2020届高三数学（文）“大题精练”8

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2020 届高三数学（文）“大题精练”8 17．（12 分）在公差为 2 的等差数列 na 中， 1 1a  ， 2 2a  ， 3 4a  成等比数列. （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2n na  的前 n 项和 nS . 18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 17PA PD  ， E 为 PA 的中点，点 F 在 PD 上， EF  平面 PCD ， M 在 DC 的延 长线上，且 2 15MC CD . (1)证明: / /EF 平面 PBM . (2)过点C 作 BD 的平行线，与直线 AB 相交于点G ，点Q 为 CG 的中点，求 E 到平面 PDQ 的距离. 19．（12 分）某农户考察三种不同的果树苗 A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗 A 的自 然成活率为 0.8，引种树苗 B、C 的自然成活率均为 0.9. （1）若引种树苗 A、B、C 各 10 棵. ①估计自然成活的总棵数； ②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗 A 的概率； （2）该农户决定引种 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽 培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可 获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种 B 种 树苗多少棵? 20．（12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，焦距为 2． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 y kx 与椭圆 C 交于点 E，F，过点 E 作 EM x 轴于点 M，直线 FM 交椭圆 C 于另一点 N，证明： EF EN ． 21．（12 分）已知函数   3 2f x x ax    . （1）讨论  f x 的单调性； （2）若  f x 在[ 1, )  上只有一个零点，求 a 的取值范围. (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分. 22．（10 分）在极坐标系中，已知曲线 1C 的方程为 6sin  ，曲线 2C 的方程为 sin( ) 13     ．以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy ． （1）求曲线 1C ， 2C 的直角坐标方程； （2）若曲线 2C 与 y 轴相交于点 P ，与曲线 1C 相交于 A ， B 两点，求 1 1 PA PB  的值． 23. （10 分）设不等式|| 1| | 1|| 2x x    的解集为 A ． （1）求集合 A ； （2）若 a ，b ， c AÎ ，求证： 1 1abc ab c   2020 届高三数学（文）“大题精练”8（答案解析） 17．（12 分）在公差为 2 的等差数列 na 中， 1 1a  ， 2 2a  ， 3 4a  成等比数列. （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2n na  的前 n 项和 nS . 【解析】（1）∵ na 的公差为 2d  ,∴ 2 1 2a a  , 13 4a a  .∵ 1 1a  , 2 2a  , 3 4a  成等 比数列, ∴    2 1 1 11 8 4a a a    ,解得 1 8a  ,从而  8 2 1 2 6na n n     . （2）由（1）得 2 6na n  , 2 (2 6) 2n n na n     ，    28 10 2 6 2 2 2n nS n          .  8 2 6 2 2 2 2 1 2 nn n         17 2 2nn n     2 17 2 2nn n     18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 17PA PD  ， E 为 PA 的中点，点 F 在 PD 上， EF  平面 PCD ， M 在 DC 的延 长线上，且 2 15MC CD . (1)证明: / /EF 平面 PBM . (2)过点C 作 BD 的平行线，与直线 AB 相交于点G ，点Q 为 CG 的中点，求 E 到平面 PDQ 的距离. 【解析】（1）证明:记 PB 的中点为 H ，连接 EH ，过 F 作 / /FK DM 交 PM 于 K ，连接 HK ， 则 / /EH AB ，且 1 12EH AB  .因为 EF  平面 PCD ，所以 EF PD .在 PAD 中， 17PA PD  ， 2AD  ，易求 4 17 EF  ， 15 2 17 PF  .又 2 15MC CD ，则 34 15MD  . 因为 PF KF PD MD  ，所以 1KF  . 因为 EH FK ，且 / / / / / /AB EH CD FK ，所以四边形 EFKF 是平行四边形，所以 / /EF HK ，又 HK  平面 PBM ， EF  平面 PBM ，所以 / /EF 平面 PBM . （2）因为 EF  平面 PCD ，所以 EF CD ，而 ABCD 是正方形，所以 CD AD .因为 EF 与 AD 显然是相交直线，所以CD  平面 PAD ，所以平面 PAD  平面 ABCD .记 AD 的中点为O ，连接 OP ，OQ ，则 PO  平面 ABCD ，且 17 1 4PO    .因为点Q 为CG 的中点，所以 3OQ  ， 5PQ  ， 10QD  ，在 PQD 中， 5PQ  ， 10QD  ， 17PD  ，所以 9cos 5 10 PQD  . 13sin 5 10 PQD  ，所以 1 13 135 102 25 10PQDS      ，而三棱锥 P ADQ 的体积 1 1 2 3 4 43 2V          . 记 A 到平面 PDQ 的距离为 d ，则 1 43 PQDS d   ，所以 24 13d  .因为 E 到平面 PDQ 的 距离是 A 到平面 PDQ 的距离的一半，所以 E 到平面 PDQ 的距离为 12 13 . 19．（12 分）某农户考察三种不同的果树苗 A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗 A 的自 然成活率为 0.8，引种树苗 B、C 的自然成活率均为 0.9. （1）若引种树苗 A、B、C 各 10 棵. ①估计自然成活的总棵数； ②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗 A 的概率； （2）该农户决定引种 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽 培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可 获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种 B 种 树苗多少棵? 