分析，再探新知 通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材P151—P152的例5和例6）。‎ 例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：‎ ‎(1) 两个骰子的点数相同；‎ ‎(2) 两个骰子的点数的和是9；‎ ‎(3) 至少有一个骰子的点数为2。‎ 例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。‎ ‎ 第2个 第1个 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（1，2）‎ ‎（1，3）‎ ‎（1，4）‎ ‎（1，5）‎ ‎（1，6）‎ ‎2‎ ‎（2，1）‎ ‎（2，2）‎ ‎（2，3）‎ ‎（2，4）‎ ‎（2，5）‎ ‎（2，6）‎ ‎3‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，3）‎ ‎（3，4）‎ ‎（3，5）‎ ‎（3，6）‎ ‎4‎ ‎（4，1）‎ ‎（4，2）‎ ‎（4，3）‎ ‎（4，4）‎ ‎（4，5）‎ ‎（4，6）‎ ‎5‎ ‎（5，1）‎ ‎（5，2）‎ ‎（5，3）‎ ‎（5，4）‎ ‎（5，5）‎ ‎（5，6）‎ ‎6‎ ‎（6，1）‎ ‎（6，2）‎ ‎（6，3）‎ ‎（6，4）‎ ‎（6，5）‎ ‎（6，6）‎ ‎　由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现：‎ 8‎ ‎（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)==。‎ ‎[满足条件的结果在表格的对角线上]‎ ‎（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)==。‎ ‎[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]‎ ‎（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所以P(C)=。‎ ‎[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上]‎ 接着，引导学生进行题后小结：‎ 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下：‎ ‎①列表 ； ‎ ‎②通过表格计数，确定公式P(A)=中m和n的值；‎ ‎③利用公式P(A)=计算事件的概率。‎ 分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。‎ 例2： 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。‎ ‎（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？‎ ‎（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？‎ 例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。‎ 8‎ 本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。‎ A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I 甲 乙 丙 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：‎ A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B D H B D I B E H B E I B C I ‎（幻灯片上用颜色区分）‎ 这些结果出现的可能性相等。‎ ‎（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以；‎ 有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以；‎ 全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以。‎ ‎（2）全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以。‎ 通过例2的解答，很容易得出题后小结：‎ 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法 求概率的步骤如下：（幻灯片）‎ ‎①画树形图 ； ‎ ‎②列出结果，确定公式P(A)=中m和n的值；‎ ‎③利用公式P(A)=计算事件概率。‎ 接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？‎ 8‎ ‎ 列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？‎ ‎【设计意图】 通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。‎ ‎3.应用新知，深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。‎ ‎（1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：‎ ‎①三辆车全部继续前行；‎ ‎②两辆车向右转，一辆车向左转；‎ ‎③至少有两辆车向左转。‎ ‎[随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。]‎ ‎（2）在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？‎ 通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？‎ 为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考：‎ 在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？‎ ‎【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。‎ ‎4.归纳总结，形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。‎ ‎【设计意图】‎ 8‎ ‎ 通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。‎ ‎5.布置作业，巩固提高 考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思，在第五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排：‎ ‎（1）必做题：书本 3， 4，5‎ ‎（2）选做题：‎ ‎①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。‎ ‎②研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。‎ ‎【设计意图】 通过教学实践作业和社会实践活动，引导学生灵活运用所学知识，让学生把动脑、动口、动手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精神和科学的态度。 ‎ 8‎