2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期10月份阶段性总结数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期10月份阶段性总结数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期10月份阶段性总结数学（文）试题 一、单选题 ‎1．双曲线的焦距是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线的方程已知，，结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在双曲线中，，，‎ ‎∴，‎ 即焦距为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线中之间的关系以及焦距的概念，属于基础题.‎ ‎2．已知椭圆的右焦点为,则()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出椭圆的，，，解方程，即可得到的值．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的，，，‎ 由题意可得，解得，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的焦点的运用，考查椭圆的方程和运用，注意椭圆的，，的关系，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎3．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的标准方程为，焦点坐标为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的焦点坐标，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.‎ ‎4．已知双曲线,则焦点到渐近线的距离为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．‎ ‎【详解】‎ 在双曲线中，焦点在轴上，，，，‎ 其焦点坐标为，渐近线方程为，‎ 即，‎ 所以焦点到其渐近线的距离，‎ 故选D.．‎ ‎【点睛】‎ 本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．‎ ‎5．若双曲线的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用双曲线的实轴长求出a，然后求解渐近线方程即可．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的实轴长为2，得，又，所以双曲线的渐近线方程为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．‎ ‎6．曲线与曲线的（ ）‎ A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 ‎【答案】C ‎【解析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，之间的关系.‎ ‎7．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）‎ A．20 B．16 C．18 D．14‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据椭圆方程求得，然后根据椭圆的定义求得三角形的周长.‎ ‎【详解】‎ 根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为 ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，属于基础题.‎ ‎8．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则的面积为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线的定义求得点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，由此计算出三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 依题意抛物线的焦点为，设点横坐标为，根据抛物线的定义可知，，所以，代入抛物线方程得.所以三角形的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线上点的坐标的求法，属于基础题.‎ ‎9．设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，求得，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，动圆圆心到顶点与到定直线的距离相等，‎ 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，则方程为 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，属于简单题。‎ ‎10．椭圆与双曲线有相同的左右焦点分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且两曲线在第一象限的公共点满足 ‎，则的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题中条件，结合椭圆与双曲线的定义，得到，，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，为椭圆与双曲线的公共焦点，且两曲线在第一象限的公共点满足，‎ 所以椭圆的离心率为，‎ 双曲线的离心率为，‎ 因此，.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆与双曲线的离心率，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎11．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，利用抛物线的定义知：‎ 当三点共线时，的值最小，且最小值为 抛物线的准线方程：，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.‎ ‎12．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）‎ A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不确定 ‎【答案】A ‎【解析】利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可 ‎【详解】‎ 据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，‎ 的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 二、填空题 ‎13．若抛物线的焦点在直线上，则____．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】判断抛物线的焦点坐标的位置，求出焦点坐标，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点在轴上，‎ 抛物线的焦点在直线上，‎ 可得焦点坐标，所以，解得．‎ 故答案为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎14．双曲线的离心率是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出双曲线的标准方程，求出，的值即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的标准方程为，‎ 则，，则，‎ 即，，则离心率，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出，的值是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎15．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则线段中点的横坐标为_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先根据抛物线方程求出的值，再由抛物线的性质可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 抛物线，∴，‎ 设经过点的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为，，‎ 利用抛物线定义，AB中点横坐标为 ，‎ 故答案为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，属于中档题．