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文档介绍
数学(理)卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期期末考试(2017-01)
天水一中高二级2016-2017学年度第一学期期末考试 数学(理科) (满分:100分 时间:90分钟) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1. 如图,空间四边形中,,点在上,且是的中点,则( ) A. B. C. D. 2. 已知,,,若三向量共面,则实数等于( ) A. B. C. D. 3. 已知的导函数图象如图,那的图象最有可能是图中的( ) A. B. C. D. 4.函数在上最大值和最小值分别是( ) A.5 , -15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 5.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( ) A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π 6. 若,则( ) A. 0 B.1 C. 2 D.3 7.曲线上一点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 8. 已知对任意恒成立,则a的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知函数的图象如图所示(其中是定义域为的函数的导函数),则以下说法错误的是( ) A. B.当时,函数取得极大值 C.方程与均有三个实数根 D.当时,函数取得极小值 10. 设函数在上存在导函数,对任意的实数都有,当时,.若,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分,共16分) 11.给出下列命题: ①直线l的方向向量为=(1,﹣1,2),直线m的方向向量=(2,1,﹣),则l与m垂直; ②直线l的方向向量=(0,1,﹣1),平面α的法向量=(1,﹣1,﹣1),则l⊥α; ③平面α、β的法向量分别为=(0,1,3),=(1,0,2),则α∥β; ④平面α经过三点A(1,0,﹣1),B(0,1,0),C(﹣1,2,0),向量=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1. 其中真命题的是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 12. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 . 13. 若直线的方向向量,平面的一个法向量,则直线与平面所成角的正弦值等于_________。 14. 如果函数有两个不同的极值点,那么实数的范围是 . 三、解答题(共44分) 15.(本题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,, 点是的中点,,且交于点. (1)求证:平面; (2)求证:直线平面; (3)求直线与平面所成角的余弦值. 16. (本题满分10分) 已知函数 (1)求函数的极值点; (2)若直线过点(0,—1),并且与曲线相切,求直线的方程. 17. (本题满分10分)已知函数. (1)求的单调区间; (2)设,若在上不单调且仅在处取得最大值,求 的取值范围. 18. (本题满分12分)已知,定义. (1)求函数的极值; (2)若,且存在使,求实数的取值范围; (3)若,试讨论函数的零点个数. 理科答案 1.B 2.D 3. A 4. A 5. C 6. A 7. B 8. A 9. C 10. A 11. ①④ 解:对于①,∵=(1,-1,2),=(2,1,-12),∴•=1×2-1×1+2×(-)=0, ∴⊥,∴直线l与m垂直,①正确; 对于②,=(0,1,-1),=(1,-1,-1),∴•=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0, ∴⊥,∴l∥α或l⊂α,②错误; 对于③,∵=(0,1,3),=(1,0,2),∴与不共线,∴α∥β不成立,③错误; 对于④,∵点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),∴=(-1,1,1),=(-1,1,0), 向量=(1,u,t)是平面α的法向量,∴,即;则u+t=1,④正确. 综上,以上真命题的序号是①④. 12. 解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0, 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积, 而,∴曲边梯形的面积是. 13. 14. 15.解: 法一:用几何关系证明和求值.(Ⅰ)连结交于,证即可;(Ⅱ)先证平面,再证平面即可;(Ⅲ)由三垂线定理先作出二面角的平面角,根据数据关系求之即可. 法二:建立空间直角坐标系,用空间向量证明求解. 试题解析:方法一:(Ⅰ)证明:连结交于,连结. 是正方形,∴是的中点. 是的中点,∴是△的中位线. ∴. 2分 又∵平面,平面, ∴平面. 4分 (Ⅱ)证明:由条件有 ∴平面,∴6分 又∵是的中点,∴ ∴平面∴ 由已知,∴平面8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知面,则直线在面内的射影为, ∴为所求的直线与面所成的角. 10分 又,∴在中∴ 又 由可得∴.∴ ∴直线与平面所成角的余弦值为.13分 16.解:(1)>0. 而>0lnx+1>0><0<00<< 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以是函数的极小值点,极大值点不存在. (2)设切点坐标为,则切线的斜率为 所以切线的方程为 又切线过点,所以有 解得 所以直线的方程为 17.解:(1)∵,∴,∴若:则在上单调递增,若:则在上单调递减,上单调递增;(2)∵,∴,设,∵在上不单调,∴在上存在零点, ∴,又∵仅在处取得最大值, ∴只需,实数的取值范围是. 18.解:(1)∵函数, ∴ 令,得或,∵,∴,列表如下: 0 0 0 极大值 极小值 ∴的极大值为,极小值为 (2),∵存在,使, ∴在上有解,即在上有解, 即不等式在上有解, 设,∵对恒成立, ∴在上单调递减,∴当时,的最大值为4, ∴,即. (3)由(1)知, 在上的最小值为, ①当,即时,在上恒成立, ∴在上无零点. ②当即时,,又, ∴在上有一个零点, ③当,即时,设, ∵,∴在上单调递减, 又,∴存在唯一的,使得, I.当时,∵,∴且为减函数, 又,∴在上有一个零点; II.当时,∵,∴且为增函数, ∵,∴在上有一零点; 从而在上有两个零点, 综上所述,当时,有两个零点;当时,有一个零点;当时,有无零点.查看更多