【数学】2019届一轮复习人教A版　三角函数的图象与性质学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　三角函数的图象与性质学案

专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 高考导航 ‎ 三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题．‎ ‎2．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质.‎ ‎1．(2016·四川卷)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点( )‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎[解析] 因为y＝sin＝sin，所以只需把函数y ‎＝sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可，故选D.‎ ‎[答案] D ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 ‎[解析] f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．‎ ‎[答案] D ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．‎ ‎[解析] ∵f(x)＝sin2x＋cosx－ ‎＝－cos2x＋cosx＋ ‎＝－2＋1，‎ 又∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1.‎ ‎∴当cosx＝时，f(x)有最大值，最大值为1.‎ ‎[答案] 1‎ ‎4．(2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎[解] (1)由sin＝，cos＝－，‎ f＝2－2－2××，‎ 得f＝2.‎ ‎(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得 f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈ ，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ ，‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈ )．‎ 考点一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式 ‎1．三角函数的定义 若角α的终边过点P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(其中r＝)．‎ ‎2．诱导公式 ‎(1)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈ )，cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈ )，tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈ )．‎ ‎(2)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝＝tanα.‎ ‎(3)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.‎ ‎(4)sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.‎ ‎(5)sin＝cosα，cos＝sinα，‎ sin＝cosα，cos＝－sinα.‎ ‎3．基本关系 sin2x＋cos2x＝1，tanx＝.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．已知sin＝，则cos＝( )‎ A．－ B. C. D．－ ‎[解析] cos＝cos ‎＝sin＝sin ‎＝－sin＝－sin＝－.‎ ‎[答案] A ‎2．已知P(sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝( )‎ A．40° B．50° C．70° D．80°‎ ‎[解析] ∵P(sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tanα＝＝＝＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B.‎ ‎[答案] B ‎3．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，‎ tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.‎ ‎[答案] C ‎4．若θ∈，则 ＝________.‎ ‎[解析] 因为 ‎＝＝＝|sinθ－cosθ|，‎ 又θ∈，所以原式＝sinθ－cosθ.‎ ‎[答案] sinθ－cosθ ‎ 利用诱导公式进行化简求值的3步 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其三步骤记为：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．‎ ‎【易错提醒】 “奇变偶不变，符号看象限”，把角看作“k·＋α，k∈ ”的形式．‎ 考点二 三角函数的图象与解析式 ‎1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 设 ＝ωx＋φ，令 ＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎2．两种图象变换 ‎[解] (1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ‎＝sinωx－cosωx ‎＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈ .‎ 故ω＝6k＋2，k∈ ，又0<ω<3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，‎ 所以x－∈，‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎[探究追问] (1)在本例中将f＝0改为f＝，其余条件不变，求ω的值．‎ ‎(2)本例中将f＝0改为若函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为，其余条件不变，求ω的值．‎ ‎(3)本例中将f＝0改为若函数图象上最高点与最低点距离的最小值为 ，其余条件不变，求ω的值．‎ ‎(4)设函数g(x)＝sin，若x∈，‎ g(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎[解] (1)由题意得f(x)＝sin，‎ 则由f＝可得，sin＝，‎ 即sin＝1，‎ 所以－＝2kπ＋，k∈ ，解得ω＝k＋2，k∈ .‎ 因为0<ω<3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由题意得f(x)＝sin，‎ 因为相邻两个对称中心之间的距离为，‎ 所以函数的周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2.‎ ‎(3)由题意得f(x)＝sin，‎ 所以函数f(x)的最大值为，最小值为－，‎ 不妨设最高点A(x1，)，最低点B(x2，－)，则|AB|＝＝.‎ 由题意知|AB|的最小值为 ，所以|x1－x2|≥，‎ 所以函数的周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2.‎ ‎(4)由[典例1]可知，g(x)在上的最小值为 ‎－，所以m≤－.‎ ‎(1)此类题目是三角函数问题中的典型题型，该题综合考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换、由三角函数值求参数、三角函数图象的变换、三角函数在指定区间上的最值等，考查运算求解能力、逻辑推理能力以及转化与化归思想、应用意识等。第(1)问，突破传统的由函数周期求ω的命题思路，利用三角函数的一个零点以及ω的取值范围求ω的值，构思巧妙，尤其是几个探究追问，更将与ω有关的量展示的淋漓尽致．第(2)问考查函数在指定区间上的最值问题，函数g(x)解析式的给出融合了三角函数图象的伸缩、平移变换，增加了试题难度。而追问(4)将恒成立问题转化为最值问题，是常见的转化策略．‎ ‎(2)三角函数图象问题的处理策略 ‎①在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎②在利用图象求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图象过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈ )，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值．