‎ ‎16．若方程 所表示的曲线为C，给出下列四个命题：‎ ‎①若C为椭圆，则；‎ ‎②若C为双曲线，则或；‎ ‎③曲线C不可能是圆；‎ ‎④若，曲线C为椭圆，且焦点坐标为；‎ ‎⑤若，曲线C为双曲线，且虚半轴长为．‎ 其中真命题的序号为____________.（把所有正确命题的序号都填在横线上）‎ ‎【答案】②④⑤‎ ‎【解析】试题分析：：①若C为椭圆，则，∴1＜t＜4且t≠，故①不正确；‎ ‎②若C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，∴t＞4或t＜1，故②正确；‎ ‎③t= 时，曲线C是圆，故③不正确；‎ ‎④若1＜t＜，曲线C为椭圆，此时焦点在x轴上，且焦点坐标为（±，0），故④正确；‎ ‎⑤若t＜1，曲线C为双曲线，此时焦点在x轴上，且虚半轴长为，故⑤正确．‎ 综上真命题的序号为②④⑤‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征；命题的真假判断与应用 三、解答题 ‎17．已知双曲线的离心率等于，且与椭圆：有公共焦点，‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距，求该抛物线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）由椭圆的方程可得的值及焦点的位置，结合离心率的值可得的值，最后得，进而可得双曲线的方程；（2）由椭圆的焦距可得的值，进而可得抛物线的方程.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由椭圆：得，焦点在轴上，‎ ‎，∴，所以双曲线方程为.‎ ‎（2）∵椭圆：的焦距为，∴，‎ 抛物线方程为，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由求双曲线的方程以及抛物线方程的求法，属于基础题.‎ ‎18．在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中，如图所示．‎ ‎（1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；‎ ‎（2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据为焦点和椭圆定义得，求得，；利用求得，进而得到椭圆方程；（2）根据为焦点和双曲线定义得，求得，；利用求得，进而得到双曲线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为椭圆的焦点，且椭圆经过两点 根据椭圆的定义：‎ ‎， ‎ 椭圆方程为：‎ ‎（2）为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，‎ 根据双曲线的定义：‎ ‎， ‎ 双曲线方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用椭圆、双曲线的定义求解椭圆、双曲线的标准方程问题，属于基础题.‎ ‎19．抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．‎ ‎（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）；（2）M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知设抛物线解析式为，易得；（2）设，，，是的中点，由中点坐标公式得，，代入法求的轨迹方程.‎ 试题解析：（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），‎ 设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2‎ ‎∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）‎ ‎（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点，则x0+1=2x，0+y0="2y"‎ ‎∴x0=2x﹣1，y0=2y ‎∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0‎ ‎∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1．‎ ‎∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．‎ ‎【考点】抛物线方程、轨迹方程．‎ ‎20．在直角坐标系中，点到两点和的距离之和为4，设点的轨迹为曲线，经过点的直线与曲线C交于两点．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若,求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的定义可得点的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆，进而可得椭圆方程；（2）设，直线为，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理，根据题意得，代入即可得的值，进而可得直线方程.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以为焦点，‎ 长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为 ‎．‎ ‎（2）由题意得直线的斜率存在，设，直线为，‎ 联立消去并整理得，‎ 故．‎ ‎,即，即．而，‎ 于是，化简得，‎ 所以．‎ 即直线的方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；‎ ‎(2)若l与C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．‎ ‎【答案】（1）(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)（2）k＝0或k＝±.‎ ‎【解析】(1)由消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.再解不等式组即得解.(2)先写出韦达定理，再求出S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝，再把韦达定理代入即得实数k的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.‎ 由得k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．‎ ‎(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由(1)，得x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 又∵l过点D(0，－1)，‎ ‎∴S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝,‎ ‎∴(x1－x2)2＝(2)2，即，‎ 解得k＝0或k＝±.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查直线和双曲线的位置关系和面积问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第1问时不要漏掉了.‎ ‎22．已知抛物线上一点到其焦点的距离为.‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）若斜率为的直线与抛物线交于、两点，点为抛物线上一点，其横坐标为1，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1），；（2）为定值，证明见解析 ‎【解析】（1）由抛物线的定义可得，解出将代入到抛物线方程即可得的值；（2）设直线的方程为，设，，联立直线与抛物线运用韦达定理可得，根据斜率的定义化简可得，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，‎ 即，解得，‎ ‎∴抛物线方程为，‎ 点在抛物线上，得，∴。‎ ‎（2）设直线的方程为，设，，‎ 消元化简得，‎ 当即即时，直线与抛物线有两交点，‎ ‎∴。‎ 点坐标为(1，1)，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 所以为定值。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，根的判别式、韦达定理，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．‎