2017-2018学年云南省中央民大附中芒市国际学校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年云南省中央民大附中芒市国际学校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年云南省中央民大附中芒市国际学校高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“∀x∈R,ex>0”的否定是( )‎ A． ∀x∈R,ex≤0 B． ∃x∈R,ex≤0 C． ∃x∈R,ex>0 D． ∀x∈R,ex≠0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否定，将量词与结论同时否定，即可得到答案 ‎【详解】‎ 命题的否定，将量词与结论同时否定 则命题“”的否定是“”‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定，将量词与结论同时否定，属于基础题。‎ ‎2．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则P的值为(   )‎ A． -2 B． 2 C． -4 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得椭圆的右焦点坐标，由题意可得，即可求得结果 ‎【详解】‎ 由椭圆，‎ 解得 故椭圆的右焦点为 则抛物线的焦点为 则，解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是抛物线的简单性质，根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，根据抛物线的标准方程可确定出的值，属于基础题。‎ ‎3．已知是椭圆的两焦点,过点的直线交椭圆于点A、B,若,则(    )‎ A． 11 B． 10 C． 9 D． 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的方程求出椭圆的长轴长，再由椭圆的定义结合求得结果 ‎【详解】‎ 如图，‎ 由椭圆可得：，则 又 且 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是根据椭圆的定义即椭圆上的点到焦点的距离之和为，属于基础题。‎ ‎4．设 O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点,若,则点A的坐标是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点，设出的坐标，用坐标表示出，然后结合 得到关于的方程，解方程即可确定点的坐标 ‎【详解】‎ 设的坐标为 为抛物线的焦点，‎ ‎，‎ 解得，‎ 点的坐标为或 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于抛物线与向量的综合题目，需要熟练掌握抛物线的性质，设出点坐标，求出向量的点乘来计算结果，属于基础题。‎ ‎5．函数在处导数存在,若P:;q:是的极值点,则(    )‎ A． P是q的充分必要条件 B． P是q的充分条件,但不是的必要条件 C． P是q的必要条件,但不是q的充分条件 D． P既不是q的充分条件,也不是的必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在处导数存在，由是的极值点，反之不成立，即可判断出结论 ‎【详解】‎ 根据函数极值的定义可知，是函数的极值点，则一定成立 但当时，函数不一定取得极值，‎ 比如函数，导函数，当时，，但函数单调递增，没有极值 则是的必要条件，但不是的充分条件 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题及其关系以及导数与极值的关系，解题的关键是利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为的关系，属于基础题 ‎6．若曲线在点(0, b)处的切线方程是, 则(   )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵y′＝2x＋a，‎ ‎∴曲线y＝x2＋ax＋b在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为y－b＝ax，‎ 即ax－y＋b＝0.‎ ‎∴a＝1，b＝1. 选A 点睛：‎ 利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎7．椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=(    )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程即可求出的值 ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为：‎ 椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍 ‎，解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，将椭圆方程化为标准方程，然后结合题意列出方程进行求解，较为基础 ‎8．设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；‎ 设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为 ‎，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线FB与直线互相垂直，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=,故选：D ‎【考点】双曲线的简单性质 ‎9．设P是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左、右焦点,若,则(   )‎ A． 1或5 B． 6 C． 7 D． 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程，渐近线的方程求出，由双曲线的定义求出 ‎【详解】‎ 由双曲线的方程，渐近线的方程可得：，解得 由双曲线的定义可得：‎ 解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质，结合双曲线的定义进行计算求出结果，较为简单，‎ 属于基础题 ‎10．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(   )‎ A． 1 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由三视图得到几何体为四棱锥，根据图中数据明确底面和高，即可求得该几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 由已知三视图得到几何体是四棱锥，底面是两边分别为1，的平行四边形，高为1，如图所示：‎ ‎∴该几何体的体积为 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎11．已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为1,则BC1与DB1的距离为(   )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，，取的中点，连接，，则∥，可得∥平面，从而与的距离为与平面的距离，即到平面的距离，利用等体积可求．‎ ‎【详解】‎ 连接，，取的中点，连接，，则∥. ∵⊄平面，⊂平面 ∴∥平面 ∴与的距离为与平面的距离，即到平面的距离 在中，，，，‎ ‎∴‎ 设到平面的距离为，则由，可得.‎ ‎∴‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线距离，解题的关键是将与的距离转化为到平面 的距离，从而利用等体积求解．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎12．已知函数有极大值和极小值,则实数的取值范围是(   )‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数有极大值和极小值，可推出其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式，即可求得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵函数有极大值和极小值 ‎∴‎ ‎∴或 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 函数极值问题，往往转化为导函数零点问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等）， 若是不等式有解或恒成立问题，可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题，若是二次函数的零点问题，可通过相应的二次方程的判别式来求解．