数学(理)卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期期末考试(2017-01)

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数学(理)卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期期末考试(2017-01)

天水一中高二级2016-2017学年度第一学期期末考试 数学(理科)‎ ‎(满分:100分 时间:90分钟)‎ 一、选择题(每小题4分,共40分)‎ ‎1. 如图,空间四边形中,,点在上,且是的中点,则( ) ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2. 已知,,,若三向量共面,则实数等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知的导函数图象如图,那的图象最有可能是图中的( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.函数在上最大值和最小值分别是( )‎ A.5 , -15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16‎ ‎5.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( )‎ A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π ‎6. 若,则( )‎ A. 0 B.1 C. 2 D.3‎ ‎7.曲线上一点处的切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知对任意恒成立,则a的最大值为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎9.已知函数的图象如图所示(其中是定义域为的函数的导函数),则以下说法错误的是( )‎ A.‎ B.当时,函数取得极大值 C.方程与均有三个实数根 D.当时,函数取得极小值 ‎10. 设函数在上存在导函数,对任意的实数都有,当时,.若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每小题4分,共16分)‎ ‎11.给出下列命题:‎ ‎①直线l的方向向量为=(1,﹣1,2),直线m的方向向量=(2,1,﹣),则l与m垂直;‎ ‎②直线l的方向向量=(0,1,﹣1),平面α的法向量=(1,﹣1,﹣1),则l⊥α;‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=(0,1,3),=(1,0,2),则α∥β;‎ ‎④平面α经过三点A(1,0,﹣1),B(0,1,0),C(﹣1,2,0),向量=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.‎ 其中真命题的是 .(把你认为正确命题的序号都填上)‎ ‎12. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 . ‎ ‎13. 若直线的方向向量,平面的一个法向量,则直线与平面所成角的正弦值等于_________。‎ ‎14. 如果函数有两个不同的极值点,那么实数的范围是 .‎ 三、解答题(共44分)‎ ‎15.(本题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,, 点是的中点,,且交于点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:直线平面;‎ ‎(3)求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎16. (本题满分10分) 已知函数 ‎(1)求函数的极值点;‎ ‎(2)若直线过点(0,—1),并且与曲线相切,求直线的方程.‎ ‎17. (本题满分10分)已知函数.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)设,若在上不单调且仅在处取得最大值,求 的取值范围.‎ ‎18. (本题满分12分)已知,定义.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若,且存在使,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若,试讨论函数的零点个数.‎ 理科答案 ‎1.B ‎2.D ‎3. A ‎4. A ‎5. C ‎6. A ‎7. B ‎8. A ‎9. C ‎10. A ‎11. ①④‎ 解:对于①,∵=(1,-1,2),=(2,1,-12),∴•=1×2-1×1+2×(-)=0,‎ ‎∴⊥,∴直线l与m垂直,①正确;‎ 对于②,=(0,1,-1),=(1,-1,-1),∴•=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,‎ ‎∴⊥,∴l∥α或l⊂α,②错误;‎ 对于③,∵=(0,1,3),=(1,0,2),∴与不共线,∴α∥β不成立,③错误;‎ 对于④,∵点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),∴=(-1,1,1),=(-1,1,0),‎ 向量=(1,u,t)是平面α的法向量,∴,即;则u+t=1,④正确.‎ 综上,以上真命题的序号是①④.‎ ‎12.‎ 解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0,‎ 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积,‎ 而,∴曲边梯形的面积是.‎ ‎ ‎ ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.解:‎ 法一:用几何关系证明和求值.(Ⅰ)连结交于,证即可;(Ⅱ)先证平面,再证平面即可;(Ⅲ)由三垂线定理先作出二面角的平面角,根据数据关系求之即可.‎ 法二:建立空间直角坐标系,用空间向量证明求解.‎ 试题解析:方法一:(Ⅰ)证明:连结交于,连结. ‎ ‎ ‎ 是正方形,∴是的中点. ‎ 是的中点,∴是△的中位线.‎ ‎∴. 2分 又∵平面,平面, ‎ ‎∴平面. 4分 ‎(Ⅱ)证明:由条件有 ‎∴平面,∴6分 又∵是的中点,∴‎ ‎∴平面∴‎ 由已知,∴平面8分 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知面,则直线在面内的射影为,‎ ‎∴为所求的直线与面所成的角. 10分 又,∴在中∴‎ 又 由可得∴.∴‎ ‎∴直线与平面所成角的余弦值为.13分 ‎16.解:(1)>0.‎ 而>0lnx+1>0><0<00<<‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ 所以是函数的极小值点,极大值点不存在.‎ ‎(2)设切点坐标为,则切线的斜率为 所以切线的方程为 又切线过点,所以有 解得 所以直线的方程为 ‎17.解:(1)∵,∴,∴若:则在上单调递增,若:则在上单调递减,上单调递增;(2)∵,∴,设,∵在上不单调,∴在上存在零点,‎ ‎∴,又∵仅在处取得最大值,‎ ‎∴只需,实数的取值范围是.‎ ‎18.解:(1)∵函数,‎ ‎∴‎ 令,得或,∵,∴,列表如下:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎∴的极大值为,极小值为 ‎(2),∵存在,使,‎ ‎∴在上有解,即在上有解,‎ 即不等式在上有解,‎ 设,∵对恒成立,‎ ‎∴在上单调递减,∴当时,的最大值为4,‎ ‎∴,即.‎ ‎(3)由(1)知, 在上的最小值为,‎ ‎①当,即时,在上恒成立,‎ ‎∴在上无零点.‎ ‎②当即时,,又,‎ ‎∴在上有一个零点,‎ ‎③当,即时,设,‎ ‎∵,∴在上单调递减,‎ 又,∴存在唯一的,使得,‎ I.当时,∵,∴且为减函数,‎ 又,∴在上有一个零点;‎ II.当时,∵,∴且为增函数,‎ ‎∵,∴在上有一零点;‎ 从而在上有两个零点,‎ 综上所述,当时,有两个零点;当时,有一个零点;当时,有无零点.‎
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