高考文科数学复习：夯基提能作业本 (19)
第七节 正弦定理和余弦定理
A组 基础题组
1.在△ABC中,若sinAa=cosBb,则B的值为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32且b
c.已知BA·BC=2,cos B=13,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
B组 提升题组
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=(b+c)2,则cos A等于( )
A.45 B.-45 C.1517 D.-1517
13.如图,在△ABC中,∠C=π3,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=22,则cos∠A=( )
A.223 B.24 C.64 D.63
14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cos A=35,则b= .
15.(2016吉林东北师大附中月考)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,且2acos2C2+2ccos2A2=52b.
(1)求证:2(a+c)=3b;
(2)若cos B=14,S=15,求b.
16.(2016福建厦门南安一中、海沧实验中学联考)如图,△ABC中,已知点D在BC边上,且AD·AC=0,sin∠BAC=223,AB=32,BD=3.
(1)求AD的长;
(2)求cos C.
17.(2017安徽师大附中模拟)已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足cos 2A-
cos 2B=2cosπ6-A·cosπ6+A.
(1)求角B的值;
(2)若b=3且b≤a,求2a-c的取值范围.
答案全解全析
A组 基础题组
1.B 由正弦定理知sinAsinA=cosBsinB,
∴sin B=cos B,∴B=45°.
2.C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵bc,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sin B=1-cos2B
=1-132=223,
由正弦定理,得sin C=cbsin B=23×223=429.
因a=b>c,所以C为锐角.
因此cos C=1-sin2C=1-4292=79.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=13×79+223×429=2327.
B组 提升题组
12.D 由S=12bcsin A及S+a2=(b+c)2,
得a2=b2+c2-2bc14sinA-1,由余弦定理可得14sin A-1=cos A,结合sin2A+cos2A=1,可得cos A=-1517或
cos A=-1(舍去).
13.C 因为DE⊥AB,DE=22,所以AD=22sin∠A,
所以BD=AD=22sin∠A.
因为AD=DB,所以∠A=∠ABD,
所以∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.
在△BCD中,由BDsin∠C=BCsin∠BDC,得22sin∠A32=4sin2∠A,整理得cos∠A=64.
14.答案 57
解析 因为cos A=35,所以sin A=1-cos2A=1-352=45,
所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=45cos 45°+35sin 45°=7210.
由bsinB=csinC,得b=17210×sin 45°=57.
15.解析 (1)证明:由条件得a(1+cos C)+c(1+cos A)=52b,
由于sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,
即acos C+ccos A=b,所以a+c=32b,
即2(a+c)=3b.
(2)在△ABC中,因为cos B=14,所以sin B=154.
由S=12acsin B=1815ac=15,得ac=8,
又b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B),2(a+c)=3b,
所以5b24=16×1+14,所以b=4.
16.解析 (1)因为AD·AC=0,所以AD⊥AC,所以sin∠BAC=sinπ2+∠BAD=cos∠BAD,
所以cos∠BAD=223.
在△ABD中,由BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD,
得AD2-8AD+15=0,解之得AD=5或AD=3,
由于AB>AD,所以AD=3.
(2)在△ABD中,由cos∠BAD=223,
可知sin∠BAD=13,
由正弦定理可知,BDsin∠BAD=ABsin∠ADB,
所以sin∠ADB=ABsin∠BADBD=63,
又因为sin∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=sinπ2+∠C=cos C,所以cos C=63.
17.解析 (1)∵2cosπ6-Acosπ6+A
=232cosA+12sinA32cosA-12sinA
=234cos2A-14sin2A=32cos2A-12sin2A=32-2sin2A,
cos 2A-cos 2B=1-2sin2A-(2cos2B-1)=2-2sin2A-2cos2B,
∴2-2sin2A-2cos2B=32-2sin2A,
∴cos2B=14,
∴cos B=±12,
∴B=π3或2π3.
(2)∵b=3≤a,∴B=π3,
由asinA=bsinB=csinC=332=2,
得a=2sin A,c=2sin C,
故2a-c=4sin A-2sin C=4sin A-2sin23π-A
=3sin A-3cos A=23sinA-π6,
因为b≤a,所以π3≤A<23π,所以π6≤A-π6<π2,
所以2a-c=23sinA-π6∈[3,23).
