广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设集合，则     ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若复数是纯虚数，其中m是实数，则(    )．‎ A. B. i C. 2i D. ‎ 3. 已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线，则“”是“”的(    )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知, 则(    )‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知函数，则其在区间上的大致图象是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 曲线上的点到直线的距离最大值为a，最小值为b，则的值是   ‎ A. B. 2 C. D. ‎ 1. 已知等差数列的前n项和为，, 则的值为      ‎ A. ‎38 B. C. D. 19‎ 2. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．20π B．16π C．8π D．17π 3. 已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则m值等于(    )‎ A. 5 B. 3 C. D. ‎ 4. 若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为 A. B. C. 0 D. ‎ 5. 如图所示,在棱长为a的正方体中， E是棱的中点，F是侧面上的动点， 且, 则F在侧面上的轨迹的长度是(    ) ‎ A. a B. C. D. ‎ 6. 设椭圆的焦点为,，P是椭圆上一点, 且, 若的外接圆和内切圆的半径分别为,，当时，椭圆的离心率为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷[来源:Zxxk.Com]‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知直线：和：，若，则 .‎ 2. 已知函数， 若恒成立，则的取值范围为______ ．‎ 3. 设等比数列满足，，则的最大值为______．‎ 4. 已知函数，点P，Q，R是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且，则______． ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70.0分） （一）必考题：60分.‎ 5. ‎（本小题满分12分）已知为数列的前n项和，且是非零常数． （1）求的通项公式（答案含）； （2）设，当时，求数列的前n项和．‎ 6. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在中，点P在BC边上，，，． Ⅰ求； Ⅱ若的面积是，求．‎ ‎ ‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且∠BAP＝∠CDP＝90°．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若，且四棱锥的侧面积为，求该四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ 2. ‎（本小题满分12分） 已知椭圆C：的两个焦点分别为,, 离心率为, 过的直线l与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8． 求椭圆C的方程； 若直线AB与椭圆C分别交于A,B两点，且，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ 1. ‎（本小题满分12分） 已知函数． Ⅰ 若函数有零点,求实数a的取值范围； Ⅱ 证明：当，时，．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 2. ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知曲线：与曲线为参数），‎ 以坐标原点为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 写出曲线，的极坐标方程； ‎ 在极坐标系中，已知l：与,的公共点分别为A,B，，当时，求的值．‎ ‎ ‎ 1. ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知 ． 求使得的的取值集合； 求证：对任意实数,（），当时，恒成立．[来源:学。科。网]‎ 佛山一中2019-2020学年上学期高三期中考试答案 数学（文科）‎ 一、 选择题 CBBAD CCADA DB ‎ ‎12.解：椭圆的焦点为,,, 根据正弦定理可得, ,．设,,则,  ‎ 由余弦定理得,,, ,又, ,即,故, 解得：或舍．‎ 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 13. ‎； 14.; 15. 64; 16. 3‎ 16. 解：函数,由,解得, ,, 设,则,, ,, , 解得, , ．故答案为：3． ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 17. 解：（1）当时,, ， ‎ 可得, ………………………………2分 ‎ 当时,, …………………………………3分 故数列的通项公式为． …………………………………4分 （2）由时,知, 故, …………………5分 当n为正偶数时，‎ ‎ …………………………8分 当n为正奇数时， …11分[来源:Z*xx*k.Com]‎ 综上，数列的前n项和． …………………………12分 ‎ ‎18.