‎ ‎【易错提醒】 一般地，由最高点或最低点确定的φ唯一，由零点确定的φ不唯一，需依据图象的升降进行取舍．‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎[解析] y＝sin＝cos ‎＝cos＝cos.‎ 由y＝cosx的图象得到y＝cos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；由y＝cos2x的图象得到y＝cos的图象，需将y＝cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度，故选D.‎ ‎[答案] D ‎2．(2017·洛阳统考)‎ 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )‎ A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin ‎[解析] 由题中图象可知＝－，∴T＝π，∴ω＝ ‎＝2，故排除A、C，把x＝代入检验知，选项D符合题意．‎ ‎[答案] D 考点三 三角函数的性质 ‎1．三角函数的单调区间 y＝sinx的单调递增区间是(k∈ )，单调递减区间是(k∈ )；‎ y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈ )，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈ )；‎ y＝tanx的递增区间是(k∈ )．‎ ‎2．三角函数的奇偶性与对称性 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈ )时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈ )时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈ )求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈ )时为奇函数；当φ＝kπ(k∈ )时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈ )求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈ )时为奇函数．‎ ‎ ‎ A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于点对称, ‎ ‎[解析] ∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，‎ ‎∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，∴－＋φ＝kπ，k∈ ，φ＝＋kπ，k∈ ，又|φ|<，∴<，∴k＝－1，φ＝－，∴f(x)＝sin，当x＝时，2x－＝－，‎ ‎∴A、C错误，当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．‎ ‎[答案] B ‎[探究追问] 在例2－1中条件不变，若将“图象关于原点对称”改为“图象关于y轴对称”，则f(x)的图象对称性是怎样的？‎ ‎[解析] g(x)的图象关于y轴对称，则－＋φ＝＋kπ，k∈ ，可求φ＝，∴f(x)＝sin，2x＋＝kπ，k∈ ，可得x＝－，k∈ ，令k＝1，则x＝，故选D.‎ ‎[答案] D 角度2：求三角函数的单调区间及最值 ‎【例2－2】 (2017·山东聊城一中检测)已知函数f(x)＝(2cosωx＋sinωx)sinωx－sin2(ω>0)，且函数y＝f(x)的图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的值域．‎ ‎[思维流程] (1)→‎ ‎→→ ‎(2)→ ‎[解] (1)f(x)＝2cosωx·sinωx＋sin2ωx－cos2ωx ‎＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin.‎ 由f(x)图象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为，知·＝，即ω＝1.所以f(x)＝2sin，‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈ .‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈ .‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈ )．‎ ‎(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.‎ 即函数f(x)的值域为[－1,2]．‎ ‎(1)求单调区间的两种方法 ‎①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ 为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝ ，则y＝Asin (或y＝Acos )，然后由复合函数的单调性求得．‎ ‎②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．‎ ‎(2)判断对称中心与对称轴 利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎(3)三角函数的周期的求法 ‎①利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎②利用图象．‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1．[角度1](2017·重庆模拟)若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 依题意得，f(x)＝sin的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T＝＝2×＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin.当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈ ，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈ 时，f(x)＝sin单调递增．因此结合各选项知，f(x)＝sin 的一个单调递增区间为，选A.‎ ‎[答案] A ‎2．[角度2](2017·银川模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是( )‎ A．在上是增函数 B．其图象关于直线x＝－对称 C．函数g(x)是奇函数 D．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1]‎ ‎[解析] f(x)＝sin2x＋cos2x＝2＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos2x.‎ 其图象如图．‎ 由图可知，函数在上是减函数，A错误；其图象的对称中心为，B错误；函数为偶函数，C错误；2cos＝1,2cos＝－1，‎ ‎∴当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1]，D正确．故选D.‎ ‎[答案] D 热点课题7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质的综合应用 ‎[感悟体验]‎ ‎1．(2017·湖南省湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )‎ A.(k∈ )‎ B.(k∈ )‎ C.(k∈ )‎ D.(k∈ )‎ ‎[解析] 因为f(x)≤对x∈R恒成立，即＝＝1，所以φ＝kπ＋(k∈ )．因为f>f(π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ ‎)，即sinφ<0，所以φ＝－π＋2kπ(k∈ )，所以f(x)＝sin，所以由三角函数的单调性知2x－∈(k∈ )，得x∈(k∈ )，故选C.‎ ‎[答案] C ‎2．(2017·山西长治联考)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，且在上有且仅有三个零点，若f(0)＝－f，则ω＝( )‎ A. B．2 C. D. ‎[解析] ∵函数f(x)＝sin(ω>0)，f(0)＝－f，即f(0)＋f＝0，‎ ‎∴f(x)的图象关于点对称，故sin＝0，故有ω－＝kπ，k∈ .①‎ ‎∵f(x)在上有且仅有三个零点，故有<<·，‎ ‎∴6>ω>4.②‎ 综合①②，结合所给的选项，可得ω＝.故选D.‎ ‎[答案] D