‎ 二、填空题 ‎13．直线L与抛物线相交于A、B两点且AB的中点为M（1、1），则L的方程为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出、两点坐标，然后运用点差法求出直线斜率，继而得到直线方程 ‎【详解】‎ 设、‎ 则 相减可得：‎ 有 中点为 故 的方程为：‎ 即 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线之间的位置关系，当遇到含有中点的题目时，可以采用点差法来求出直线斜率，继而可得直线方程 ‎14．数列满足,则此数列的通项公式________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，找出已知和未知的联系，通过构造等比数列，利用其通项公式，得到结果 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，则 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意已知和未知的结合，找出相关关系，属于基础题。‎ ‎15．设x,y满足约束条件，则的最大值为_________‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求出最值，只需要求出直线过可行域内的点时，从而得到的最大值即可 ‎【详解】‎ 不等式组表示的平面区域如图所示：‎ ‎ ‎ 由可得点 当直线过点时，在轴上的截距最小，‎ 此时，取得最大值 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，在不同区域取得不同最值，只要按照线性规划的解题方法来求解即可 ‎16．在棱长为1的正方体中,E为的中点,在面ABCD中取一点F,使最小,则最小值为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 如图，将正方体关于面对称，则就是所求的最小值，．‎ 三、解答题 ‎17．已知曲线方程为,求:‎ ‎（1）点处的切线方程 ‎（2）过点且与曲线相切的直线方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后算出在点处的斜率然后求出切线方程 切点坐标为，求导后算出直线方程，将点代入求出切点坐标，从而计算出直线方程 ‎【详解】‎ ‎(1) .‎ 又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率,‎ 故所求切线的方程为,即.‎ ‎(2)∵点不在曲线上,∴设切点坐标为,‎ 由(1)知,∴切线的斜率,切线方程为.‎ 又∵点在切线上,∴解得或.‎ ‎∴切点坐标为,.‎ 故所求切线方程为或,‎ 即或.‎ ‎【点睛】‎ 解题的思路是求出曲线解析式的导函数，将切点的横坐标代入求出切线的斜率，进而写出切线方程，要求学生掌握求导法则以及会根据一点坐标和斜率写出直线的方程。‎ ‎18．在锐角中,分别为角所对的边,且 ‎（1）求角C的大小;‎ ‎（2）若,且的面积为,求a+b的值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)5.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为即可得，故（2）∵，∴再由余弦定理可得边c 试题解析：‎ 解：‎ ‎（1）由正弦定理得，‎ ‎∵是锐角，∴，故.‎ ‎（2）∵，∴‎ 由余弦定理得 ‎∴‎ 点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长 ‎19．如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.‎ ‎ ‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)求二面角D－A‎1C－E的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】(1)连接AC1交A‎1C于点F，则F为AC1的中点．‎ 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎ (2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，‎ ‎＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，‎ 则即可取n＝(1，－1，－1)．‎ 同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，‎ 则即可取m＝(2,1，－2)． ‎ 从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝‎ 即二面角D－A‎1C－E的正弦值为 ‎20．如下图,已知椭圆,分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线交椭圆于另一点B.‎ ‎(1)若,求椭圆的离心率;‎ ‎(2)若椭圆的焦距为2,且,求椭圆的方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，则为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得椭圆的离心率 由，根据向量数量积的坐标运算，求出的坐标，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若,则为等腰直角三角形 所以有 即 所以,‎ ‎(2)由题知,,设 由,即 解得,‎ 代入,得 即,解得，‎ 所以椭圆方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，结合向量知识求出点坐标，代入椭圆方程即可算出答案，本题解题思路清晰，题目较为基础 ‎21．已知抛物线的焦点F,C上一点到焦点的距离为5.‎ ‎（1）求C的方程;‎ ‎（2）过F作直线l,交C于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为,求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 法一：利用已知条件列出方程组，求解即可 法二：利用抛物线的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可 法一：由可得抛物线焦点的坐标，设出两点的坐标，利用点差法，求出线段中点的纵坐标为，得到直线的斜率，求出直线方程 法二：设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设出两点的坐标，通过线段中点的纵坐标为，求出即可 ‎【详解】‎ 法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知 解得或∵,‎ ‎∴∴的方程为. ‎ 法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得 ‎∴的方程为. ‎ ‎2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点 设两点的坐标分别为,则 ‎ 两式相减,整理得 ‎∵线段中点的纵坐标为 ‎∴直线的斜率 直线的方程为即 分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点 设直线的方程为由 消去,得设两点的坐标分别为,‎ ‎∵线段中点的纵坐标为∴解得 直线的方程为即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间;‎ ‎（2）求在区间上的最小值 ‎【答案】（1）的单调递减区间是;单调递增区间是.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，令，，所得的解区间即为函数的单调区间 根据中的结论，并对分类讨论，分别得到在不同取值区间内的最小值 ‎【详解】‎ ‎(1).令,得.当变化时,与的变化情况如下:‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎             ‎ ‎- ‎ ‎0 ‎ ‎+ ‎ ‎             ‎ ‎↘ ‎ ‎             ‎ ‎↗ ‎ 所以的单调递减区间是;单调递增区间是.‎ ‎(2)当,即时,函数在上单调递增,所以在区间上的最小值为;‎ 当,即,由1知在上单调递减,在上单调递增,所以在区间上的最小值为.‎ 当,即时,函数在上单调递减,所以在区间上的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的求导并判断函数单调性与极值的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，尤其含有参量时的导数需要进行分类讨论