云南省曲靖市第一中学2020届高三模拟考试数学（理）试题

云南省曲靖市第一中学2020届高三模拟考试数学（理）试题

曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试 数学（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）‎ ‎1. 已知集合，集合，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 若复数是纯虚数，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3. 定义运算，则函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=‎10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 若是的充分不必要条件，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，‎ 则①处应填的数字为（ ）‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．6‎ ‎8. 已知满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9. 已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）‎ A．6 B． C．3 D．‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知的值域为,当正数满足时,则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）‎ ‎13. 的展开式中的系数为______.‎ ‎14. 在平行四边形中，，,则的值为_____.‎ ‎15. 在直三棱柱内有一个与其各面都相切的，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.‎ ‎16. 在数列中，，，则数列的通项公式______.‎ 三、 解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每 道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数 (1) 当时，求函数的值域；‎ (2) 的角的对边分别为且 求边上的高的 最大值.‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，三棱锥中，‎ ‎, ‎ ‎(1) 证明：；‎ ‎(2) 求二面角的余弦值． ‎ ‎19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：‎ 研发费用（百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ 销量（万盒）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；‎ ‎（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．‎ 附：（1）相关系数 ‎（2），，，．‎ ‎20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆的左右焦点分别为，离心率是直线上的两个动点，且满足.‎ ‎(1) 若，求的值；‎ ‎(2) 证明：当取最小值时，与共线．‎ ‎21.（本小题满分12分）设函数，且函数在处的切线与直线平行.‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 若函数，求证：恒成立.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：‎ ‎（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 已知函数，（其中）‎ ‎(1) 求函数的最小值.‎ ‎(2) 若，求证：.‎ 曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 C B A A D B C D C D A D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.40 14. -3 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：(1)=‎ ‎ ‎ 函数的值域为(6分)‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最大值为(12分)‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：(1)取AB中点O，连结PO，OC.‎ ‎∵PA＝PB，∴PO⊥AB，‎ ‎∵PB=AP＝ ‎∴PO＝，CO＝1‎ ‎∴∠POC为直角 ‎∴PO⊥‎‎0C ‎∴PO⊥平面ABC，∴面PAB⊥面ABC（6分）‎ ‎(2)如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，P(0,0，)，C(0,1,0)，可取m＝＝(0,1,0)为平面PAB的一个法向量．‎ 设平面PAC的一个法向量为n＝(l，m，n)．‎ 则·n＝0，·n＝0，其中＝(1,0，－)， ‎＝(－1,1,0)，‎ ‎∴∴ 不妨取l＝，则n＝(，，1)．‎ cos〈m，n〉＝ ‎＝＝.‎ ‎∵C－PA－B为锐二面角，‎ ‎∴二面角C－PA－B的余弦值为.（12分）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知，‎ ‎，‎ 由公式，‎ ‎，∴与的关系可用线性回归模型拟合；‎ ‎（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为 ‎，，，‎ 由题意， ，‎ ‎.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：由e＝，得b＝c＝a，所以焦点F1(－a,0)，F2(a,0)，直线l的方程为x＝a，设M(a，y1)，N(a，y2)，‎ ‎ (1)∵||＝||＝2，∴a2＋y＝20，a2＋y＝20，消去y1，y2，得a2＝4，故a＝2，b＝.（6分）‎ ‎(2)|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝‎6a2.‎ 当且仅当y1＝－y2＝a或y2＝－y1＝a时，|MN|取最小值a，‎ 此时，＋＝(a，y1)＋(a，y2)＝(‎2a，y1＋y2)＝(‎2a,0)＝2，故＋与共线.（12分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：(1)‎ ‎，解得.(4分)‎ ‎(2) 得，变形得 令函数 令解得 当时，时.‎ 函数在上单调递增，在上单调递减 而函数在区间上单调递增 即 即 恒成立（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）消去参数，得直线的普通方程为，‎ 将两边同乘以得，，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为；‎ ‎（2）经检验点在直线上，可转化为①，‎ 将①式代入圆的直角坐标方程为得，‎ 化简得，‎ 设是方程的两根，则，，‎ ‎∵，∴与同号，‎ 由的几何意义得.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 解: (1)‎ ‎(2)证明：为要证 只需证， 即证，‎ 也就是，即证，即证，‎ ‎∵，‎ ‎∴，故即有，‎ 又 由可得成立，‎ ‎∴ 所求不等式成立．‎