数学文卷·2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第四次模拟考试（12月）试题（解析版）

数学文卷·2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第四次模拟考试（12月）试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试（12月）‎ 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，，‎ 所以，=，选A。‎ 考点：集合的运算，简单不等式解法。‎ 点评：小综合题，集合的运算，关键是明确集合中的元素是什么。‎ ‎2. 在复平面内，复数的模为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合复数的运算法则有：，‎ 则：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A. 31 B. 12 C. 13 D. 52‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的前n项和公式和等差数列的性质有：‎ ‎，‎ 即：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4. 已知，是空间两条不重合的直线，是一个平面，则“，与无交点”是“，”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】考虑充分性，若，与无交点，则或者与为异面直线，不一定有，即充分性不成立；‎ 反之，若，，则一定有，与无交点，即必要性成立，‎ 综上可得，“，与无交点”是“，”的必要而不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 已知双曲线：的顶点到渐近线的距离为，且其中一个焦点坐标为（5,0），则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合双曲线的焦点坐标可得：，‎ 由双曲线的方程可得，双曲线的一条渐近线方程为：，即：，‎ 一个顶点的坐标：到渐近线的距离为：，‎ 由题意结合双曲线的性质可得：，‎ 结合可得：，‎ 则双曲线方程为：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎6. 已知向量，，若向量在向量方向上的投影为2，则实数（ ）‎ A. -4 B. -6 C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：，且：，‎ 则向量在向量方向上的投影：，‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎7. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）‎ A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】绘制表格考查函数的性质如下：‎ 区间 符号 的符号 符号 的单调性 单调递减 单调递增 单调递增 据此可得，函数在处取得极小值点，在处无极值.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，在棱长为的正方体中，四面体即三视图所对应的几何体，‎ 其中：，‎ 是棱长为的正三角形，其面积为：，‎ 三条边的长度为：，‎ 边上的高为：，其面积为：，‎ 综上可得：该三棱锥的表面积为 .‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎9. 已知，满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. 3 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】绘制不等式组表达的平面区域如图所示，则目标函数，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合所给的程序框图可得框图的功能为计算：‎ 的值；‎ 裂项有：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎11. 已知三棱锥中， ，，点在底面上的射影为的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，设AC的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD=h，AB=x，则：，‎ 在Rt△OCD中：OC2=CD2+OD2,设OC=R,则：，‎ 解得：，‎ 当且仅当，即h=3 时等号成立，此时当其外接球的体积最小。‎ 即满足题意时三棱锥的高为.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎12. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设椭圆方程中的定长为，双曲线方程中的定长为，由题意可得：‎ ‎，解得：，‎ 在中应用余弦定理有：，‎ 整理可得：，则：，‎ 结合取特殊值进行排除：‎ 取，此时，排除BD选项，‎ 取，此时，排除C选项，‎ 本题选择A选项.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由函数的解析式有：，‎ 则.‎ ‎14. 直线与圆相切，则切点坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：圆心到直线的距离等于半径，‎ 圆心坐标为，半径为，直线方程为：，‎ 即：，‎ 解方程可得：.‎ 当时，直线方程为：，‎ 与圆联立可得切点坐标为：；‎ 当时，直线方程为：，‎ 与圆联立可得切点坐标为：；‎ 综上可得：切点坐标为：.‎ ‎15. 已知函数，若在区间上存在3个不同的实数，使得成立，则满足条件的正整数的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】函数的解析式，‎ ‎∵x∈(0,π)，‎ ‎∴‎ 要使有3个不同的,使得成立。‎ 需满足，‎ 解得：，‎ 满足条件的正整数的值为3.‎ ‎16. 已知（，为常数）和是定义在上的函数，对于任意的，存在使得，，且，则在上的最大值为__________............................‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】∵，‎ ‎(当且仅当x=2时,等号成立)，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵f(x)在x=2处有最小值，‎ ‎∴，‎ 即b=8，故c=−5，‎ 故，‎ 故f(x)在1,2]上是减函数,在2,4]上是增函数，‎ 而，‎ 故f(x)的最大值为5.