【解析】（1）①依题意：10 0.8 10 0.9 10 0.9 26      ,所以自然成活的总棵数为 26. ②没有自然成活的树苗共 4 棵,其中两棵 A 种树苗、一棵 B 种树苗、一棵 C 种树苗,分别设为 1a , 2a ,b,c,从中随机抽取两棵,可能的情况有： 1 2,a a , 1,a b , 1,a c , 2 ,a b , 2 ,a c , ,b c , 抽到的两棵都是树苗 A 的概率为 1 6 . （2）设该农户种植 B 树苗 n 棵,最终成活的棵数为   30.9 1 0.9 0.8 0.964n n n     ,未能 成活的棵数为 0.96 0.04n n n  ,由题意知 0.96 300 0.04 50 200000n n    ,则有 699.3n  .所以该农户至少种植 700 棵树苗,就可获利不低于 20 万元. 20．（12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，焦距为 2． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 y kx 与椭圆 C 交于点 E，F，过点 E 作 EM x 轴于点 M，直线 FM 交椭圆 C 于另一点 N，证明： EF EN ． 【解析】（1）由题 2 2 c a  ，2 2c  ，∴ 2a  ，  1e  ， 1b  ， 故椭圆方程为 2 2 12 x y  ； （2）设 0 0( , )E x y ，  0 0,F x y  ， 0 0( ),M x ，则 0 0 0 : ( )2FM yl y x xx   ，与椭圆方程联 立得  2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 02 2 4 0x y x x y x x y x     ，由 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2N F N x yx x x x x y      得 2 3 0 0 0 2 2 0 0 3 2 2N x y xx x y   ，  0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 2 N N EN N N N y x x yy y y yxk x x x x x x x        0 0 2 3 0 0 00 02 2 0 0 3 22 2 y y x y xx xx y     2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 4 y y y x y x x x x y x y       2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 y x y x x x x y x y y       ， ∴ 0 0 0 0 1EN EF x yk k y x       ，即 EF EN . 21．（12 分）已知函数   3 2f x x ax    . （1）讨论  f x 的单调性； （2）若  f x 在[ 1, )  上只有一个零点，求 a 的取值范围. 【解析】（1）   23f x x a    .①当 0a  时，   0f x  ，  f x 在 R 上单调递减； ②当 0a  时，令   23 0f x x a     ，解得 1 3 ax   ， 2 3 ax  ， 所以  f x 在 3, 3 a      和 3 ,3 a     上单调递减，在 3 3,3 3 a a     上单调递增. （2）当 0a  时，  f x 在 R 上单调递减，且  2 6 2 0f a    ，则只需  1 1 2 0f a     ，所以 3a  ，又 0a  ，所以 0a  .当 0a  时，  f x 在 , 3 a      和 ,3 a     上单调递减，在 ,3 3 a a     上单调递增，且 2 2 03 3 3 a a af         ，①当 13 a   ，即 3a  时，若  f x 在[ 1, )  上恰好只有一个零点， 则  1 3 0f a    ，则 a 无解；②当 13 a   ，即 0 3a  时，若  f x 在[ 1, )  上 恰好只有一个零点，则 2 2 03 3 3 a a af          ，解得 3a  .综上， a 的取值范围为  ,3 . (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分. 22．（10 分）在极坐标系中，已知曲线 1C 的方程为 6sin  ，曲线 2C 的方程为 sin( ) 13     ．以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy ． （1）求曲线 1C ， 2C 的直角坐标方程； （2）若曲线 2C 与 y 轴相交于点 P ，与曲线 1C 相交于 A ， B 两点，求 1 1 PA PB  的值． 【解析】（1）由 6sin  ，得 2 6 sin   ，曲线 1C 的直角坐标方程为  22 3 9x y   ， 由 sin 13       ，得 1 3 1 3sin cos sin cos 12 2 2 2               ，曲线 2C 的 直角坐标方程为： 3 2 0x y   （2）由（1）知曲线 2C 为直线，倾斜角为 2 3  ，点 P 的直角坐标为 0,2 。直线 2C 的参 数方程为 1 2 32 2 x t y t       （t 为参数），代入曲线  22 1 : 3 9C x y   中，并整理得 2 3 8 0t t   ，设 ,A B 对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 3t t  ， 1 2 8t t   ， 1 2 1 2 8PA PB t t t t    ，  2 2 1 2 1 1 2 1 24 35PA PB t t t t t tt t        ， 1 1 35 8 PA PB PA PB PA PB     23. （10 分）设不等式|| 1| | 1|| 2x x    的解集为 A ． （1）求集合 A ； （2）若 a ，b ， c AÎ ，求证： 1 1abc ab c   ． 【解析】（1）由已知，令 2, 1 ( ) 1 1 2 , 1 1 2, 1 x f x x x x x x            … „ ，由| ( ) | 2f x  得 { | 1 1}A x x    ． （2）证明：要证 1 1abc ab c   ， 只需证|1 | | |abc ab c   ，只需证 2 2 2 2 2 21 a b c a b c   ， 只需证 2 2 2 2 21 (1 )a b c a b   ，只需证 2 2 2(1 )(1 ) 0a b c   ，由 a ，b ，c AÎ ，得 1 1ab   ， 2 1c  则 2 2 2(1 )(1 ) 0a b c   恒成立．综上可得： 1 1abc ab c  