解：Ⅰ 在中，因为，，， 由余弦定理得，……………………………1分 所以， 整理得， …………………………………………………………2分 解得 ……………………………………………………………………………3分 所以 ……………………………………………………………………………4分 所以是等边三角形 ……………………………………………^………………5分 所以 …………………………………………………………………6分 Ⅱ 法1：由于是的外角，所以 …………………7分 因为的面积是，所以 ………………………8分 所以 ……………………………………………………………………………9分 ‎ 在中，，所以 ……………………………………………………………………10分 在中，由正弦定理得， …………………………………………11分 所以 ……………………12分 法2：作，垂足为D， 因为是边长为2的等边三角形， 所以 ……………………7分 因为的面积是，所以 ………………………………………8分 所以 ……………………………………………………………………………9分 所以． 在中，，……………………………………………10分 所以，． 所以 ……………11分 ……………………………………………………………12分 ‎ 19. （1）证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°．[来源:学科网]‎ ‎∴AB⊥AP，CD⊥PD，…………………………………………………………………1分 ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，‎ ‎∴AB⊥PD，………………………………………………………………………………2分 又PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD， …………………………………3分 ‎∴AB⊥平面PAD， …………………………………………………………………4分 又AB⊂平面PAB， ‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD．………………………………………………………………5分 ‎（2）解：取AD，BC的中点M，N，连接PM，MN，PN，‎ 由（1）知AB⊥平面PAD，故AB⊥AD，AB⊥PM，……………………………………6分 ‎∴MN＝AB，MN∥AB，∴BC⊥MN，‎ ‎∵PA＝PD，M是AD的中点，∴PM⊥AD，‎ 又，[来源:学§科§网]‎ ‎∴PM⊥平面ABCD，………………………………………………………………………7分 ∴PM⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PMN，故BC⊥PN． ………………………………………………………8分 设AB＝PA＝PD＝x，则ADx，PMx，MN＝x，‎ ‎∴PNx， ……………………………………………………………9分 ‎∴四棱锥P﹣ABCD的侧面积为6+2，‎ 解得x＝2，即AB＝2，∴AD＝2，PM， ……………………………………11分 ‎∴四棱锥的体积V． …………………12分 ‎20.解：由题意知,,则, …………………………………………………1分 由椭圆离心率,则．……………………………………………3分 ‎ 椭圆C的方程； ……………………………………………………………4分 由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设, 又A,B两点在椭圆C上, , 点O到直线AB的距离, ………………………………………………5分 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为． …………………………6分 设, 联立方程,消去y得． ……………7分 由已知,,, ………………………………………8分 由,则,即, …………………9分 整理得：, ． ,满足． ……………………………………………………10分 点O到直线AB的距离为定值．…………………………11分 综上可知：点O到直线AB的距离为定值． …………………………………12分 ‎21.解：Ⅰ法1：函数的定义域为． 由,得 ……………………………………………1分 因为,则时,；时, ． 所以函数在上单调递减,在上单调递增 ………………………2分 当时, ………………………………………………………3分 ‎ 当,即时,又函数有零点 …………4分 所以实数a的取值范围为 …………………………………………………………5分 法2：函数的定义域为． 由,得 ……………………………………………………1分 令,则． 当时,； 当时,． 所以函数在上单调递增,在上单调递减 ……………………………2分 故时,函数取得最大值 …………………………………3分 因而函数有零点,则 …………………………………………4分 所以实数a的取值范围为 ……………………………………………………5分 Ⅱ证明：令,则． 当时,；当时,． 所以函数在上单调递减,在上单调递增． 当时, …………………………………………………………6分 于是,当时, …………………………………………………7分 令,则． 当时,；当时,． 所以函数在上单调递增,在上单调递减． 当时, ………………………………………………………………8分 于是,当时,……………………………………………………………9分 显然,不等式、中的等号不能同时成立． 故当,时, …………………………………………………10分 ‎ 因为,所以． 所以 所以,即 ……………………………………………………12分 ‎22. 解 因，，……………………………………………1分 曲线的极坐标方程为,即．……………………2分 曲线 的普通方程为,即, ………………………3分 所以曲线 的极坐标方程为． ……………………………………………4分 由知, ‎ ‎ ……7分 , ………………………………8分 由,知, ………………………………………………………9分 当时,．………………………………………………………………10分 ‎23.解：由,即． 而表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和, …………1分 而数轴上满足的点的坐标为和, ……………………………3分 故不等式的解集为或, ………………………5分 证明：要证, 只需证 ， ………………………………………………………6分 ‎,当且仅当时取等号 , ‎ ‎, ………………………………………………………………………8分 由（1），当时， ………………………………………………9分 原命题成立. ………………………………………………………………………10分