2019-2020学年河南省鹤壁市高级中学高一上学期第二次段考数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省鹤壁市高级中学高一上学期第二次段考数学试题
一、单选题
1.已知集合,集合,若,则集合的子集个数为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】B
【解析】求出集合、,得出集合,确定集合的元素个数,利用子集个数公式可得出集合的子集个数.
【详解】
当时,;
当时,.
所以,集合.
集合,,
集合有两个元素,因此,集合的子集个数为,故选:B.
【点睛】
本题考查集合子集个数的计算,考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法,解题时要注意集合子集个数结论的应用,属于中等题.
2.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据的定义域求出的定义域,再根据的定义域求出的定义域.
【详解】
解:函数的定义域为,即,
,即的定义域为,
,解得,
故选:C.
【点睛】
本题考查了函数的定义域的求法,是基础题.
3.函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先确定函数在上单调递减,然后可以计算最小值,从而求出值域.
【详解】
函数在为单调递减函数,
当时,无最大值,
所以值域为,故选A.
【点睛】
本题考查求函数的值域,确定函数的单调性是解题的关键,属于基础题.
4.若幂函数f(x)的图象过点(16,8),则f(x)
0,再根据幂函数的单调性得到00,故函数
f(x)在定义域是[0,+∞),故f(x)在[0,+∞)递增,故 ,解得x>1.故选D.
【点睛】
(1) 本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法,考查幂函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 幂函数在是增函数,,幂函数在是减函数,且以两条坐标轴为渐近线.
5.己知函数在上是减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,
∴函数为减函数,
要使函数在上是减函数,需满足
,解得。
∴实数的取值范围是。选B。
点睛:
复合函数的单调性满足“同增异减”的性质,解答本题时要注意题目的隐含条件,即且,并由此得到函数为减函数,进一步可得。同时还应注意定义域的限制,对数的真数要满足大于零的条件,这一点在解题中很容易忽视。
6.为了得到函数的图像,可以把函数的图像( ).
A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】分析:函数化成:,利用函数的平移变换可得结果.
详解:∵函数化成:,
∴可以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,
故选.
点睛:本题主要考查指数的运算以及函数的“平移变换“,属于中档题. 函数图像的确定除了可以直接描点画出外,还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到,在变换过程中一定要注意变换顺序.
7.已知上的单调函数满足,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据可求得,可知在时单调递减,从而得到在上单调递减;根据对数函数单调性和临界点的大小关系可得到不等式组,解不等式组求得结果.
【详解】
当时,单调递减
为上的单调函数 ,解得:
本题正确选项:
【点睛】
本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题,关键是明确分段函数在上单调需保证在每一段上单调,且在临界点位置大小关系满足单调性,属于常考题型.
8.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分别令,根据的函数值,对选项进行排除,由此得出正确选项.
【详解】
由四个选项的图像可知,令,,由此排除C选项.令,,由此排除B选项.由于,排除D选项.故本小题选A.
【点睛】
本小题主要考查函数图像的判断,考查利用特殊点排除的方法,属于基础题.
9.标准的围棋棋盘共行列,个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有种不同的情况;而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即,下列数据最接近的是 ()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意,对取对数可得,即可得
,分析选项即可得答案.
【详解】
据题意,对取对数可得,即可得
分析选项:B中与其最接近,
故选B.
【点睛】
本题考查对数的计算,关键是掌握对数的运算性质.
10.,则( )
A.1-a B. C.a-1 D.-a
【答案】A
【解析】【详解】
又,所以
.
故选A
本题考查对数的运算.代数式的变形和运算.
11.设实数,,分别满足,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于和
的比较中,分别设为函数,求导并研究其函数的单调性,再与特殊值的函数值比较大小,从而知 与中介值 的大小,比较出之间的大小关系.
【详解】
因为且,所以
令,则 令得
当时,所以在单调递增,
且又因为,所以
令则则在上单调递增,
且又因为,所以
所以。
故选B.
【点睛】
本题考查比较大小,关键在于和的比较中,设函数,并研究其单调性,再与中介值的函数值比较,属于难度题.
12.已知函数,若方程有5个解,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用因式分解法,求出方程的解,结合函数的性质,根据题意可以求出的取值范围.
【详解】
,
,或,由题意可知:,由题可知:当时,
有2个解且有2个解且 ,
当时,,因为,所以函数是偶函数,当时,函数是减函数,故有,函数是偶函数,所以图象关于纵轴对称,即当时有,,所以,综上所述;
的取值范围是,故本题选D.
【点睛】
本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题,正确分析函数的性质,是解题的关键.
二、填空题
13.设,则的值为__________.
【答案】1
【解析】由,得,,所以.
14.若函数为奇函数,则________.
【答案】
【解析】根据题意,当时,为奇函数,,则
故答案为.
15.若函数存在零点,且与函数的零点完全相同,则实数的值为________.
【答案】1
【解析】不妨先令为函数零点,得到,根据函数与函数的零点完全相同,得到,进而可求出结果.