‎ 点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得数列的公差为，则数列的通项公式是；‎ ‎(2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列的公差为 由，且，，成等差数列，得，‎ 即，‎ 得，‎ 得，解得或（舍去）.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎ ‎.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎18. 在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为.‎ ‎（1）若，求点的坐标；‎ ‎（2）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，求的最大值.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则结合三角函数的性质可得点的坐标是；‎ ‎(2)由题意结合正弦定理将边长问题转化为三角函数问题，结合辅助角公式可得的最大值是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，，，‎ 因为，所以，即.‎ 又，所以，，，‎ 所以点的坐标为.‎ ‎（2）由知，向量，同向平行，‎ 易知直线的倾斜角为，所以，即.‎ 由正弦定理得 ‎ ‎ ‎] ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，为上一点，且.‎ ‎（1）在上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)存在点，使得平面，此时.(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合余弦定理和线面垂直的判断定理可得存在点，使得平面，此时.‎ ‎(2)结合(1)中的结论结合几何体的几何关系可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中，，,由余弦定理可得，‎ ‎，，‎ ‎，即.‎ 底面，平面,,‎ ‎，平面，平面，， ，‎ 平面，又平面，.‎ 过点作于点，连接，则可知平面，，‎ ‎，，,由，可得，‎ 存在点，使得平面，此时.‎ ‎（2）由（1）得，底面为平行四边形 ‎.‎ ‎，， ‎ ‎ ，.‎ ‎20. 已知在平面直角坐标系中，椭圆：的长轴长为4，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过右焦点作一条不与坐标轴平行的直线，若交椭圆与、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得，，则椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和弦长公式可得面积函数，换元讨论可得的面积的取值范围为(0,3).‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆：的长轴长为4，离心率为，‎ ‎，，又，‎ ‎，，‎ 则椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）是点关于原点的对称点，原点是线段的中点，‎ 则（为点到直线的距离），‎ 由直线过右焦点，且不与坐标轴平行，可设直线：，，‎ 联立方程得，得.‎ 设，，‎ 则，‎ 得.‎ 又，‎ 则，‎ 令，则在上单调递增，则，‎ 则，即的面积的取值范围为(0,3)‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎21. 已知.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若为的导函数，有两个不相等的极值点，，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)在区间上单调递增.(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合导函数可得在区间上单调递增.‎ ‎(2)对函数求导有，结合二次函数的性质可得.构造函数，结合函数的性质可得最小值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ ‎，‎ 所以在区间上单调递增.‎ ‎（2），‎ 由题意得，和是方程的两个不相等的正实根，则 ‎，解得，‎ ‎，.‎ 由于，所以，.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 令，，则 ‎，‎ 当时，；当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 则，‎ 所以最小值为.‎ 当时生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在极坐标系中，曲线的方程为 ‎，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为，（为参数）‎ ‎（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到曲线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】(1)的参数方程为，（为参数）.的普通方程为.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意利用转化公式可得的参数方程为，（为参数）.的普通方程为.‎ ‎(2)将原问题转化为三角函数问题可得曲线上的点到曲线的距离的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得，‎ 则，即，‎ 所以曲线的参数方程为，（为参数）.‎ 由（为参数）消去参数，整理得的普通方程为.‎ ‎（2）设曲线上任意一点，点到直线的距离 ‎.‎ 因为，所以，‎ 即曲线上的点到曲线的距离的取值范围是.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在实数使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1).(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意分类讨论可得不等式的解集是.‎ ‎(2)将问题转化为成立，结合绝对值不等式的性质可得实数的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，，当时，，‎ 得，‎ 当时，，得.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）将问题转化为成立即可.‎ 因为，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎ ‎