河北省沧州市第一中学2019-2020学年高三12月月考数学试卷

河北省沧州市第一中学2019-2020学年高三12月月考数学试卷

数学试题 一． 选择题：‎ ‎1、已知复数，则等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、设P和Q是两个集合，定义集合=，如果，,那么等于（ ） ‎ ‎3、下列命题是真命题的是（ ） ‎ ‎ 若，则 ‎ ‎ 若向量 若,则 ‎ ‎4、 已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）‎ ‎5、若函数是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是（ ）‎ ‎ ‎ ‎6、设等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ）‎ ‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎7、已知函数，若有，则的取值范围是（ ）‎ ‎ [0，＋∞） （0，＋∞） [1，＋∞） （1，＋∞）‎ ‎8、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）‎ ‎ ‎ ‎9、定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ） ‎ ‎ 　 ‎ ‎10、已知数列满足：,若且数列是单调递增数 列，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎11、已知函数，存在的零点，满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C. D．‎ ‎12、已知定义在上的函数则下列结论中,错误的是（ ）‎ A． B．函数的值域为 ‎ C．将函数的极值由大到小排列得到数列，则为等比数列 D．对任意的，不等式恒成立 二．填空题 第14题图 ‎13、 已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为 . ‎ 14、 若函数的图象 如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .‎ ‎15、已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是________．‎ ‎16、已知定义在R上的函数满足：，‎ ‎，则方程在区间上的所有实根之和为 .‎ 三．解答题 ‎17、已知是直线与函数图像的两个相邻交点，且 ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎(Ⅱ)在锐角中，分别是角A，B，C的对边，若 的面积为，‎ 求的值. ‎ ‎18、 如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，‎ ‎，四边形是矩形，平面平面，‎ ‎，和分别是和的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ 19. 忽如一夜春风来，翘首以盼的5G时代，已然在全球“多点开花”，一个万物互联的新时代，即将呈现在我们的面前。为更好的满足消费者对流量的需求，中国电信在某地区推出六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如表：‎ 套餐 A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ 月资费x（元）‎ ‎38 ‎ ‎48 ‎ ‎58 ‎ ‎68 ‎ ‎78 ‎ ‎88 ‎ 购买人数y（万人）‎ ‎16.8 ‎ ‎18.8 ‎ ‎20.7 ‎ ‎22.4 ‎ ‎24.0 ‎ ‎25.5 ‎ 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎75.3 ‎ ‎24.6 ‎ ‎18.3 ‎ ‎101.4 ‎ 其中vi=lnxi，ωi=lnyi，且绘图发现，散点（vi，ωi）（1≤i≤6）集中在一条直线附近。‎ ‎（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；‎ ‎（2）按照某项指标测定，当购买人数y与月资费x的比在区间（）内，该流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”。现有一家三口从这六款套餐中，购买不同的三款各自使用。记三人中使用“主打套餐”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望。‎ 附：对于一组数据（v1，ω1），（v2，ω2），…，（vn，ωn），其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为。 ‎ ‎ ‎ ‎20、（本题10分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A ‎，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎(Ⅱ)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，‎ 使PB2⊥QB2，求直线l的方程．‎ 数学答案 BABDA DCDBC DC ‎ ‎17.解：（1）…3分 由函数的图象及，得到函数的周期，解得 ‎ ‎（2）‎ 又是锐角三角形，‎ 由 ‎ 由余弦定理得 ‎ ‎18、（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点， ‎ 所以， 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ 设，连接，‎ 因为为菱形，所以为中点 在中，因为，，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ 又因为，平面， ‎ 所以平面平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：取的中点，连接，‎ 因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，‎ 因为平面平面，所以平面， 所以平面，‎ 因为为菱形，所以，得两两垂直.‎ 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，‎ 如图建立空间直角坐标系. ‎ 因为底面是边长为的菱形，，，‎ 所以，，，，，‎ ‎. ‎ 所以，. 设平面的法向量为，‎ 令，得. ‎ 由平面，得平面的法向量为，‎ 则 ‎ 所以二面角的大小为. ‎ ‎19、解：（1）因为散点（vi，ωi）（1≤i≤6）集中在一条直线附近， 设回归方程为ω=bv+a， 由， 则b= a=3.05×4.1=1，故变量ω关于v的回归方程为ω=v+1。 又vi=lnxi，ωi=lnyi，故lny =lnx +1y= 综上，y关于x的回归方程为y=。 （2）由＜x＜81，所以x=58，68，78， 即C、D、E为“主打套餐”。 则三人中使用“主打套餐”的人数X服从超几何分布，X=0，1，2，3。 且P（X=0）=，P（X=1）= P（X=2）=，P（X=3）=。 X分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴期望E（X）=0××。 ‎ ‎ 20、　 （1） 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．‎ 因△AB1B2是直角三角形，‎ 又|AB1|＝|AB2|，‎ 故∠B1AB2为直角，‎ 因此|OA|＝|OB2|，得b＝.‎ 结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，‎ 故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.………3分 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1. ‎ ‎(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2， y2)，则y1，y2是上面方程的两根，‎ 因此y1＋y2＝，y1·y2＝－， ‎ 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，‎ 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2‎ ‎＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16‎ ‎＝－－＋16＝－，‎ 由PB2⊥QB2，得·＝0，‎ 即16m2－64＝0，解得m＝±2 ‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0. ‎