【详解】
因为函数存在零点,不妨令为函数零点,则,
又函数与函数的零点完全相同,
所以,即,所以.
故答案为1
【点睛】
本题主要考查根据函数零点相同求参数的问题,熟记复合函数的相关知识即可,属于常考题型.
16.已知函数f(x)的值域为R,则a的取值范围为_____.
【答案】
【解析】讨论a的取值范围,分别求出两个函数的 取值范围,结合函数的值域是R,建立不等式关系进行求解即可.
【详解】
当a≤0时,不满足条件.
当a>0时,
若0<x<2,则f(x)=a+log2x∈(﹣∞,a+1),
当x≥2时,f(x)=ax2﹣3∈[4a﹣3,+∞),
要使函数的值域为R,
则4a﹣3≤a+1,
得a≤,即实数a的取值范围是(0,],
故答案为:(0,]
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用,求出函数的各自的取值范围,结合函数的值域建立不等式关系是解决本题的关键.分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者。
三、解答题
17.设.
(1)化简上式,求的值;
(2)设集合,全集为,,求集合中的元素个数.
【答案】(1)218 (2)个
【解析】(1)根据根式和对数化简求出的值
(2)求出集合,结合元素个数进行判断即可
【详解】
解:(1)原式
(2),,,
所以中元素个数为.
【点睛】
本题主要考查根式与指数幂的化简,以及集合的基本运算,结合补集交集的定义是解决本题的关键
18.设函数的定义域为A,集合.
(1)若,求;
(2)若集合中恰有一个整数,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)求出的定义域确定出,把代入求出解集确定出,求出即可;(2)根据集合,分或两种情况,根据中恰有一个整数确定出的范围即可.
试题解析:(1) 由, 得:,
解得:,把代入中得:,解得,即,则.
(2)当时,,若只有一个整数,则整数只能是,,当时,若只有一个整数,则整数只能是
,综上所述,实数的取值范围是.
【考点】函数的性质,函数的定义域,集合的基本运算.
19.已知定义域为的函数是奇函数。
(1)求的值;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求m的取值范围;
【答案】(1) ; (2)
【解析】(1)根据为奇函数且定义域为,利用和构造出方程,求解得到结果;(2)根据解析式可判断出单调递减;利用奇偶性和单调性将所求不等式变为,从而将问题转变为恒成立,根据判别式求得结果.
【详解】
(1)是奇函数,且定义域为
即,解得:
又得:
(2)由(1)知
在上单调递增 在上单调递减
在上单调递减
由得:
为减函数,由上式得:
即对一切有:
【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求解析式、利用函数奇偶性和单调性求解不等式的问题,关键在于能够通过函数的奇偶性统一符号,利用单调性变成自变量的大小关系,从而利用二次函数的图象和性质求得结果.
20.已知函数与函数且图象关于对称
(Ⅰ)若当时,函数恒有意义,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数最小值.
【答案】(Ⅰ)且;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由题意,求得函数的解析式为,进而得到,再利用对数函数的性质,即求解.
(Ⅱ)由(1)得,令,得到,利用二次函数的性质,即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意,可知函数与函数且图象关于对称,
所以函数的解析式为,
所以,
又由当时,函数恒有意义,所以在上恒成立,
设,则在上为单调递减函数,
则,解得,
所以实数的取值范围.
(Ⅱ)由(1)知函数,所以
令,则,
当时,函数
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的关系,以及对数函数与二次函数的图象与性质的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
21.已知函数.
(Ⅰ)若函数在区间和上各有一个零点,求的取值范围;
(Ⅱ)若在区间上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)根据二次函数图象以及零点存在定理列不等式,解得的取值范围,(2)根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论满足题意的条件,解不等式得的取值范围.
【详解】
(Ⅰ)因为函数在区间和上各有一个零点,
所以有 解得
所以的取值范围为:
(Ⅱ)要使在区间上恒成立,需满足
或或
解得:无解或 或 无解 所以
所以的取值范围为:.
【点睛】
研究二次函数最值或单调性,一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论;研究二次方程在定义区间有解,一般从开口方向,对称轴位置,判别式正负,以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑.
22.近年来,中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁,百般刁难,并不断加大对各国的施压,拉拢他们抵制华为5G,然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录,海外增长同样强劲.今年,我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万,每生产(千部)手机,需另投入成本万元,且 ,由市场调研知,每部手机售价0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
()求出2020年的利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式,(利润=销售额—成本);
2020年产量为多少(千部)时,企业所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)2020年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是9000万元.
【解析】(Ⅰ)根据销售额减去成本(固定成本万和成本)求出利润函数即可.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.
【详解】
(Ⅰ)当时,;
当时,,
.
(Ⅱ)若,,
当时,万元 .
若,,
当且仅当时,即时,万元 .
2020年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是9000万元.
【点睛】
解函数应用题时,注意根据实际意义构建目标函数,有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时,注意利用函数的单调性或基本不等式.